1.4. Описание линейных дискретных систем в z-области

В п. 1.3 рассматривалось описание ЛДС во временнойобласти: импульсная характеристика и соотношение вход/выход в виде формулы свертки либо разностного уравнения. Здесь рассматривается их отображение вz-области.

Описание ЛДС в z-области позволяет:

- ввести фундаментальное для теории линейных систем понятие передаточной функции;

- перейти от разностных уравнений к алгебраическим;

- упростить анализ устойчивости;

- обеспечить автоматический переход к частотным характеристикам и многое другое.

Прежде чем перейти к описанию ЛДС в z-области, рассмотрим математический аппаратZ-преобразования.

1.4.1. Z-преобразование

В данном разделе приводятся необходимые для дальнейшего рассмотрения сведения о математическом аппарате Z-преобра­зования. Более подробная информация содержится в [1].

Z-преобразованием (прямым) последовательностиназывают следующий ряд

, (1.22)

где –оригинал – вещественная или комплексная последовательность, для которой выполняется условие (1.9);

–z-изображениепоследовательности, результатZ-преобразования.

Z-преобразование однозначно связано с последовательностьюи справедливо только в области абсолютной сходимости ряда

. (1.23)

Z-преобразование (1.22) получено на основе известного дискретного преобразования Лапласа

в результате замены переменных

, (1.24)

где p– оператор Лапласа

. (1.25)

Определим взаимосвязь между комплексными p- и z-плоско­стями.

Подставляя p(1.25) в (1.24), получаем

, (1.26)

после чего, раскрывая по формуле Эйлера

,

имеем вещественную и мнимуючасти комплексной переменнойz (рис. 1.10):

; (1.27)

. (1.28)

Комплексная переменная zможет быть представлена в двух формах:

- алгебраической

; (1.29)

- показательной

, (1.30)

где радиусявляется модулем, аугол– аргументом переменнойz (1.29):

; (1.31)

. (1.32)

Рис. 1.10. Комплексные p- иz-плоскости

Соответственно, положение произвольной точки на комплексной z-плоскости может указываться:

- координатами (;) – в декартовой системе координат;

- полярными координатами (радиусомrи углом) – в полярной системе координат.

Сопоставляя соотношения (1.26) и (1.30), выразим значения радиуса rи углачерезисоответственно:

; (1.33)

. (1.34)

Равенство (1.34) указывает на то, что угол точки на комплексной z-плоскости есть не что иное, какнормированнаячастота(1.8), измеряемая в радианах.

В силу периодичности экспоненты угол(1.34) комплексной переменнойzопределяется с точностью до слагаемого 2k, гдеk – любое целое число:

,

однако, как правило, по умолчанию речь идет о главномзначенииаргумента из диапазона

.

Отображение p-плоскости на z- плоскость

Используя взаимосвязь между комплексными переменными и(1.24), рассмотрим отображение наz-плоскость:

- характерных точек p-плоскости;

- отрезков мнимой осиjи всей осиjp-плоскости;

- коридоров в левой и правойp-полуплоскостях.

1. Начало координат p-плоскости –точкас координатами ( = 0; = 0) отображаетсяв точку z-плоскости с координатами ( = 0; = 0); в полярных координатах (r = 1; = 0), (рис. 1.11, табл.1.3):

.

Рис. 1.11. Отображение точек p-плоскости наz-плоскость

2. Точкаp-плоскости с координатами ( = –; = 0) соответствует началу координатz-плоскости –точкес координатами ( = 0; = 0):

.

3. Точкаp-плоскости на оси частотjс координатами ( = 0; =  / 2T) отображаетсявточкуz-плоскости с координатами ( = 0; = ); в полярных координатах (r = 1; = /2), (рис. 1.11, табл.1.3):

.

4. Точкаp-плоскости на осиjс координатами ( = 0; = – / 2T) отображаетсяв точкуz-плоскости с координатами ( = 0; = –); в полярных координатах (r = 1; = –/2), (рис. 1.11, табл.1.3):

.

5. Две точкиp-плоскости на осиjс координатами ( = 0; =  / 2T) отображаютсяв одну точкуz-плоскости с координатами ( = –1; = 0); в полярных координатах (r = 1; = ), (рис. 1.11, табл.1.3):

.

6. Отрезок осичастотjp-плоскости

;

на z-плоскости отображается вокружность единичного радиуса(единичнуюокружность):

;

; ;

радиус-вектор совершает одинполный оборот против часовой стрелки, начиная с точки, т. е. уголнаz-плоскости ограничен областьюглавныхзначений.

Несложно показать, что при движении точки с начальными координатами ( = 0; =  / T) вдоль осиjвверх частотный интервалотображается наz-плоскости вkсовпадающих единичных окружностей:

 <  ≤ ( + 2k)   = 2k, k = 1, 2, …

Аналогично, при движении точки с начальными координатами ( = 0;  = – / T) вдоль оси j вниз частотный интервал также отображается наz-плоскости в k совпадающих единичных окружностей :

–( + 2k) <  ≤ –   = 2k, k = 1, 2, …

Таким образом, мнимая осьjотображаетсяв бесчисленное множество совпадающих единичных окружностей, вследствие чего возникаетнеоднозначностьотображения точекp-плоскости наz-плоскость.

Для их взаимно однозначногоотображения ограниваются частотным диапазоном

,

в результате чего p-плоскость ограничивается «коридором» между двумя линиями, параллельными оси абсцисси пересекающими ось ординатjв точках(рис. 1.12).

Рис. 1.12. Соответствие p- иz- плоскостей при их взаимно однозначном отображении

7. Коридор в левой p-полуплоскости

; 

на z-плоскости отображается вкруг единичного радиуса (единичныйкруг) (рис. 1.13, табл.1.3

;

; .

Рис. 1.13. Отображение «коридора» в левой p-полуплоскости наz-плоскость

8. Коридор в правой p-полуплоскости

; 

на z-плоскости отображается в областьвнеединичного круга (рис. 1.14, табл.1.3):

;

; .

Рис. 1.14. Отображение «коридора» в правой p-полуплоскости наz-плоскость

Таблица 1.3