Исследование устойчивости параметрических колебаний

q¨ + (2 sin2(ωt))q = 0,

1

< ω < 1.

3

Сделаем замену ωt = τ:

q¨ + (1 − cos(2ωt))q = 0.

d2q

1

1

+ (

− 2

cos(2τ))q = 0.

dτ2

ω2

2ω2

Таким образом, пришли к форме линейного уравнения Матье с параметрами a =

1

,

1

ω2

ϵ =

.

2ω2

1

Т. к.

< ω < 1, то 1 < a < 9. Согласно диаграмме Айнса-Стретта в данном случае устой-

3

и aright, aleft.

чивым решениям отвечают значения a, лежащие между границами aright

, aleft

1

2

2

3

1 < a < 9,

1 < a < 9,

=

a1right < a < a2left;

12ϵ2

a2right < a < a3left.

(1 + ϵ − ϵ82 < a < 4 −

;

(4 + 12ϵ2 < a < 9 + 16ϵ2 .

1 < a < 9,

1 < a < 9,

Заметим, что a = 2ϵ, следовательно,

(4 + 548a2 < a < 9 + a642 .

(1 + a2 − a322 < a < 4 − a482

;

(1)

1 < a < 9,

1 < a < 9,

(

a2

(

a a2

a2

1 + a

< a,

32 16a a2 < 0,

1 +

< a < 4

=

2 −

32

− −

2

2

− 32

− 48

a < 4 −

a

;

a2 + 48a − 192 < 0;

48

a

2

√

√

+ 16a − 32 > 0 = a [−∞; −8 − 4 6] [−8 + 4 6; +∞];

a

2

+ 48a − 192 < 0 = a [−24

√

√

− 16

3; −24 + 16 3].

1

Таким образом, находим множество значений a, удовлетворяющих этому двойному нера-

венству:

√

√

√

√

a [−24 − 16 3; −8 − 4 6] [−8 + 4 6; −24 + 16 3].

Проведем аналогичные преобразования с другим неравенством:

5a2

a2

4 +

5a2 < a,

5a2

48a + 192 < 0,

4 + 48

< a < 9 + 64

48

(a2

−64a + 576 > 0;

= (a < 9 + a2

;

64

−

5a2 − 48a + 192 < 0 = a Ø

Сразу можем сказать, что на промежутке между границами a2right, a3left устойчивых реше-

ний не будет.

Таким образом, общее решение для (1) будет иметь вид:

√

√

a [−8 + 4 6; −24 + 16 3].

a [1.79796; 3.71281].

Полученные данные могут быть проверены графически:

Диаграмма устойчивости

5

ϵ

4.5

4

a = 2ϵ

3.5

3

a2left

2.5

2

a1right

a2right

1.5

1

a3left

0.5

a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2