10365

71

неизвестных (см. рис. 9.5).

Из рассмотрения рис. 9.4в видно, что уравнения эпюр от единичных лишних неизвестных имеют следующий вид:

представлять собой координату центра тяжести приведенного контура арки. Именно вследствие этого, точку “B” (см. рис. 9.4б) называют упругим центром.

Таким образом, если концы консолей совместить с упругим центром “B”, то и пе-

ремещения 12 обратятся в ноль. Канонические уравнения метода сил примут в этом слу-

чае следующий вид:

72

11 x1 01P 0;

22 x2 02P 0;

33 x3 03P 0.

Рис. 9.5

Задания для самостоятельной работы.

Литература: [2, гл. 3];

Вопросы для самопроверки:

1.От каких факторов зависит очертание оси арок ?

2.Перечислите виды статически неопределимых арок.

3.Выбор расчетной схемы и метода расчета статически неопределимых арок. 4.Особенности расчета двухшарнирных и бесшарнирных арок.

73

10. Метод конечных элементов

10.1. Задачи, решаемые методом конечных элементов

Метод конечных элементов является одним из наиболее распространенных методов решения задач строительной механики и механики деформируемого твердого тела. Сущность метода состоит в том, что заданная система расчленяется на отдельные элементы конечных размеров. Для стержневой системы конечными элементами могут быть стержни или части стержней, для двухмерных областей – прямоугольные или треугольные конечные элементы; для трехмерных областей – тетраэдры или параллепипеды . Не зависимо от вида, каждый элемент сохраняет все физические и геометрические свойства заданной расчетной схемы. При этом форма конечных элементов должна быть удобна для исследования их напряженно-деформированного состояния под действием внешних воздействий и сил взаимодействия между соседними элементами.

Получая решение для отдельного конечного элемента и объединяя его с другими конечными элементами в единую заданную систему в соответствии с условиями сопряжения конечных элементов – равновесия, равенства деформаций и перемещений в узловых точках, соединяющих отдельные элементы и ряда других, - будем иметь возможность характеризовать напряженно-деформированное состояние расчетной схемы.

Т.е. при построении математической модели (основной системы) геометрия конструкции представляется набором конечных элементов очень простой формы. Изменение перемещений и напряжений внутри одного элемента моделируется также достаточно простыми функциями – линейными или квадратичными. При рассмотрении соединений конечных элементов действующие между ними напряжения представляются эквивалентными сосредоточенными силами (и иногда моментами), приложенными в точках соединения

– узловых точках. Соответственно смещения этих точек – степени свободы, используются для описания перемещений элемента. К узловым силам приводятся также внешние распределенные нагрузки, действующие на поверхности тела. Закрепление границ тела также сводится к закреплению узловых точек. Таким образом, расчетная модель становится дискретной.

Решение задачи может быть выполнено в форме метода сил, когда за неизвестные принимаются силы взаимодействия между конечными элементами в местах их соединения, или в форме метода перемещений – когда за неизвестные принимаются перемещения узлов, соединяющих элементы. В методе сил неизвестные силы должны обеспечивать равенство перемещений конечных конечных элементов в узлах, а в методе перемещений неизвестные перемещения должны удовлетворять условиям равновесия узлов. Метод конечных элементов в форме метода перемещений является более удобным по сравнению с другими, потому он получил наибольшее распространение.

Чаще всего метод конечных элементов используется для расчета континуальных систем - пластин, плит, оболочек, массивов и систем, состоящих из них. Но его можно применять и к расчету стержневых систем, которые и будем рассматривать в настоящем курсе.

74

10.2. Применение МКЭ к расчету стержневых систем. Матрица жесткости стержне-

вого конечного элемента.

Рассмотрим стержневую систему – раму, находящуюся под действием узловой нагрузки и состоящую из “m” прямолинейных стержней постоянного по длине поперечного сечения, соединенных друг с другом “n” шарнирами или жесткими узлами, а с основанием - опорными связями (рис. 10.1).

Рис.10.1.

Введем две системы координат: общую XOY и местную .

Рассмотрим конечный элемент – стержень i j (в общей системе координат или nk в местной системе координат), длиной l, и выразим для него зависимости между перемещениями и нагрузками в общей и местной системах координат до и после его деформа-

n i

В этих выражениях матрица с формируется по координатам узлов i и j в общей системе координат.

Рис.10.2

Объединяя выражения (10.1) и (10.2), получим для стержня ij :

Выражения (10.3) и (10.5) позволяют осуществить переход от значений перемещений узлов стержня в местной системе координат к значениям перемещений этих узлов в общей системе координат и наоборот.

Аналогично составим выражения узловых сил по концам стержня в местной P* и в

общей P системах координат:

и зависимости, с помощью которых осуществляется их взаимное преобразование, анало-

гичные (10.3) и (10.5):

Составим зависимость, которая выражала бы связь между узловыми нагрузками, приложенными к конечному элементу, и его узловыми перемещениями. Это можно получить, рассматривая равновесие конечного элемента и используя в качестве условия равновесия систему канонических уравнений метода перемещений:

матрица жесткости стержневого конечного элемента в местной системе координат. Каж-

дый элемент rmn этой матрицы представляет собой реакцию, возникающую по направле-

нию связи “m” от единичного перемещении связи “n”; при этом перемещения всех других связей, кроме связи “n”, равны нулю.

77

вектор перемещений в общей системе координат

Вектор R*p можно выразить через узловую нагрузку, рассматривая равновесие уз-

лов рамы (R*p = P* ).

С учетом принятых обозначений окончательно получим:

- основное соотношение между узловыми нагрузками и перемещениями начального и конечного сечений стержневого конечного элемента в местной системе координат.

Преобразуем выражение (10.10) для общей системы координат, умножая обе части

уравнения на с :

-матрица жесткости стержневого конечного элемента в общей системе координат;

E - единичная матрица.

- основное соотношение между узловыми нагрузками и перемещениями начального и конечного сечений стержневого конечного элемента в общей системе координат.

Матрицы жесткости основных стержневых конечных элементов в местной системе координат.

Составим матрицу жесткости стержневого конечного элемента, используя значения реактивных усилий метода перемещений и учитывая продольную деформацию стержня.

78

Стержень с жестко защемленными связям (см. рис. 10.3а и 10.3б)

Рис. 10.3а) и б)

Матрица жесткости стержневого элемента с жестко защемленными концами получается следующего вида (рис. 10.3б)

Стержень с одним защемленным концом, а другим шарнирным (см. рис. 10.4)

Рис.10.4.а) и б)

79

Для стержня с закреплением «шарнир-жесткий» (рис. 10.5а):

Для стержня с закреплением «жесткий-шарнир» (рис.10.5б):