10298

y y0 f (x0 )(x x0 ) ,

а уравнение нормали

Под углом между кривыми в точке их пересечения естественно понимать наименьший из углов между касательными к кривым в этой точке. Тогда угол может быть вычислен как угол между двумя прямыми с заданными угловыми коэффициентами по формуле

tg k2 k1 . 1 k1k2

Вкачестве примера найдем, под каким углом пересекаются синусоида

икосинусоида. Задача сводится к нахождению значений производных функ-

Рис. 18.3

Вычисляем угловые коэффициенты касательных к заданным кривым в точке их пересечения

Отсюда

18.4. Правила дифференцирования. Непосредственное нахождение производных некоторых функций представляет собой трудоемкую задачу.

130

Поэтому выведем правила дифференцирования, которые значительно упростят ее.

Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций

(u(x) v(x)) u (x) v (x) .

Действительно, приращение суммы равно

y u(x x) v(x x) u(x) v(x) u(x x) u(x) v(x x) v(x) ,

т.е. y u v .Следовательно,

так как предел суммы равен сумме пределов и последние пределы существуют в силу предположения о дифференцируемости слагаемых.

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой функции

Действительно, дадим приращение аргументу x . Тогда сомножители

получат приращения u и v соответственнои приращение функции равно

y u u v v uv u v v u u v .

Следовательно,

Так как функция v(x) – дифференцируемая, то она непрерывная, поэтому последнее слагаемое в этой формуле равняется нулю и мы приходим

кформуле (18.1).

Вкачестве следствия получим следующее правило: постоянный мно-

житель при дифференцировании выносится за знак производной

(cf (x)) cf (x) .

Применим это правило для нахождения производной логарифмической функции с произвольным основанием > 0, ≠ 1

131

Производная частноговычисляется по следующей формуле:

при условии, что знаменатель в данной точке не обращается в ноль. Действительно, выразим приращение частного через приращения делимого и делителя

Лекция 19. Производная (продолжение)

132

19.1. Дифференцирование сложной и обратной функций.Часто при-

ходится находить производную так называемой сложной функции, представляющей собой «функцию от функции». Например,

x2 1, sin(2x 3), e x2

или в общем виде

y f ( (x)) F (x) .

Эта функция представлена как суперпозиция (композиция)двух функций

где «внешняя» функция f (u) – дифференцируемая функция промежуточной переменной u , а «внутренняя» функция u(x) – дифференцируемая

функция независимой переменной x . Оказывается, что производная слож-

ной функции по независимой переменной равна произведению производной функции по промежуточнойпеременной на производную промежуточнойпеременной по независимой переменной

yx fu (u(x))u (x) .

Это так называемое цепное правило доказывается следующим образом. Используя определение производной, получим

В силу непрерывности функции u(x) из условия x 0 следует, чтоu 0 . Отсюда вытекает указанная формула в предположении, что

u 0 .

Если же окажется, что u u(x x) u(x) 0, т.е. u(x x) u(x) то

случае.Далее, многие элементарные функции определены как обратные функции к другим функциям, например, y arcsin x , y ln x .

Возникает вопрос: нельзя ли найти производную обратной функции, зная производную исходной функции?Оказывается, можно. А именно, если для функции y f (x) (например, для y arcsin x ) существует обратная

функция x ( y) ( x sin y , / 2 y / 2 ), которая в рассматриваемой

133

Найдём производную показательной функции y a x , a 0 . Обрат-

ная для неё функция x loga y . Применяя формулу (19.1)имеем

19.2.Дифференцированиефункций, заданных параметрически. Касательная к параметрически заданной кривой. Получим теперь правило нахождения производной параметрически заданной функции. Такая функция, например, возникает в задаче о траектории фиксированной точки M окружности радиуса r , катящейся без скольжения по оси Ox .

1

Рис. 19.2

Пусть в начальный момент точка M находится в начале координат. В качестве параметра возьмем угол t , на который повернется радиус окружности O1O , приняв положение CM . Выразим координаты точки M (x, y)

135

как функции параметра t . Из рисунка видно, что длина дуги MP равна длине отрезка OP и равна rt . Следовательно, из треугольника MKC найдём

x r(t sin t) 0 t 2 .y r(1 cost)

Выбранные границы изменения параметра соответствуют одному обороту окружности. Таким образом, мы получили зависимость переменной y

от переменной x , выраженную не явно, а через промежуточный параметр t

. График этой зависимости представлен на рис. 19.2, а кривая называется циклоидой. Название циклоида означает: «напоминающая о круге». Его дал Галилео Галилей (1564–1642). Конечно, можно связать x и y непо-

средственно, исключив параметр t . Однако эта функция будет иметь достаточно сложный вид, поэтому возникает необходимость в нахождении производной y как функции переменной x на основе параметрического зада-

ния функции.

Рассмотрим задачу в общем виде. Пусть функция y f (x) задана параметрически

где функции t и t – дифференцируемы и функция t имеет обратную. Тогда по определению производной имеем

Здесь мы использовали то, что в силу непрерывности обратной функции кt из x 0 следует t 0 .

Задача. Получить уравнение касательной к циклоиде.Пусть окружность радиуса r 1 совершила одну шестую часть оборота. Найдем уравнение касательной в соответствующей точке траектории. Одна шестая часть оборота окружности соответствует значению параметра t0 / 3 , а координаты

точки:

x0 x(t0 ) (t sin t) t / 3 / 3 3 / 2 , y0 y(t0 ) 1 cost t / 3 0,5 .

Производную yx находим как производную функции заданной параметрически

136

Рис. 19.3

19.3. Производная функции, заданной неявно. Касательная к неявно заданной кривой.Рассмотрим случай, когда функция задана неявно.

Пример такой функции y f (x) дается уравнением

Графиком этой функции служит верхняя половина эллипса. Покажем, как находить производную этой функции, не выражая явно y через x (для не-

которых неявно заданных функций такое вообще невозможно). Продифференцируем это уравнением по переменной x , считая, что переменная y яв-

ляется функцией x

y u(x)v( x) .

Прологарифмируем обе части этого равенства, опуская для краткости аргумент

ln y v ln u .

Найдем теперь y (x) как производную неявно заданной функции

138

1y y v ln u v u1 u

и отсюда

y uv (v ln u v u1 u ) uv ln u v vuv 1u .

Этот прием, называемый логарифмическим дифференцированием,

применим также для упрощения нахождения производных. Например,

19.5. Сводка формул производных и правил дифференцирования.

Сведём в одном месте формулы производных элементарных функций

139