Исследование устойчивости системы с несколькими степенями свободы
.pdfИсследование устойчивости системы с несколькими степенями свободы
Динамика лопасти вентилятора удовлетворяет следующей системе линеаризованных безразмерных уравнений:
( |
|
¨ |
(1) |
ky¨ + 2θ + y − θ = 0, |
|
¨ ˙ |
|
2¨y + θ + 2θ + kθ = 0. |
|
Необходимо найти диапазон значений параметра k, при которых флаттер или дивергенция лопасти отсутствует.
Принимаем частное решение системы (1) в виде:
y = A1eλt, θ = A2eλt.
После подстановки решения в систему (1) будем иметь
(2A1λ2 |
+ A2λ2 + 2A2λ + kA2 |
= 0; |
(A1 |
2λ2 |
+ A2 |
(λ2 |
+ 2λ + k) = 0. |
||||||||
A1kλ2 |
+ 2A2λ2 |
+ A1 |
− A2 = 0, |
|
A1 |
(kλ2 + 1) + A2 |
(2λ2 |
− 1) = 0, |
|||||||
Отсюда следует характеристическое уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
22 |
− 1 |
= 0. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
kλ2 + 1 |
λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2λ |
λ |
+ 2λ + k |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После развертки определителя |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(kλ2 + 1)(λ2 + 2λ + k) − 2λ2(2λ2 − 1) = 0;
(k − 4)λ4 + 2kλ3 + (k2 + 3)λ2 + 2λ + k = 0.
b0λ4 + b1λ3 + b2λ2 + b3λ + b4 = 0,
где b0 = (k − 4), b1 = 2k, b2 = (k2 + 3), b3 = 2, b4 = k.
Составим матрицу Рауса для данного уравнения:
b1 |
b3 |
0 |
0 |
|
|
b0 |
b2 |
b4 |
0 |
. |
|
|
0 |
b1 |
b3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
b0 |
b2 |
b4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
В случае, если матрица Рауса - положительно определенная (т.е. все главные миноры матрицы есть числа положительные), то в системе отсутствует флаттер и дивергенция (критерий Гурвица).
Условия критерия Гурвица можно записать так:
b3 > 0,
b > 0,
2
b1 > 0,
b0 > 0,
b3b2b1 − b23b0 − b21b4 > 0.
В нашем случае матрица Рауса имеет вид:
|
2k |
2 |
2 |
k − 4 |
k |
+ 3 |
|
|
0 |
2k |
00
k |
0 . |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 k − 4 k2 + 3 k
Критерий Гурвица:
2k > 0,
k − 4 > 0,k2 + 3 > 0,
4k(k2 + 3) − 4(k − 4) − (2k)2k > 0.
Решая систему неравенств, получим
k > 4.
Вывод: система не претерпевает флаттер и дифергенцию при значениях параметра k > 4.
2