Добавил:

abraham83 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

Решение неоднородной задачи теплопроводности для шара (линейная неоднородность)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2023

Размер:

368.26 Кб

Скачать

☆

Условие задачи

Поверхность шара радиуса отдает тепло потоком плотности 0 = . Внутри шара выделяется тепло плотностью 0 . Начальная температура шара равна нулю. Найти распределение температуры ( , ).

Постановка задачи

Запишем нестационарное уравнение теплопроводности для шара, внутри которого происходит выделение тепла:

12 ( 2 ) − = − 0 .

Сформулируем граничные и начальные условия:

1.( , 0) = 0 (начальная температура шара равна нулю);

2.(0, ) < ∞ (условие конечности энергии);

3.|=1 = − 0 (задан тепловой поток через границу, условие 2-го рода).

Решение

Решение задачи согласно методу конечных интегральных преобразований будем искать в виде ряда

∞

( , ) = ∑ ( ) ( ),

причем ( ) определяются из решения регулярной задачи Штурма-Лиувилля

для оператора

(0, ) < ∞,

) + 2

= 0 {

| =

= 0.

Запишем общее решение этого дифференциального уравнения:

( ) = sin (√ ) + cos (√ ).

С учетом условия (0, ) < ∞ будем иметь = 0.

√ cos(√ )

− sin (√ )

| =

= 0

= 0 √ − tan(√ ) = 0.

Сделав здесь замену = √, получим уравнение

tan( ) = .

Таким образом, =

– спектр собственных чисел данной задачи Штурма-

Лиувилля,

где

– положительные корни уравнения tan(

) = . ( ) =

sin (

)

– собственные функции. Нулевому собственному числу

= 0

отвечает собственная функция 0( ) = 0 = .

Таким образом,

∞

( , ) = 0( ) 0( ) + ∑ ( ) ( ).

Коэффициенты разложения в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля ( ) определяются следующими соотношениями:

		∫ 2					( )( , )				̂
		0									( )
	( ) =	0								=		;
	( ) =									=	2	;
				∫		2		2	( )		2
				∫					( )
				0
				0
			∫	2	0( )( , )						̂ ( )
	( ) =		0							=	0	.
	( ) =			∫ 2				2( )		=	02	.
	0			∫ 2				2( )			02
				0			0
				0
Функции ̂ ( ) и	̂ ( ) называются								трансформантами. Для нахождения
	0

трансформант будем применять конечные интегральные преобразования к исходному уравнению.

Умножим исходное уравнение в смысле скалярного произведения на ( ):

											0
	∫		(		2	) − ∫ 2			= −		0		∫ 3 .
	∫		(		2	) − ∫ 2			= −				∫ 3 .


	0			0						0
												\|
. ∫		(2			) = ∫		(2	) = 2						− ∫	′ 2	=
. ∫		(2			) = ∫		(2	) = 2						− ∫	′ 2	=
										0
0				0						0				0
0				0										0

sin ( )

= −

−

′

2 |

+ ∫

) = −

−

=− 2

sin(

)

−

∫

= −

−

̂ .

. ∫ 2

(∫ 2

) =

. −

∫ 3 = −

∫ 2 sin (

) =

= −

[−

2 cos (

) |

∫ cos (

) ] =

cos(

)

−

[

sin

(

) |0 +

∫ sin (

) ] =

= sin( )

2 − 2

sin (

)

− 2 cos( )

cos ( )

2 −

sin( ) − 2 cos(

)

Получаем уравнение для нахождения трансформант:

̂ ( )

sin(

) + 2 cos(

) − 2

sin(

)

( ) =

−

Решение однородного уравнения имеет вид

̂ од.( ) = 1 − 2 .

Ищем частное решение в виде ̂ ( ) = = . После подстановки в уравнение получаем

	2									2							sin(										)			+ 2 cos( ) − 2																				sin(									)
				=							0																																			−					0
	2			=																															3											−

									4								sin( ) + 2 cos( ) − 2																																3 sin(											)
			=							0																																				−					0											.
			=																															5												−								2								.

																̂		( ) = ̂																			( )				+ ̂		( ) =
																														од.
							2										4					sin(											)			+ 2 cos(								)		− 2									3		sin(										)
																						sin(											)			+ 2 cos(								)		− 2											sin(										)
= − 2											+			0																																						−	0															.
= − 2											+																											5														−																.
		1																																				5																						2

Для нахождения константы 1																							воспользуемся начальным условием
																										̂ (0) = 0

		=								3 sin( )															−				4												sin( ) + 2 cos( ) − 2
		=								0															−					0																																.
				1									2																																				5

Получаем выражение для трансформант:
											3	sin(							)												4								sin( ) + 2 cos( ) − 2																											2
												sin(							)																				sin( ) + 2 cos( ) − 2
̂							0														−						0																															]					− 2						+
̂																																																															− 2
( ) = [
														2																																5

								4 sin(																)		+ 2 cos( ) − 2																						3 sin( )
				+						0																																		−					0											.
				+																												5												−								2								.

																																																							2
																																															1 − cos (														)
																																															1 − cos (														)
. 2 = ∫ 2											2 = ∫ sin2																					(								) = ∫																										=
. 2 = ∫ 2											2 = ∫ sin2																					(								) = ∫																										=
																																																					2
				0															0																								0										2
				0															0																								0
																																						cos( ) sin(													)
=				−							sin(2								) =									(1 −																								)	=		sin2(												).
=				−							sin(2								) =									(1 −																								)	=		sin2(												).
		2					4																	2																														2

Таким образом,
			2							2				1													2									3					sin(			) + 2 cos(												) − 2													2
			2											1													2														sin(			) + 2 cos(												) − 2
( ) = [						0																−										0																																]		− 2 +
( ) = [												2 sin( )										−																						5 sin2( )																				]		− 2 +
												2 sin( )																																5 sin2( )

					2 3										sin( )									+ 2 cos(																	) − 2				2 2											1
		+					0																																			−				0																			.
		+																		5 sin2												(						)				−											2 sin(									)			.

Проведем аналогичные преобразования для нахождения ̂0( ).

																			2
																			2
. ∫	(2				) = 2			\|		−			∫ 2	= −					0	.
. ∫	(2				) = 2			\|	0	−			∫ 2	= −						.
0						0			0		0			0
0													0
																̂
																̂
. ∫ 2						=	(∫			2			) =			0	.
. ∫ 2						=	(∫			2			) =				.
	0				0			0		0
	0							0
															3
															3
. −		0	∫ 3 = −					0		∫ 3		= −				0		.
. −			∫ 3 = −							∫ 3		= −						.
						0										4
				0						0						4
				0						0

Получаем уравнение для нахождения трансформанты:

̂0( ) = 0 3 − 0 2.4

̂0( ) = ( 40 3 − 0 2) + 1.

С учетом условия ̂0(0) = 0 получим 1 = 0. Таким образом,

		3							2
̂ ( )	= (		0		−		0				) .
̂ ( )	= (				−						) .
0			4
			4
												3
. 2	= ∫ 2			2		=						3	.
. 2	= ∫ 2					=							.
0			0								3
	0										3
	0
( ) = (			30		−			30		) .
( ) = (					−					) .
0			4
			4

Запишем общий вид решения задачи:

∞

					( , ) = ( ) ( ) + ∑ ( ) ( ) =
							0		0
										=1
	3		3	∞	2 2		1		2 3		sin( )		+ 2 cos(	) − 2		2		sin (	)
	3		3		2 2		1		2 3		sin( )		+ 2 cos(	) − 2		2		sin (	)
= (	0	−	0	) + ∑ [	0			−	0						]	−	2			+

	4					2 sin( )						5 sin2( )

				=1
				=1

∞	2 3	sin( ) + 2 cos(		) − 2		2 2		1			sin (
	2 3	sin( ) + 2 cos(		) − 2		2 2		1			sin (	)
+ ∑ [	0				−	0				]			.
+ ∑ [			5 sin2( )		−		2 sin(		)	]			.
=1
=1

Первый ряд в данном выражении сходится равномерно из-за множителя − 2 , поэтому его можно оставить в неизменном виде (под знаком суммы в равномерно сходящемся ряду можно выполнять предельный переход, дифференцировать и интегрировать).

Для второго ряда требуется проводить улучшение сходимости. Воспользуемся готовым разложением квадратичной функции ( ) = 2 по собственным функциям следующей задачи Штурма-Лиувилля:

											(0, ) < ∞,
				( 2			) + 2 = 0 {							1
				( 2			) + 2 = 0 {							1
													\| =			= 0.
													\| =			= 0.
					∞											∞
	3 2		4 3			sin (		)	2				3		1		sin (	)
2 =	3 2	+	4 3		∑	sin (		)	2	−			3	=	1	∑	sin (	)	.
2 =	5	+			∑	2 sin( )			4 3	−		20		=		∑			.
	5					2 sin( )			4 3			20					2 sin( )
					=1											=1

(см. №17 Жукова-Малицкая Г.А., Кузьмин Ю.Н. «Математическая физика. Учебное пособие»).

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция ( ) = 3 разлагается в ряд по собственным функциям той же задачи Штурма-Лиувилля следующим образом:

∞

3 = +

∑

sin (

где

∫0 5

;

4 sin

∫

(

)

2 4(24 + 4

(

2 − 6) sin(

)

− (24 − 12 2 +

4)cos ( ))

5 sin2( )

24 − 24 cos(

) − 24 sin( ) + 4

3 sin(

) + (12 2

−

4)cos ( )

= 2 4

5 sin2( )

24 − 24 cos( ) − 12

sin(

) + 3

3 sin(

)

= 2 4

5 sin2( )

sin( )

+ 2 cos(

)

− 2

3 sin(

)

= −24 4

+ 6 4

5 sin2(

)

5 sin2(

)

sin(

) + 2 cos(

) − 2

= −24 4

+ 6 4

5 sin2( )

2 sin(

)

Таким образом,

∞

sin( )

+ 2 cos( ) − 2

∑ [−24 4

+ 6 4

] sin (

)

5 sin2(

)

2 sin(

)

24 4

∞

sin( ) + 2 cos( )

− 2

6 4

∞

sin ( )

−

∑ [

] sin (

) = 3 −

−

∑

5 sin2( )

2 sin(

)

1 ∞

sin( ) + 2 cos( ) − 2

∑ [

] sin (

) = −

(

−

5 sin2( )

24 4

4 3

Запишем общий вид решения задачи с учетом полученных разложений:

				3			3			∞				2 2									2 3						sin(					) + 2 cos( ) − 2																				2
				3			3							2 2									2 3						sin(					) + 2 cos( ) − 2																				2		sin( )
( , ) = (					0	−	0	) + ∑ [							0						−		0																												]			−	2						+

				4										2	sin( )																			5				2		(				)
				4											sin( )																						sin			(				)
										=1
										=1
							2 3				3				1					1 2								3							2 2									2				3
						+	0			(−			+						+			(				−				)) −								0			(						−						).
						+				(−	24 4		+			48			+	4		(		4 3		−	20			)) −											(		4 3				−		20				).

																													∞			−				2
																													∞			−
												3 0						3 0							2 0 2											2		sin (							)
									( , ) = (			3 0						3 0							2 0 2													sin (							)
																	−				) +								∑																		−
													4				−				) +								∑				2 sin( )														−
																													=1
																													=1
	2	3	∞			sin(			) + 2 cos( )						− 2				2																				3							2				2								2		3
	2					sin(			) + 2 cos( )						− 2																																													3
−	0		∑															− 2 sin (										) +			0		(−									+					−					)	−		0	(			−		).
−			∑						5 sin2( )									− 2 sin (										) +					(−					12				+			8		−	30				)	−			(	2		−	10	).
			=1
			=1

Выполним проверку начальных и граничных условий.

		2 2	∞								2 3				∞				sin(				)	+ 2 cos( ) − 2
		2 2		sin( )							2 3								sin(				)	+ 2 cos( ) − 2
( , 0)	=	0	∑							−		0		∑															sin(	) +
( , 0)	=		∑		2	sin(			)	−				∑									5			2	( )		sin(	) +
						sin(			)																sin		( )
			=1											=1
			=1											=1
									3			2				2						2				3
				+		0	(−				+		−				)	−		0	(				−			).
				+			(−	12			+	8	−		30		)	−			(	2			−	10		).
								12				8			30							2				10

С учетом полученных ранее разложений будем иметь ( , 0) = 0.

															2
										2 2	∞
				3			3			2 2	∞			− 2
	(0, ) = (				0	−		0	) +	0	∑							−
	(0, ) = (				4	−			) +		∑		2 sin(				)	−
											=1
											=1
	2	3	∞		sin( ) + 2 cos( ) − 2								2			2			3
	2				sin( ) + 2 cos( ) − 2														3
−	0		∑									− 2		−	0			+	0	.
								5 sin2( )							30				10
			=1
			=1

В силу равномерной сходимости рядов в выражении, полученном выше, их суммы будут ограничены, поэтому (0, ) ограничено.

	1
	\| =
	\| =

∞																	2
	2 2				2 3 sin(					)	+ 2 cos( ) − 2						2		cos( )		− sin ( )
	2 2				2 3 sin(					)	+ 2 cos( ) − 2					−			cos( )		− sin ( )
= ∑ [		0		−		0									]	−	2					+
= ∑ [	2	sin( )		−						5		2			]					2		+
		sin( )									sin ( )
=1
=1
			2 3				32		2				2 2	2
		+		0		(−		+				) −	0		= −		0	.
		+				(−	244	+	163			) −		43	= −			.
							244		163					43
							=0

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.