Из (*) следует . (2)

Формула (2) называется формулой произведения вероятностей. В общем случае имеет место следующая теорема.

Теорема умножения вероятностей:

Пусть А₁, А₂,…A_n - некоторые события, тогда

.

Определение. Событияназываются независимыми, если вероятность появление любого из нихне зависит от того произошли или нет любые изостальных событий. В частности,если события и независимы, то

Теорема умножения вероятностей для независимых событий:

Пусть события независимы, тогда вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.P(A₁A₂…A_n)=P(A₁)P(A₂)…P(A_n).

Теорема. Пустьсобытия А₁,А₂,…,А_n попарно несовместны и событие В может наступить с одним из событий , . Тогда

P(B)=P(A₁)P(B/A₁)+P(A₂)P(B/A₂)+…+P(A_n)P(B/A_n).

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Теорема Байеса. Пустьсобытия А₁,А₂,…,А_n попарно несовместны и событие В может наступить с одним из событий , . Тогда гдеР(В)находится по формуле полной вероятности.

Повторение испытаний. Пусть проводится независимых испытаний; причем, каждое отдельное испытание имеет только два исхода: рассматриваемое событие наступило (удача) и рассматриваемое событие не наступило (неудача), и в каждом отдельном испытании вероятность наступления рассматриваемого события (удачи) постоянна и обозначается .Обозначим - вероятность наступления рассматриваемого события раз в независимых испытаниях. Справедлива формула Бернулли: . Здесь q есть вероятностьнаступления неудачи в отдельном испытании и q = 1 - p.

При достаточно больших значениях nискомую вероятность вычисляют приближенно полокальной формуле Муавра – Лапласа: , где иq = 1 – p

Функцией называется функция вида .Функция табулируемая, т.е. есть таблица значений этой функции.

Обозначим через P_n(k₁,k₂)вероятность того, что в схеме Бернулли с параметрамиn, pчислоkнаступлений событияАудовлетворяет неравенству Назовем функцией Лапласа функцию вида . Функция табулируема и в таблице даны значения функции для , так как при выполняется условие .Обозначим . Cправедлива приближеннаяинтегральная формула Муавра- Лапласа: _.

Пусть остается постоянным и . Тогда для любого целого справедливаприближенная формула Пуассона:

Дискретные случайные величины (ДСВ). Закон распределения ДCВ

Определение. Случайнаявеличиной Хназывается величина, которая в результате испытания может принимать различие заранее неизвестные значения, причем только одно.

Определение. Случайнаявеличина Х называется дискретной (ДСВ), если она может принимать только конечное или счетное множество значений.

Пример: Число выигрышных билетов среди трех купленных билетов ; число бракованных изделий среди п изделий партии , количество ненастных дней в году и т.д.

Определение. Законом распределенияДСВ называется таблица,в одной строке которой стоят всевозможные значения этой величины, а в другой- вероятности их появления.

Обозначим: - значения ДСВ Х; , .

Тогда закон распределения ДСВ имеет вид

			…
			…

Сумма всех вероятностей в законе распределения ДСВ всегда равна единице: .

Пример. Пусть Х - число,выпавшее при бросании игральной кости, закон распределения Х имеет вид

	1	2	3	4	5	6
	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

В данном примере .

Рассмотрим теперь некоторые стандартные примеры ДСВ. Биномиальным законом распределения ДСВ Х называется распределение при котором определяются формулой Бернулли.

	0	1	…	k	…	n-1	n
		npqn-1	…		…	npn-1	pn

Закон распределения ДСВ называется пуассоновским, если вероятности определяются формулой Пуассона.

Пусть Х- случайная величина, аx- любое действительное число.

Определение. Функцией распределения вероятностиХназывается функция действительного переменногох,равная вероятности того, что Х примет значение меньшеx, т.е. Геометрически эта вероятность равна вероятности попадания значенияхв промежуток

Пример. Рассмотрим дискретную величинуХ со следующим законом распределения

	1	4	8
	0,3	0,1	0,6

Найдем ее функцию распределения вероятностей: а) если то ()=0, в)если то ()=(=1)=0,3; c)если то ()=((=1)+(=4))=0,3 +0,1=0,4;

d) если >8, то ()=((=1)+(=4)+(=8))=0,3+0,1+0,6=1.

Окончательно получим, что

Рассмотрим свойства функции распределения вероятностей.

Свойство 1. Функция F(x) определена на всей числовой оси и принимает свои значение из промежутка [0,1]: 1. Это свойство следует из определенияF(x) и свойств вероятности.

Свойство 2. Если любые числа, то вероятность того, что значение Х попадет в промежуток , равна

Свойство 3.Функция не убывает для всех х.

Это свойство непосредственно следует из предыдущего, поскольку при выполняется .

Свойство 4. Для любой случайной величиныХ верно:

В частности, если всевозможные значения Х принадлежит отрезку , то при >b и при