Решение неоднородной задачи теплопроводности для шара (линейная неоднородность)
.pdfУсловие задачи
Поверхность шара радиуса отдает тепло потоком плотности 0 = . Внутри шара выделяется тепло плотностью 0 . Начальная температура шара равна нулю. Найти распределение температуры ( , ).
Постановка задачи
Запишем нестационарное уравнение теплопроводности для шара, внутри которого происходит выделение тепла:
12 ( 2 ) − = − 0 .
Сформулируем граничные и начальные условия:
1.( , 0) = 0 (начальная температура шара равна нулю);
2.(0, ) < ∞ (условие конечности энергии);
3.|=1 = − 0 (задан тепловой поток через границу, условие 2-го рода).
Решение
Решение задачи согласно методу конечных интегральных преобразований будем искать в виде ряда
∞
( , ) = ∑ ( ) ( ),
=1
причем ( ) определяются из решения регулярной задачи Штурма-Лиувилля
для оператора |
1 |
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(2 |
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): |
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2 |
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(0, ) < ∞, |
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(2 |
) + 2 |
= 0 { |
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| = |
= 0. |
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Запишем общее решение этого дифференциального уравнения:
( ) = sin (√ ) + cos (√ ).
С учетом условия (0, ) < ∞ будем иметь = 0.
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√ cos(√ ) |
− sin (√ ) |
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| = |
= 0 |
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= 0 √ − tan(√ ) = 0. |
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2 |
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Сделав здесь замену = √, получим уравнение
tan( ) = .
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2 |
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Таким образом, = |
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– спектр собственных чисел данной задачи Штурма- |
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2 |
|||||||||||||
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Лиувилля, |
где |
– положительные корни уравнения tan( |
) = . ( ) = |
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sin ( |
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) |
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= |
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– собственные функции. Нулевому собственному числу |
0 |
= 0 |
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отвечает собственная функция 0( ) = 0 = .
Таким образом,
∞
( , ) = 0( ) 0( ) + ∑ ( ) ( ).
=1
Коэффициенты разложения в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля ( ) определяются следующими соотношениями:
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∫ 2 |
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( )( , ) |
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̂ |
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0 |
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( ) |
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( ) = |
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= |
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; |
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2 |
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∫ |
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2 |
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2 |
( ) |
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∫ |
2 |
0( )( , ) |
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̂ ( ) |
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( ) = |
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0 |
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= |
0 |
. |
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∫ 2 |
2( ) |
02 |
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0 |
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||||||||
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0 |
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0 |
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Функции ̂ ( ) и |
̂ ( ) называются |
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трансформантами. Для нахождения |
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0 |
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трансформант будем применять конечные интегральные преобразования к исходному уравнению.
Умножим исходное уравнение в смысле скалярного произведения на ( ):
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0 |
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∫ |
( |
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2 |
) − ∫ 2 |
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= − |
∫ 3 . |
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0 |
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0 |
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0 |
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. ∫ |
(2 |
) = ∫ |
(2 |
) = 2 |
− ∫ |
′ 2 |
= |
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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2
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sin ( ) |
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sin ( ) |
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= − |
0 |
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− |
′ |
2 | |
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+ ∫ |
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(2 |
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) = − |
0 |
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− |
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0 |
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0 |
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=0 |
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=− 2 |
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sin( |
) |
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2 |
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− |
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∫ |
2 |
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= − |
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0 |
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− |
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̂ . |
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0 |
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̂ |
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. ∫ 2 |
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= |
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(∫ 2 |
) = |
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. − |
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∫ 3 = − |
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0 |
∫ 2 sin ( |
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) = |
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∫ cos ( |
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22 |
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= sin( ) |
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2 |
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2 − 2 |
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sin ( |
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) |
|
− 2 cos( ) |
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2 |
cos ( ) |
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2 − |
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sin( ) − 2 cos( |
) |
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Получаем уравнение для нахождения трансформант: |
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̂ ( ) |
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2 |
̂ |
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2 |
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sin( |
) + 2 cos( |
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) − 2 |
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sin( |
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) |
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( ) = |
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+ |
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2 |
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Решение однородного уравнения имеет вид
2
̂ од.( ) = 1 − 2 .
Ищем частное решение в виде ̂ ( ) = = . После подстановки в уравнение получаем
3
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2 |
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2 |
sin( |
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) |
+ 2 cos( ) − 2 |
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sin( |
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) |
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= |
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0 |
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2 |
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3 |
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sin( ) + 2 cos( ) − 2 |
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3 sin( |
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) |
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0 |
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5 |
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̂ |
( ) = ̂ |
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( ) |
+ ̂ |
( ) = |
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од. |
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2 |
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4 |
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|
sin( |
|
|
) |
+ 2 cos( |
|
|
) |
|
− 2 |
|
|
3 |
sin( |
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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= − 2 |
+ |
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0 |
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− |
0 |
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1 |
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Для нахождения константы 1 |
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воспользуемся начальным условием |
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̂ (0) = 0 |
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= |
3 sin( ) |
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− |
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4 |
sin( ) + 2 cos( ) − 2 |
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0 |
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. |
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||||||||||||||||||||||
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1 |
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2 |
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5 |
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Получаем выражение для трансформант: |
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3 |
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sin( |
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) |
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4 |
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sin( ) + 2 cos( ) − 2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
̂ |
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0 |
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− |
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0 |
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] |
− 2 |
+ |
|||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||
( ) = [ |
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2 |
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5 |
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4 sin( |
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) |
+ 2 cos( ) − 2 |
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3 sin( ) |
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+ |
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0 |
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− |
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0 |
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. |
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5 |
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2 |
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2 |
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1 − cos ( |
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|
) |
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. 2 = ∫ 2 |
2 = ∫ sin2 |
( |
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) = ∫ |
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= |
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2 |
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|||||||||
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0 |
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0 |
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0 |
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cos( ) sin( |
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) |
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|||||||||||||||||||||
= |
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− |
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sin(2 |
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) = |
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(1 − |
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|
|
|
|
) |
|
= |
|
|
sin2( |
|
). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
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2 |
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
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||
Таким образом, |
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||||||
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2 |
2 |
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1 |
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2 |
3 |
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sin( |
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) + 2 cos( |
|
) − 2 |
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2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( ) = [ |
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0 |
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− |
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0 |
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] |
− 2 + |
|||||||||||||||||||
|
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|
2 sin( ) |
|
|
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5 sin2( ) |
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|||||||||||
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2 3 |
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sin( ) |
|
+ 2 cos( |
) − 2 |
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2 2 |
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|
1 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
+ |
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0 |
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− |
|
0 |
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. |
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5 sin2 |
( |
|
|
) |
|
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|
2 sin( |
) |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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4
Проведем аналогичные преобразования для нахождения ̂0( ).
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2 |
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||||||||||
. ∫ |
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(2 |
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|
|
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) = 2 |
|
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|
| |
|
|
− |
|
|
∫ 2 |
= − |
0 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
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|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
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|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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̂ |
|
|
|||||
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
. ∫ 2 |
|
|
= |
|
|
(∫ |
2 |
|
|
) = |
0 |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|||
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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3 |
|
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||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
. − |
0 |
∫ 3 = − |
|
0 |
|
∫ 3 |
= − |
|
0 |
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
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|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
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|
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Получаем уравнение для нахождения трансформанты:
̂0( ) = 0 3 − 0 2.4
̂0( ) = ( 40 3 − 0 2) + 1.
С учетом условия ̂0(0) = 0 получим 1 = 0. Таким образом,
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
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|||
̂ ( ) |
= ( |
|
0 |
|
− |
0 |
|
|
) . |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
. 2 |
= ∫ 2 |
2 |
= |
. |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ( |
30 |
|
− |
30 |
) . |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем общий вид решения задачи:
∞
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|
( , ) = ( ) ( ) + ∑ ( ) ( ) = |
|
|
|
|
|
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|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
∞ |
2 2 |
|
|
1 |
|
2 3 |
|
|
sin( ) |
+ 2 cos( |
) − 2 |
|
2 |
sin ( |
|
) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= ( |
0 |
− |
0 |
) + ∑ [ |
0 |
|
|
|
− |
0 |
|
|
|
|
|
] |
− |
2 |
|
|
+ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
|
|
2 sin( ) |
|
|
|
|
5 sin2( ) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
5
∞ |
2 3 |
|
|
sin( ) + 2 cos( |
) − 2 |
|
2 2 |
|
|
1 |
|
|
sin ( |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|||||||||
+ ∑ [ |
0 |
|
|
|
|
− |
0 |
|
|
|
|
] |
|
|
. |
||
|
|
|
|
5 sin2( ) |
|
|
|
2 sin( |
) |
|
|
||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
2
Первый ряд в данном выражении сходится равномерно из-за множителя − 2 , поэтому его можно оставить в неизменном виде (под знаком суммы в равномерно сходящемся ряду можно выполнять предельный переход, дифференцировать и интегрировать).
Для второго ряда требуется проводить улучшение сходимости. Воспользуемся готовым разложением квадратичной функции ( ) = 2 по собственным функциям следующей задачи Штурма-Лиувилля:
|
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|
|
|
(0, ) < ∞, |
|
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|
|||||||
|
|
|
( 2 |
) + 2 = 0 { |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| = |
= 0. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||
|
3 2 |
|
|
4 3 |
|
|
sin ( |
|
) |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
sin ( |
|
) |
|
||
2 = |
+ |
∑ |
|
|
− |
|
= |
∑ |
|
. |
|||||||||||||||
5 |
|
2 sin( ) |
4 3 |
20 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin( ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
(см. №17 Жукова-Малицкая Г.А., Кузьмин Ю.Н. «Математическая физика. Учебное пособие»).
Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция ( ) = 3 разлагается в ряд по собственным функциям той же задачи Штурма-Лиувилля следующим образом:
|
|
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|
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|
|
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|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 = + |
|
∑ |
|
sin ( |
|
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∫0 5 |
|
|
= |
3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∫ |
|
( |
|
|
) |
|
2 4(24 + 4 |
( |
2 − 6) sin( |
) |
− (24 − 12 2 + |
4)cos ( )) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= |
0 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 sin2( ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 − 24 cos( |
) − 24 sin( ) + 4 |
3 sin( |
) + (12 2 |
− |
4)cos ( ) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 sin2( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
24 − 24 cos( ) − 12 |
sin( |
) + 3 |
3 sin( |
) |
|
|
|
|
||||||||||||||
= 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
5 sin2( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
sin( ) |
+ 2 cos( |
) |
− 2 |
|
|
3 sin( |
|
) |
|
|
|||||||||
= −24 4 |
|
|
|
|
|
|
|
+ 6 4 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
5 sin2( |
|
) |
|
|
|
5 sin2( |
|
|
) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
sin( |
) + 2 cos( |
) − 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
= −24 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 6 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
5 sin2( ) |
|
|
|
|
|
2 sin( |
|
) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
∞ |
|
|
sin( ) |
+ 2 cos( ) − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
= |
|
|
|
+ |
|
|
∑ [−24 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 6 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] sin ( |
|
|
) |
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
5 sin2( |
) |
|
|
2 sin( |
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
24 4 |
∞ |
|
|
sin( ) + 2 cos( ) |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
6 4 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ( ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
∑ [ |
|
|
|
|
|
|
|
|
] sin ( |
|
) = 3 − |
|
|
|
− |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 sin2( ) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 sin( |
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 ∞ |
|
|
|
sin( ) + 2 cos( ) − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∑ [ |
|
|
|
|
|
|
|
] sin ( |
|
|
) = − |
|
|
+ |
|
+ |
|
( |
|
− |
|
). |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 sin2( ) |
|
|
|
24 4 |
48 |
4 |
4 3 |
20 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Запишем общий вид решения задачи с учетом полученных разложений:
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3 |
|
|
|
3 |
|
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∞ |
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2 2 |
|
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2 3 |
sin( |
|
) + 2 cos( ) − 2 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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sin( ) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( , ) = ( |
|
0 |
|
− |
0 |
) + ∑ [ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
− |
0 |
|
|
|
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] |
− |
|
2 |
|
|
|
|
|
+ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
4 |
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|
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2 |
sin( ) |
|
|
|
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5 |
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2 |
( |
) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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sin |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
=1 |
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||||||||
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|
|||
|
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|
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|
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2 3 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
1 2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
|
(− |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
( |
|
|
− |
|
|
|
|
)) − |
|
|
|
0 |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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24 4 |
48 |
4 |
4 3 |
20 |
|
|
|
|
|
|
4 3 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
∞ |
|
− |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||
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|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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3 0 |
3 0 |
|
|
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|
2 0 2 |
|
|
|
|
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|
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|
2 |
|
sin ( |
|
) |
|
|
|
|
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|
|
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|
|||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
( , ) = ( |
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
) + |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin( ) |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
|||
|
2 |
3 |
∞ |
|
sin( |
|
) + 2 cos( ) |
− 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
− |
0 |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 sin ( |
|
) + |
|
0 |
|
(− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
) |
− |
|
0 |
|
( |
|
|
− |
|
). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 sin2( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
8 |
|
|
30 |
|
|
2 |
10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||
|
|
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|
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|
||
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполним проверку начальных и граничных условий.
|
|
2 2 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
∞ |
|
|
sin( |
|
) |
+ 2 cos( ) − 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
sin( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
( , 0) |
= |
0 |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
0 |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin( |
|
) + |
||||
|
|
2 |
sin( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
( ) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
+ |
0 |
(− |
|
|
|
|
+ |
|
− |
|
|
) |
− |
0 |
( |
|
|
|
− |
|
|
). |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
12 |
8 |
30 |
|
2 |
10 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом полученных ранее разложений будем иметь ( , 0) = 0.
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(0, ) = ( |
|
0 |
− |
|
0 |
) + |
0 |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||
|
|
4 |
|
|
2 sin( |
|
) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
3 |
∞ |
|
|
|
|
sin( ) + 2 cos( ) − 2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
− |
0 |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
− |
0 |
|
|
|
+ |
0 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 sin2( ) |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
10 |
|||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу равномерной сходимости рядов в выражении, полученном выше, их суммы будут ограничены, поэтому (0, ) ограничено.
=0
|
1 |
|
| = |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 2 |
|
|
|
2 3 sin( |
) |
+ 2 cos( ) − 2 |
|
|
|
|
|
cos( ) |
− sin ( ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||||||||||||||||||
= ∑ [ |
|
|
0 |
|
|
− |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
2 |
|
|
|
|
|
+ |
|||
|
2 |
sin( ) |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
32 |
|
2 |
|
|
2 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
+ |
|
|
0 |
|
(− |
|
|
|
+ |
|
|
|
) − |
0 |
|
|
= − |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
244 |
163 |
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8