32. Матрица жесткости стержня в общей системе координат

На примере плоской стержневой системы рассмотрим построение матрицы жесткости одного отдельного стержня. На ри­сунке 1а показан некоторый стержень в местной системе координат [x^/, y^/] , где

ось x^/ - проходит вдоль продольной оси стержня, а ось y^/ - ей перпендикулярна, а также отмечены направления перtмещений в виде вектора:

z' = | z'₁ z'₂ z'₃ z'₄ z'₅ z'₆ |^Т (1)

На рисунке 1б показаны связи, налагаемые на оба конца стержня и устраняющие перемещения z^/₁, z^/₂, z^/₃, z^/₄, z^/₅, z^/₆

На рисунке 1в изображены опоры которым соответствуют перемещения. Вектору перемещений на рисунке 1г соответст­вуют реакции опор. Вектор реакций опор:

R' = | R'₁ R'₂ R'₃ R'₄ R'₅ R'₆ |^Т (2)

Вектор перемещения z' и и вектор внешних сил R' связаны через матрицу жесткости:

K' ^. z' = R' (3)

где

( МЖЭ )

Физический смысл произвольного элемента матрицы K'_ij - это реакция в i –й связи от единичного перемещения j-й связи.

Например : К'₁₂ - это реакция , которая появляется во 2-й опоре в случае перемещения 1-й опоры на единичный угол. К'₂₅ - это реакция , которая появляется в 5-й опоре в случае перемещения 2-й опоры на единичный угол.

33. Составление матрицы жесткости мжс для всей конструкции

Перейдем теперь от описания одного элемента к описанию совокупности элементов. Пусть в узлах одного элемента дейст­вуют внеш­ние силы, определяемые вектором R . Если бы тело состояло из одного элемента, то канонические уравнения ме­тода сил имели бы вид (19). На самом деле к одному узлу сетки обычно примыкает несколько конечных элементов, каждый, из которых вносит вклад в матрицу жест­кости (например, на рис. 5 к левому нижнему узлу, где приложена сила Р ,примыкают три элемента). Поэтому для каждого i -узла суммарная матрица жесткости будет вклю­чать сумму элементов матриц жесткости всех примыкающих к узлу элементов, т. е.

(20)

в то время как узловое перемещение для всех этих элементов будет общим и определяется соответствующей компонентой век­тора . Сумма в (20) берется по всем элементам, примыкающим к вершине i, а их может быть много. Обычно такое сло­жение очередной МЖЭ в МЖС проводится сразу после вычисления этой МЖЭ , что позволяет экономить память ЭВМ. При этом , если сетка разбиения на КЭ нерегулярная, то используется , так называемая, матрица индексов , которая позволяет правильно суммировать элементы МЖЭ с «нужными» элементами МЖС . Для регулярной сетки разбиения на КЭ процесс формирования МЖС обычно автоматизирован.

Введем вектор перемеще­ний всех узлов сетки конечных элементов , который составим из векторов перемещений ка­ждого узла

где п — число неопорных узлов сетки.

Через F обозначим вектор сосредоточенных усилий во всех узлах сетки (кроме опорных):

В узлах сетки , где приложены внешние силы , соответствующие f i элементы вектора сосредоточенных усилий F будут равны этим силам , а остальные элементы вектора F из условия равновесия будут равны нулю.

Матрица жесткости всего сооружения (МЖС) составляется из матриц жесткостей (МЖЭ) всех конечных элементов , на которые было разбито сооружение (конструкции).

Общая матрица жесткости для всей конструкции выразится в виде

[ K ] =

и будет представлять собой симметричную (по теоремы Бетти о взаимности перемещений) матрицу. Окончательно зависи­мость, связывающая известные усилия F и неизвестные перемещения  будет иметь вид

[ K ] ^.  = F (21)

Решение уравнений (21) может быть найдено при помощи как точных, так и приближенных методов. Наиболее эффектив­ными считаются метод исключения Гаусса и метод сопряжен­ных градиентов , а итерационные методы и методы релаксации, как правило, менее эффективны. В каждом конкретном случае эффективность того или иного метода зависит от размерности и структуры общей матрицы жесткости [K] и от вычислительных возможностей компьютера .

34. Дискретизация расчетной схемы фермы

Дискретизация расчетной схемы состоит в следующих шагах ( рис.5 б) :

а). Нумерация стержней – номера стержней указаны в кружочках .Всего в нашем

рис.5 б

примере ZEL=7 стержней ( конечных элементов ).

б). Указание осей координат - ось X – горизонтальная и ось Y- вертикальная

в). Нумерация перемещений узлов с указанием их направлений – направления

линейных перемещений совпадает с направлением осей координат , а направления угловых перемеще­ний - по часовой стрелке . Нулевые перемещения в узлах со связями не нумеруются. Всего в нашем примере N=12 узловых перемещений.

г). Составление таблицы параметров и индексов для нашего примера. Это таблица исходных данных - таблица параметров и индексов предназначена для ввода в программу расчета на ЭВМ. Каждый стержень – в отдельной строке таблицы. Все данные в одной системе –СИ. (таблица 7.1)

Кроме данных из этой таблицы в программу расчета на ЭВМ вводятся глобальные переменные N=12 и ZEL= 7.