11. Дәріс тақырыбы. Жұп сызықтық регрессия теңдеуі және ең кіші квадраттар әдісі бойынша модель.

Дәріс конспектілері: Басқада оңтайлы шешімдер бар, дегенмен, ең кіші квадраттар әдісін қолдану ығыспаған тиімді a және в бағаларын береді. Осы себептерге байланысты, регрессиялық талдау кезінде ең кіші квадраттар әдісі жиі қолданылады.

Қатардың өсіңкілік көрсеткіштерін уақытқа байланысты тегістеуде (тренд) және болжау үшін екі әдіс қолданылады:

а) аналитикалық;

ә) ең кіші квадрат әдісі.

Эмперикалық мәліметпен есептелген өсіңкілік қатар көрсеткіштері арасында өте тығыз байланыс бар, уақытқа тәуелді байқалуыпен-лердегі байланыс пен тәуелділікте. Аналитикалық тегістеу(тренд) өсіңкі қатар көрсеткішінің орташа өзгерісін бақылау арқылы, болашақты бағдарлауға негізделген. Мұндай өсіңкі қатарды тегістеу көп жағдайда орташа шаманың жылжуына қарай, оның сандық, сапалық талдау арқылы, экономиалық өзгерістің нақты және қатысты шамаларын ескере отырып алдағы уақытқа (ай, жыл, т.б.) болжамжасауға болады. Ең кіші квадраттық ауытқу әдісін пайдаланып, тегістеуде

функциясын немесе

(29.1)

теңдеуін аламыз. Мұнда в₀ –бос мүше, в₁-теңдеу коэффициенті, t – уақыт өлшем бірлігі,

t = 1,2,…,n тең (29) теңдеуінен ең кіші квадраттық ауытқу (ЕКК)арқылы былай жазуға болады.

(29.2) немесе оны кейде ең кіші квадраттар әдісінің критерийі түрінде жазуға болады.

(29.3)

Бұдан жоғарыдағы (29.2) теңдеуді в₀, в₁ арқылы диференциалдаймыз, келтірілген сызықты теңдеулер жүйесін жазамыз

(29.4)

(29.4) – үшін келтірілген теңдеу жүйесін жазуға болады:

(30)

Егер , онда уақыт өлшемін – 1, -2, 0, +2, +1 деп аламыз.

(30) жүйемына түрге келеді:

Бұдан: (31)

Мысал-7. Құрылыс компаниясы үй салудағы өсіңкілік қатарды теориялық (ЕКАӘ) әдісімен тегістеу, болжау (млн м²).

Шешуі.

11- кесте

Жылдар	Құрылыс компаниясы салған үйлер млн кв м.	Уақыт ti	yiti	ti2	Өсіңкі тегістеу yi	Ауытқу (yi-yi)	ЕКАӘ(yi-yi)2
1	2	3	4	5	6	7	8
2009	2,9	-2	-5,8	4	2,76	0,14	0,019
2010	2,4	-1	-2,4	1	2,49	-0,09	0,008
2011	2,1	0	0	0	2,22	-0,12	0,014
2012	1,9	1	1,9	1	1,95	-0,05	0,002
2013	1,8	2	3,6	4	1,68	0,12	0,014
Барлығы	11,1		-2,7	10	11,10	0,00	0,059

11-кестеден2,4,5 бағаналарды қолданып, түзу сызық теңдеуініңпараметрлерін есептейміз:

.

Өсу(динамикалық) қатарының параметрлерін мәндерін (29.1)–ге қойып түзу сызық теңдеуін құрамыз, яғни

болады.

Енді теориялық мәндері үшін 2013 жылға болжау төмендегідей болады:

y_t-2 = 2.22-0.27(-2) =2.76 млн м². y_t-2 = 2.22-0.27(-1) =2.49 млн м².

Эмпириялық есептелген өсіңкі қатардың мәндері, теориялық қатар мен тең деуге болады, яғни 2, 6 бағаналар.

Одан әрі болжауда, сенімді аралық шекарасын қолданамыз.

Мұндағы S_y- трендтің орта квадраттық ауытқуы.t₂ – Стъюденттің t – критерийі - деңгей шамасының мәні:

Мұндағы y_i, y_t – эмпириялық, теориялық өсіңкі көрсеткіштері, n - уақыт ұзындығы, m - трендтің параметрлер саны, (m=2, сызықтың теңдеу үшін).

Кесте үшін млн м². Қатысты шаманың қатесі 6,32 %, () . Немесе , S_у– ны табу керек?

, яғни: S_y=0.14млн.м².

S_y = 0,14*100% = 14,0 млн. м².

Мысал-8.Өнеркәсіпте өндірілген өнім x (млн. теңге.)-мен өнімге жұмсалған шығын y (мың. теңге.) –тің арасындағы тәуелділік мына кестеде берілген.

1 2-кесте

	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
x i	9	13	17	22	29	36	44	51	60
y i	27	36	29	41	54	71	50	81	98

- х және у арасындағы тәуелдіктің сызықтық эмпериялық байланысын есептеңіз y=a+bx ;

- екі х және у айнымалылар байланысын, тәуелдігін және 2018 жылға есептегенде шығын болжаммәні 72 млн. тенге болуы керек;

- берілген кесте мәндерін және у пен х арасындағы тәуелділікті болжап олардың графигін бейнелеңіз.

Шешуі. Келтірілген теңдеулер жүйесін құру үшін берілген 12- кестеден жолдар бойынша қосындыларды (∑) -ды есептейміз.

13- кесте

x i	9	13	17	22	29	36	44	51	60
y i	27	36	29	41	54	71	50	81	98
xiy i	243	468	493	902	1566	255	220	413	588
x i 2	81	169	289	484	841	123	193	260	360

13- кесте мәндерінен теңдеулер жүйесін кұрамыз.

Крамер әдісін пайдаланып Δ, Δ_a, Δ_b анықтауыштардың мәнін табамыз.

_{Δ ==}11237*9-281*281=22172;

Δ_a==18439*9-281*487=29104;

Δ_{b ==}11237*489-281*18439=291090;

а және в коэффициенттер мәндерін теңдеуге қойып төмендегідей жазамыз.

y=1, 31x+13, 13;

y=1, 31*72+13, 13=107, 45(мың.тенге.)

y=1, 31x+13, 13

Сурет 14. Өндірілген өнімнің болжауы

Құрамында ағымды уақыттың ғана емес, сонымен қатар өткен уақыттардың айнымалыларының мәні бар модель динамикалық деп саналады. Фактор әсері үрдістің ағымды күйіне кешігіп жететін периодтар саны лаг деп аталады.

«Жұп» екі айнымалы арасындағы тәуелділікті көрсетеді. Егер бақылау нүктелері қандайда бір түзу сызықтан кездейсоқ және аздап ауытқыған болса, онда бұл 14-суретте көрсетілгендей сызықтық регрессия болып табылады.

Негізгі әдебиеттер : 3 [7-11], 6 [18-29].

Бақылау сұрақтары

1.Болжау үшін неше әдіс қолданылады:

2. Болжау әдістері не үшін қажет Халық статистикасы есептері қандай

3. Болжау әдістері қандай және қалай есептейміз

4. a және b коэффициенттер мәндерін қалай есептейміз

5. . Келтірілген теңдеулер жүйесін құру қалай құрамыз