Исследование устойчивости системы с несколькими степенями свободы

Исследование устойчивости системы с несколькими степенями свободы

Динамика лопасти вентилятора удовлетворяет следующей системе линеаризованных безразмерных уравнений:

Необходимо найти диапазон значений параметра k, при которых флаттер или дивергенция лопасти отсутствует.

Принимаем частное решение системы (1) в виде:

y = A1eλt, θ = A2eλt.

После подстановки решения в систему (1) будем иметь

(kλ2 + 1)(λ2 + 2λ + k) − 2λ2(2λ2 − 1) = 0;

(k − 4)λ4 + 2kλ3 + (k2 + 3)λ2 + 2λ + k = 0.

b0λ4 + b1λ3 + b2λ2 + b3λ + b4 = 0,

где b0 = (k − 4), b1 = 2k, b2 = (k2 + 3), b3 = 2, b4 = k.

Составим матрицу Рауса для данного уравнения:

1

В случае, если матрица Рауса - положительно определенная (т.е. все главные миноры матрицы есть числа положительные), то в системе отсутствует флаттер и дивергенция (критерий Гурвица).

Условия критерия Гурвица можно записать так:

b3 > 0,

b > 0,

2

b1 > 0,

b0 > 0,

b3b2b1 − b23b0 − b21b4 > 0.

0 k − 4 k2 + 3 k

Критерий Гурвица:

2k > 0,

k − 4 > 0,k2 + 3 > 0,

4k(k2 + 3) − 4(k − 4) − (2k)2k > 0.

Решая систему неравенств, получим

k > 4.

Вывод: система не претерпевает флаттер и дифергенцию при значениях параметра k > 4.

2