Импульсное воздействие. Единичная импульсная функция (функция Дирака). Импульсная характеристика эц, ее связь с операторной передаточной функцией. Интеграл наложения.

Единичная импульсная функция ( - функция, функция Дирака) определяется как производная от единичной ступенчатой функции. Поскольку в момент времени t = 0 функция 1(t) претерпевает разрыв, то ее производная не существует (обращается в бесконечность). Таким образом, единичная импульсная функция

 (t) = (9)

Это особая функция или математическая абстракция, но ее широко используют при анализе электрических и других физических объектов. Подобного рода функции рассматриваются в математической теории обобщенных функций.

Воздействие в виде единичной импульсной функции можно рассматривать как ударное воздействие ( достаточно большая амплитуда и бесконечно малое время воздействия). Вводится также единичная импульсная функция, смещенная на время t = 

 (t-) =

Единичную импульсную функцию принято графически изображать в виде вертикальной стрелки при t = 0, а смещенную при - t =  (рис. 11).

Если взять интеграл от единичной импульсной функции, т.е. определить площадь, ограниченную ею, то получим следующий результат:

Рис. 11.

Очевидно, что интервал интегрирования может быть любым, лишь бы туда попала точка t = 0. Интеграл от смещенной единичной импульсной функции  (t-) также равен 1 (если в пределы интегрирования попадает точка t =  ). Если взять интеграл от единичной импульсной функции умноженной на некоторый коэффициент А₀ , то очевидно результат интегрирования будет равен этому коэффициенту. Следовательно, коэффициент А₀ перед  (t) определяет площадь, ограниченную функцией А₀  (t).

Для физической интерпретации  - функции целесообразно ее рассматривать как предел, к которому стремиться некоторая последовательность обычных функции, например

Графически этот процесс представлен на рис. 12, причем, как нетрудно убедиться, площадь, ограниченная каждой реализацией функции f(t,t) равна 1, а при t  0 длительность прямоугольных импульсов будет стремиться к нулю, а их амплитуда к бесконечности.

Рис. 12.

Импульсная характеристика эц

Импульсной характеристикой g(t) называется реакция цепи на воздействие в виде единичной импульсной функции (t). Импульсная характеристика определяется при нулевых начальных условиях.

Переходная и импульсная характеристики связаны между собой также, как связаны между собой соответствующие воздействия. Единичная импульсная функция является производной от единичной ступенчатой функции (см. (9)), поэтому импульсная характеристика является производной от переходной характеристики и при h(0) = 0

. (10 a)

Если h(0) не равно нулю, то импульсная характеристика может быть найдена как

(10 б)

Это утверждение следует из общих свойств линейных систем, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями, в частности, если к линейной цепи с нулевыми начальными условиями вместо воздействия прикладывается его производная, то реакция будет равна производной от исходной реакции.

Связь импульсной характеристики g(t) с операторной передаточной функцией Н(р).

Импульсная характеристика численно равна реакции цепи u₂(t) на воздействие u₁(t)=(t) единичной импульсной функции, которая имеет изображение U₁(p)=1 (см.таблицу, связывающую пары оригинал  изображение для различных функций времени).

Используя (3) найдем изображение импульсной характеристики

(11)

Импульсная характеристика имеет своим изображением операторную функцию передачи.

Пример. Определить импульсную характеристику последовательной RC-цепи (рис. 8.4).

Воспользуемся найденной операторной передаточной функцией RC-цепи (рис. 4) для определения Воспользуемся выражением (11)

Определим , воспользовавшись справочной таблицей, которая содержит пары оригинал  изображение для различных функций времени

График переходной характеристики показан на рис. 13:

Рис. 13