10321

[Введите текст]

38.1. Дифференцируемость функции двух переменных. Дифферен-

циал. Вспомним, что дифференцируемость функции одной переменной y f (x) в данной точке означает существование производной функции в

y y0 f (x0 )(x x0 ) ( x) x

«раскрывает» и геометрическое содержание свойства дифференцируемости: в окрестности точки x0 кривая y f (x) отличается от своей касатель-

ной в этой точке

Y y0 f (x0 )(x x0 )

на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем x (см. рис.

38.1).

Рис. 38.1

Как перенести это свойство на функции двух переменных? Нельзя ли функцию z f (x, y) , имеющую в точке (x0 , y0 ) непрерывные частные про-

изводные, представить приближённо в виде линейной функции двух переменных, т.е. чтобы её приращение в точке (x0 , y0 ) имело вид

Оказывается, можно, если функция «достаточно хороша».

Дадим теперь определение дифференцируемой функции двух переменных. Функция z f (x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ) , если её при-

ращение в этой точке может быть представлено в виде (38.1). Ясно, что из дифференцируемости следует непрерывность. Действительно, перейдя в ра-

венстве (38.1) к пределу, получим lim z 0 , что и означает свойство

0

непрерывности.

Покажем, что существование частных производных в данной точке не влечёт за собой дифференцируемости функции в этой точке. Если в точке

уравнение плоскости можно написать, но назвать её касательной плоскостью в указанном выше смысле нельзя. Например, непрерывная функция

z = | x | | y |

имеет в начале координат частные производные равные нулю.

Приращение этой функции в начале координат равно z = x y . Но эта величина не является бесконечно малой более высокого порядка, чем

x2 y2 . Действительно, если x y , то отношение

не стремится к нулю при 0 . Поэтому плоскость z 0 нельзя считать касательной плоскостью к этой поверхности в точке (0,0) (см. рис. 38.2).

Рис. 1.12

2 1.5

1

271

0.5

0

1

[Введите текст]

Поскольку точка M 0 (x0 , y0 ) произвольная, то запишем формулу для диф-

ференциала, опуская нижний индекс. Учтём также, что дифференциалы независимых переменных равны их приращениям. Итак,

dz fx dx fy dy .

Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных виден из следующего рисунка, на котором изображена поверхность и касательная плоскость к ней в некоторой точке, где дифференциал равен приращению аппликаты касательной плоскости.

Отметим также, что дифференциал функции двух переменных применяется, как и дифференциал функции одной переменной, для приближенных вычислений по формуле

272

[Введите текст]

Рис. 38.3

38.2. Производные и дифференциалы высших порядков. Для функ-

ции двух переменных производные и дифференциалы высших порядков определяются аналогично соответствующим понятиям для функции одной переменной. А именно, вторая частная производная, например, по x определяется как частная производная по x от частной производной по x , т.е.

Читается это так: «дэ два зет по дэ икс квадрат». Последовательность, в которой вычисляются смешанные производные, если они существуют и непрерывны, не имеет значения. Например,

при условии, что смешанные производные непрерывны. Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

273

[Введите текст]

38.3. Экстремумы функции многих переменных. Рассмотрим сна-

чала функцию двух независимых переменных z f (x, y) , определённую в

области D , и изобразим её наглядно поверхностью в декартовой системе координат xyz . Мы будем говорить, что функция имеет максимум в неко-

торой внутренней точке (x0 , y0 ) D, если значения функции во всех точках некоторой -окрестности точки (x0 , y0 ) меньше, чем значение функции в

этой точке, т.е.

f (x, y) f (x0 , y0 ) .

Геометрически такому максимуму соответствует вершина на поверхности (см. рис. 38.4)

zmax=f(x0,y0)

z=f(x,y)

(x0,y0)

Рис. 38.4

Аналогично минимум определяется неравенством f (x, y) f (x0 , y0 )

в некоторой окрестности точки (x0 , y0 ) и соответствует «ямке» на поверх-

ности (см. рис. 38.4).

Для функции большего числа переменных понятия максимума и минимума определяется аналогично, только уже нельзя дать геометрической иллюстрации. Функция u f (x, y, ) имеет в точке (x0 , y0 , ) максимум (ми-

нимум), если она в некоторой окрестности этой точки принимает всюду значения, меньшие (большие), чем в самой точке (x0 , y0 , )

Как и в случае функции одной переменной, наряду со словами максимум и минимум будем пользоваться термином экстремум, объединяющим эти два понятия. Сформулируем теперь необходимые условия существования экстремума, т.е. такие условия, которые непременно должны быть выполнены в точке M 0 (x0 , y0 , ), если функция имеет в этой точке экстремум.

274

[Введите текст]

Для того, чтобы дифференцируемая функция u f (x, y, z, ) имела экстремум в точке M 0 (x0 , y0 , ), необходимо, чтобы все ее част-

ные производные обращались в этой точке в ноль, т.е. чтобы выполнялись следующие равенства:

Эти условия легко получаются из известного необходимого условия экстремума дифференцируемой функции одной переменной. В самом деле, зафик-

только от x . Тогда она имеет экстремум при x x0 , а необходимым условием такого экстремума является равенство

В случае дифференцируемой функции двух переменных z f (x, y) z f (x, y) это необходимое условие имеет простой геометрический смысл: функция может иметь в точке M 0 (x0 , y0 ) экстремум лишь в том случае, если поверхность z f (x, y) имеет в этой точке касательную плоскость, параллельную плоскости xOy. Рассмотрим, например, функцию z xy . Необхо-

димые условия показывают, что начало координат – точка, подозрительная на экстремум. Однако в окрестности этой точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значении, смотря по тому, в какой четверти берётся точка. Стало быть, в точке (0,0) функция экстремума не

имеет.

Точки, в которых выполняются необходимые условия экстремума (38.2), называют, как и в случае функции одной переменной, стационарными. Другие точки, в которых могут быть экстремумы, – это точки, в которых частные производные либо не существуют, либо обращаются в бесконечность. В совокупности со стационарными эти точки называют крити-

ческими. Например, рассмотрим функции z x2 y2 , z 3x2 y2 , графики которых получаются при вращении вокруг оси Oz кривых z | y | и

z 3 y2 , соответственно (см. рис. 38.5). Очевидно, что обе эти функции имеют минимум в начале координат.

275

[Введите текст]

функции одной переменной достаточные условия экстремума, позволяющие различать среди стационарных точек те, где есть экстремум, и определять, каков он: максимум или минимум.

Вычислим вторые производные в этой точке и введём, для краткости, следующие обозначения:

Лекция 39. Условный экстремум

39.1. Понятие условного экстремума. Весьма часто возникает задача не просто найти экстремум функции n переменных u f (x, y,...) , а найти

её экстремум при дополнительных условиях, связывающих переменные по-

средством m уравнений связей ( m n )

[Введите текст]

Такие экстремумы называют условными. Например, пусть требуется найти минимум функции

f (x, y) x2 y2

при дополнительном условии x y 1. Следующий рисунок делает решение задачи очевидным.

1

1

zmin 0, 5

x

(0,5;0,5)

Рис. 39.1

С учётом уравнения связи мы на самом деле имеем функцию одной переменной

f(x, 1 x) 2x2 2x 1

иеё экстремум легко находится. Следовательно, функция

f (x, y) x2 y2

имеет условный минимум fmin 0,5 в точке (0,5; 0,5) .

Таким образом, задача нахождения условных экстремумов не является

принципиально новой. Разрешая уравнения связи относительно m неизвестных и подставляя их в исходную функцию, мы получаем задачу отыскания безусловного экстремума функции меньшего ( n m) числа пере-

менных. Если задача разрешения уравнений связи не вызывает трудностей, то так и следует поступать. Но весьма часто это либо трудоёмкая задача, либо принципиально неразрешимая (вспомним, что не всегда можно перейти от неявного задания функции к её явному заданию).

39.2. Метод множителей Лагранжа. Представляется важным найти некоторую универсальную формулировку необходимых условий условного

278

[Введите текст]

экстремума. Такая формулировка была предложена французским учёным Лагранжем (1736–1813 гг.).

Пусть требуется найти экстремумы функции

u f (x1, x2 , ... , xn ) ,

Заметим, что последние m уравнений в (39.1) совпадают с уравнениями связей. Оказывается, что необходимые условия экстремума функции Лагранжа являются одновременно необходимыми условиями условного экстремума исходной функции.

Чтобы в какой-то мере «оправдать» метод множителей Лагранжа ограничимся нахождением экстремума функции двух переменных с одним уравнением связи. Допустим, что уравнение связи g(x, y) 0 изображается

гладкой кривой, т.е. кривой, в каждой точке которой существует касательная. Мы должны найти экстремум функции z f (x, y) , когда точки (x, y)

точке (x0 , y0 ) , где кривая g(x, y) 0 касается одной из линий уровня f (x, y) C* , следует ожидать максимума, т.к. при переходе через эту точку возрастание C сменяется убыванием.

279