- •Введение
- •1. Матрицы и действия с матрицами.
- •2. Определители
- •3.Обратная матрица. Решение матричных уравнений.
- •4. Ранг матрицы
- •5.Системы линейных уравнений. Основные понятия.
- •6.Решение линейных систем по формулам Крамера
- •7. Решение систем с помощью обратной матрицы
- •8. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса.
- •9. Однородные системы
- •10.Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Индивидуальное задание
3.Обратная матрица. Решение матричных уравнений.
Матрица называется обратной к квадратной матрице , если
где - единичная матрица, имеющая тот же порядок, что и матрица. Обратная матрица существует только в том случае, если, и ее элементы находятся по формуле
,
где - алгебраическое дополнение к элементу.
Внимание! Алгебраические дополнения вычисляются к элементам строки, а записываются в столбец.
Если , то матрицаназываетсявырожденной, в противном случае невырожденной, т.е. обратная матрица существует только для невырожденных матриц.
Обозначается обратная матрица , т.е.
,
при этом ее определитель .
Для невырожденных матриц ивыполнены соотношения
,
.
Введение обратной матрицы позволяет решать матричные уравнения. В конечном счете, матричные уравнения сводятся к двум простейшим уравнениям:
или .
Если матрица - квадратная, невырожденная, то эти уравнения имеют единственное решение, которое можно получить с помощью обратной матрицы. Так как при умножении матриц коммутативный закон не выполняется, указанные уравнения имеют различные решения.
При поиске решения первое из уравнений надо умножать на обратную матрицу слева, а второе справа, т.е.
. (5)
. (6)
►Пример 5. Найти решение матричного уравнения , то есть определить матрицу, если;.
Решение.
Решение в матричном виде определяется формулой (5), т.е. .
Для существования решения необходимо, чтобы матрица была невырожденной. Вычислим определитель матрицы
.
Следовательно, матрица невырожденная, и для нее существует обратная матрица. Проведем вычисления, необходимые для построения обратной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения:
Составим обратную матрицу и найдем неизвестную матрицу.
,. ◄
При вычислениях множитель лучше оставлять перед матрицей и проводить умножение полученной матрицы на него на последнем этапе вычислений.
►Пример 6. Найти решение матричного уравнения , если.
Решение.
Формулой (5) воспользоваться нельзя, так как матрица не квадратная, следовательно, для нее не существует понятия обратной матрицы. Умножим обе части уравнения на транспонированную матрицуслева, получаем
.
Матрица - квадратная и, если ее определитель не равен нулю, то решение заданного уравнения имеет вид
. .
Проведем вычисления.
.
Определитель полученной матрицы . Следовательно, обратная матрица к матрицесуществует, и можно найти матрицу.
,
,
.
Итак, неизвестная матрица . ◄
Упражнения.
1. Для заданных матриц найти обратную матрицу.
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Ответы:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) .
2. Найти неизвестную матрицу из уравнений.
а) ; б); в) ;
г) ; д).
Ответы: а) ; б); в); г); д).