Вектордың құраушылары болып табылатыны белгілі.

А

0

6.2 сурет. Сұйықтық орта қозғалысындағы жылдамдықтар үлестірімінің сұлбасы.

А нүктесінің жылдамдығы келесі түрде берілуі мүмкін:

, (6.6)

мұнда О нүктеден өтетін шапшаң өсінің айналасындағы А нүктенің айналу қозғалысының жылдамдығы болады және бұрыштық жылдамдығының векторына тең, ал векторы таза деформация жылдамдығы болып табылады. Осы соңғы жылдамдықтың құраушылары келесі түрде болады:

,

, (6.7)

Тоғыз шамадан тұратын кестені

(6.8)

деформациялар жылдамдықтарының тензоры деп атайды. Егер бұл тензор нөлге айналса, яғни жоғарыда айтылған кестенің барлық тоғыз құраушылары нөлге тең болады, онда (6.7) формулалары бойынша деформация жылдамдығыда нөлге айналады. Бұл О нүктенің төңірегінде сұйықтық бөлшектер жылдамдықтарының үлестірімі сондай-ақ қатты дененің нүктелер жылдамдықтарының үлестірімі формуласымен беріледі екенін көрсетеді, яғни О нүктенің төңірегінде бөлшектің деформациясы болмайды.

Кернеулер тензоры. Енді тұтқыр сұйықтық қозғалысында пайда болатын беттік күштерін қарастырамыз. Сұйықтық ішінен тұйық бет көмегімен көлемін бөліп аламыз; осы беттің элементін қарастырамыз. Беттің осы элементіне сыртқы нормаль бағытың арқылы белгілейік. Сонда элементтін сыртқы жағында орналасқан сұйықтық бөлшектерінің осы элементтін ішкі жағында орналасқан сұйықтық бөлшектеріне әрекеті беттік күші әрекетіне келтіруге болады.

Егер арқылы элементар аудандар үшін, сыртқы нормальдары x, y, z өстеріне сәйкес параллель және бірдей бағытталған, беттік күштердің кернеулерін белгілесек, онда қатыс

. (6.9)

орындалады.

Енді векторлардың координаталар өстеріне проекциялары үшін келесі белгілерді енгізейік:

векторы үшін,

векторы үшін,

векторы үшін,

векторы үшін,

мұнда, мысалы, нормаль кернеу деп аталады, ол Ох өсіне перпендикуляр элементар ауданға әсер етеді, ал жанама кернеулер деп аталады.

Сонда, (6.9)-ды координаталар өстеріне проекциялап, аламыз:

,

, (6.10)

,

Тоғыз шамадан тұратын кесте

кернеулер тензоры деп аталады.

Кернеулер тензоры және деформациялар жылдамдықтарының тензоры арасындағы байланыс.

Тұтқыр сұйықтықтағы кернеулер тензоры және деформациялар жылдамдықтарының тензоры арасындағы байланыс мына түрде болады:

,

, (6.12)

,

Жалпы сығылатын сұйықтық жағдайда кернеулер үшін формулалар

келесі түрінде жазылады:

,

, (6.13)

,

мұнда . (6.14)

Тұтқыр сұйықтықтың қозғалыс теңдеуі (Навье – Стокс теңдеуі).

Тұтас орта қозғалысының жалпы теңдеуі мына түрде болады:

(6.15)

Мұнда сұйықтық ішінен бетпен бөліп алынатын кез келген көлем, сұйықтық бөлшегінің тығыздығы, - масса бірлігіне қатынасты массалық күштердің векторы, - сұйықтық бөлшектің үдеуі, - бетіне сыртқы нормаль бағыты. Сонда теңдік орынды

. (6.16)

Енді (6.15) формуласына кіретін беттік интегралды көлемдікке түрлендіреміз. Ол үшін келесі формула орынды екенін байқаймыз:

, (6.17)

мұнда - көлемінде өзінің туындысымен бірге үзіліссіз кез келген вектор.

(6.17) негізінде аламыз

Сонымен (6.15) теңдік мына түрде болады:

Сондықтан, келесі қозғалыс теңдеуіне келеміз:

(6.18)

Оны тағы мына түрде жазуға болады

, (6.19)

мұнда .

Координаталар өстеріне осы вектордың проекциялары болады:

,

, (6.20)

,

себебі вектордың проекциялары болады және одан әрі осылай.

арқылы координаталар өстеріне массалық күштің проекцияларын белгілеп және , , шамалары үдеудің проекциялары болатынын еске алып, (6.19) – дан қозғалыс теңдеуін келесі түрде табамыз:

,

, (6.21)

.

Енді (6.13) және (6.14) формулаларын қолданамыз және деп ұйғарамыз. Сонда оңай, мысалы аламыз:

Сондықтан тағы үдеудің толық түріндегі проекцияларын жазып, (6.21) –ден келесі тұтқыр сұйықтық қозғалысының теңдеулерін аламыз:

,

, (6.22)

.

Мұнда шама кинематикалық тұтқырлық коэффициенті деп аталады. СГС жүйесінде мәні өлшенеді; мысалы температурасында кинематикалық тұтқырлық коэффициенті су үшін , ал ауа үшін осы шарттарда тең болады.

Осы теңдеулерге тағы үзіксіздік теңдеуін қосу керек

. (6.23)

(6.22) теңдеулері Навье – Стокс теңдеулері деп аталады.

Нег.: 2. [369- 377], [385- 388]; 3. [73 -79] , [82 -86].

Қос. : 5. [359-373].

Бақылау сұрақтары:

1. Қандай қарапайым сұйықтық қоғалысының мысалында сұйықтықтың тұтқыр коэффициенті туралы ұғым енгізіледі?

2. Тұтқыр сұйықтық дегеніміз не?

3. Деформациялар жылдамдықтарының тензоры дегеніміз не?

4. Кернеулер тензоры дегеніміз не?

5. Тұтас ортаның жалпы қозғалыс теңдеулеріне қандай күштер кіреді?

6. Жалпы қозғалыс теңдеулерінен Навье – Стокс теңдеулері қалай алынады?

7. Динамикалық және кинематикалық тұтқырлық коэффициентері дегеніміз не?

8. Тұтқырлықтың өлшем бірліктері.

№7 дәріс. Тұтқыр сығылмайтын сұйықтық қозғалысының теңдеуі. Ұқсастық заңы. Рейнольдс және Фруд сандары. Тұтқыр сығылатын сұйықтық үшін жылу құйылуы теңдеуі. Тұтқыр сұйықтық қозғалыс теңдеулерінің дәл шешімдері. Екі жазық параллель қабырғалар арасындағы бірөлшемді ағыс.

Егер біздер тұтқыр сығылатын сұйықтық қозғалысын зерттеп жатсақ, онда (6.22) және (6.23) төрт теңдеулері бес белгісіз функцияларды анықтау үшін жеткіліксіз. Бұл жағдайда зерттеп жатқан үрдістердің тағы да және термодинамикалық қасиеттерін ескеру қажет.

Одан әрі тұтқыр сығылатын сұйықтық үшін жылу құйылуы теңдеуін қарастырамыз, ал қазір сығылмайтын сұйықтық жағдайымен шектелеміз.

(6.22) және (6.23) теңдеулері сығылмайтын сұйықтық жағдайы үшін қарапайым түрге келеді:

,

, (7.1)

,

. (7.2)

Ұқсастық заңы. Рейнольдс және Фруд сандары.

Кейбір сұйықтық ағысты қарастырып, осы ағыс үшін ерекше жылдамдық және ерекше ұзындық енгіземіз. Ерекше жылдамдық ерекше ұзындықтың осы ағыстың ерекше уақыт аралығының қатынасына тең деп алу мүмкін болғандықтан, ерекше уақыт аралығы болады. Ақырында ерекше үдеу немесе болады.

Өлшемсіз шамаларды қарастыруға енгізіп, атап айтқандай қоямыз:

(7.3) Енді қозғалыс теңдеулерді, мысалы, (7.1) жүйенін үшінші теңдеуін енгізілген өлшемсіз шамаларға түрлендіреміз және анықтылық ұшін массалық күші ауырлық күші болады деп есептейміз. Сонымен, мысалы, біз аламыз:

,

.

Қарапайым есептеулер (7.1) жүйенін үшінші теңдеуі айтылған түрлендіруден және көбейткеннен кейін келесі түрге келеді екенін көрсетеді.

.

дейік және Рейнольдс пен Фруд сандарын енгізейік:

;

сонда теңдеу келесі түрге келеді:

. (7.4)

Осы теңдеуден ағыс сипаты және сандардың мәндерінен тәуелді екені көрінеді. Керісінше, егер ұқсастық геометриялық денелер төңірегіндегі екі ағыстар үшін Рейнольдс және Фруд сандары бірдей болса, онда өлшемсіз шамалардағы қозғалыс теңдеулері екі ағыстар үшін бірдей болады және, демек, екі ағыстар үшін -дің бірдей функциялары болады. Сонда бірақта (7.3) - тен

көрінеді екен, ал бұл екі қарастырып жатқан ағыстар бір біріне ұқсас екенін білдіреді.

Сөйтіп, екі қозғалыстар үшін Рейнольдс және Фруд сандары сай келетінде осы қозғалыстар бір біріне ұқсас болады.