Автоколебания, метод многих масштабов
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Дано следующее безразмерное уравнение с начальными условиями:
x¨ + x ϵ |
x˙ |
x˙3 |
= 0, |
|
||
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||||
− 6 |
(1) |
|||||
x(0) =−0, |
|
|ϵ| 1. |
||||
x˙(0) = v0;
Требуется найти ассимптотическое разложение решения уравнения методом многих масштабов с точностью до порядка ϵ, а также решить его численно при v0 = 1, ϵ = ±0.05, используя симплектический метод; решения сравнить, построив фазовые траектории.
Согласно используемому методу вводятся так называемые быстрое время и медленное время, t и t1 соответственно:
t = t; t1 = ϵt.
Тогда решение уравнения ищется в следующем виде:
x = x(t, t1) = x0(t, t1) + ϵx1(t, t1) + O(ϵ2).
Перепишем выражения для операторов дифференциирования:
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d |
= |
∂ |
+ ϵ |
∂ |
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; |
||||
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||||
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dt |
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∂t |
|
∂t1 |
||||||
d2 |
= |
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∂2 |
+ 2ϵ |
∂2 |
|
|
+ O(ϵ2). |
|||||
dt2 |
∂t2 |
∂t∂t1 |
|||||||||||
|
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||||||||
С учетом полученных выражений уравнение из системы (1) перепишется в виде
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∂2 |
∂2 |
+ O(ϵ2) |
x0 + ϵx1 + O(ϵ2) + |
x0 + ϵx1 + O(ϵ2) − |
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||||||||||||||||||||
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|
+ 2ϵ |
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||||||||||||||||||||
−ϵ |
∂t2 |
∂t∂t1 |
3 |
! = 0. |
||||||||||||||||||||||||
∂t |
+ ϵ∂t1 |
x0 + ϵx1 + O(ϵ2) − 6 |
∂t + ϵ |
∂t1 x0 + ϵx1 + O(ϵ2) |
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|||||||||||||||||||||||
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∂ |
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∂ |
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1 |
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∂ |
∂ |
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|||||
Отбрасывая здесь слагаемые порядка выше ϵ, получим |
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|||||||||||||||||||||
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∂2x |
∂2x |
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∂2x |
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∂x |
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ϵ ∂x |
3 |
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|||||||||
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||||||||||||||
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0 |
+ ϵ |
1 |
+ 2ϵ |
0 |
+ x0 |
+ ϵx1 − ϵ |
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0 |
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+ |
|
|
0 |
= 0. |
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|||||||
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∂t2 |
∂t2 |
∂t∂t1 |
|
∂t |
6 |
∂t |
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|||||||||||||||
1
Собрав слагаемые относительно порядков ϵ, получим уравнения
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ϵ |
0 |
: |
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∂2x0 |
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+ x0 |
= 0; |
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∂t2 |
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(2) |
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||||
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∂2x |
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∂x |
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1 |
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∂x |
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3 |
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∂2x |
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ϵ1 : |
|
1 |
+ x1 = |
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0 |
− |
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0 |
|
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|
− 2 |
0 |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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∂t2 |
|
|
∂t |
6 |
∂t |
|
|
∂t∂t1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Первое уравнение из (2) имеет решение |
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x0 = A(t1)eit + |
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(t1)e−it. |
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A |
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|
∂x0 |
|
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= iAeit − iAe−it; |
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|
∂t |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
∂2x0 |
|
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|
it |
|
|
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|
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|
′ |
|
|
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|
|
it |
|
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||||||
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||||||||||
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|
= iA′e |
|
|
− iA |
e− |
|
. |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
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∂t∂t1 |
|
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Подставим полученные выражения во второе уравнение из (2): |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
∂2x |
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1 |
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|
3 |
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||||
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|
iA′eit − iA′e−it ; |
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
+ x1 = iAeit − iAe−it − |
|
iAeit − iAe−it |
|
− 2 |
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂t2 |
6 |
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂2x1 |
|
|
|
|
|
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|
iA3 |
|
|
|
|
iA2 |
|
|
it |
|
|
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2 |
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3 |
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|||||||||||||||||||||||||
|
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|
it |
|
|
|
−it |
|
3it |
|
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|
A |
|
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|
iAA |
|
|
−it |
|
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|
iA |
−3it |
|
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′ |
it |
|
|
|
|
|
|
′ |
−it |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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+ x1 = iAe |
|
− iAe |
|
|
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+ |
|
e |
|
|
− |
|
|
|
|
e |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
− |
|
|
e |
|
− 2iA e |
|
+ 2iA e |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂t2 |
|
|
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6 |
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2 |
|
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|
2 |
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|
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|
|
6 |
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x |
|
|
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|
|
iA2 |
|
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|
2 |
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
iA3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
iAA |
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
iA |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ 1 |
+ x1 = iA − |
|
|
|
− 2iA′ eit + −iA + |
|
|
|
|
|
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|
+ 2iA′!e−it + |
|
|
e3it |
− |
|
|
e−3it. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂t2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Во избежание резонанса амплитуды при гармониках, совпадающих с собственной частотой
колебаний, должны равняться нулю: |
|
|
|
|
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|
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|
|
( |
A + AA |
|
+ 2A′ = 0. |
(3) |
||||||||
A |
− A22 |
A |
|
|
−2 2A |
′ = 0, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Уравнения системы (3) являются сопряженными, поэтому рассмотрим ттолько одно из
них: |
|
|
|
dA |
|
|
2A − A|A|2 |
|
|
|
||||||
|
|
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|
|
= |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
dt1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
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|
|||||
Представим комплексное число A в показательной форме: |
||||||||||||||||
|
|
|
A = R(t1)eiϕ(t1) = |
|
||||||||||||
|
dR |
eiϕ + i |
dϕ |
Reiϕ = |
2Reiϕ − R3eiϕ |
= |
||||||||||
|
dt1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dt1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
dR |
+ i |
dϕ |
R = |
2R − R3 |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dt1 |
|
dt1 |
4 |
|
|
|
|||||||
Сравнивая вещественные и мнимые части чисел, стоящих в правой и левой частях уравнения, получим
2
(dt1 |
= |
−4 ; |
|
|
dϕ |
= 0, |
|
|
|
dt1 |
|
2R R3 |
|
= ϕ(t1) = ϕ0. |
dR |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2R − R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
dR |
= |
|
|
|
= R(t |
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
√C0e−t1 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x0 = Aeit + |
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ae−it |
= x0(0, 0) = 0 = A(0) + A(0); |
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∂x |
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∂t0 |
t,t1=0 = v0 = iA(0) − iA(0) = |
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iv0 |
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A(0) = |
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A(0) = R |
eiϕ0 = |
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R |
(cos ϕ |
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+ i sin ϕ |
) = |
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−iv0 |
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= |
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cos ϕ |
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= 0 = |
ϕ |
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= |
− |
π |
; |
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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2 |
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0 |
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0 |
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R0 |
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= |
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v0 |
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R(0) = R0 = |
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v0 |
= |
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√ |
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= C0 = |
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8 |
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− 1 = |
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v02 |
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C0 + 1 |
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v0 |
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R(t1) = |
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p(8 − |
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v2 |
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t1 + v2 |
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0) |
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v00 |
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A = R(t1)eiϕ(t1) = −i |
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t1 |
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Возвращаясь к уравнению для x1, получим p(8 − v0)e− |
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+ v0 |
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+ x1 |
= − |
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3it |
+ e |
−3it |
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∂t2 |
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6 ((8 − v02)e−t1 + v02)3/2 |
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∂2x1 |
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= − |
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23/2v03 cos 3t |
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+ x1 |
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3 ((8 − v02)e−t1 + v02)3/2 |
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t |
sin (t |
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τ) cos 3τ dτ; |
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3 ((8 − v02)e−t1 + v02)3/2 |
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x1 = − |
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sin |
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t cos t. |
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6 ((8 − v02)e−t1 + v02)3/2 |
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Таким образом, запишем общее решение: |
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2ϵv0 |
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x(t, t1) = x0(t, t1)+ϵx1(t, t1) = |
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sin t |
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t cos t+O(ϵ |
). |
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v0 |
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2 |
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− |
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2 |
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2 |
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2 |
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x(t) = |
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sin t |
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sin |
t cos t + O(ϵ |
). |
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p |
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6 ((8 − v02)e−ϵt + v02)3/2 |
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(8 − v02)e−ϵt + v02 |
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3
Для решения уравнения численно, будем использовать метод Верье (Leap-frog). Предварительно приведем исходное уравнение из (1) к нормальной системе дифференциальных уравнений:
(
x˙ = v,
v˙ = ϵ v − v63 − x.
Рис. 1: Фазовый портрет при ϵ = 0.05
Рис. 2: Фазовый портрет при ϵ = −0.05
4