9744

Также как и для кривых второго порядка, для поверхностей второго порядка существует полная классификация. С помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат

(теперь уже выполняемых в пространстве) любое уравнение второго порядка может быть приведено к одному из семнадцати видов. Этим уравнениям в пространстве отвечают классические поверхности: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, конус, эллиптический и гиперболический параболоиды, а также целая группа поверхностей, называемых цилиндрическими.

Цилиндрические поверхности

Поверхность, состоящая из параллельных прямых (так

называемых образующих), проходящих через каждую точку

заданной линии L (направляющей), называется

цилиндрической поверхностью. Образно можно представить,

что цилиндрические поверхности образуются движением прямой,

которая перемещается в пространстве вдоль кривой L , сохраняя постоянное направление (рис. 7.1).

В качестве направляющей цилиндрической поверхности рассмотрим расположенную в плоскости xOy линию L , которая

Рассмотрим цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны координатной оси Oz . Если такая

z

y

x

Рис. 7.1

Точка M0 (x0 , y0 ,0) выбиралась произвольно, поэтому можно

утверждать, что координаты всех точек цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0 .

поверхность с образующими, параллельными оси O x .

Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая второго порядка, то поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка (или цилиндром второго порядка). В зависимости от конкретного вида уравнения получаются различные типы цилиндров второго порядка. Их

названия соответствуют названиям направляющих линий L .

цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz . Его направляющей является эллипс, а поверхность,

задаваемая этим уравнением, называется эллиптическим

61

цилиндром (рис. 7.2). Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр. Его уравнение в каноническом виде имеет вид x2 + y2 = R2 .

Уравнение вида x2 = −2 py определяет в пространстве

параболический цилиндр (рис. 7.2).

гиперболический цилиндр (рис. 7.3).

Рис. 7.3

62

Поверхности вращения

Поверхности вращения образуются вращением какой-либо плоской линии L (образующей) вокруг прямой (оси поверхности вращения), расположенной в плоскости этой линии. Примером служит сфера: её можно рассмотреть как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг её диаметра. Покажем, как можно получить уравнение поверхности вращения, исходя из уравнения образующей

(лежащей в одной из координатных плоскостей) и уравнения оси вращения (совпадающей с одной из координатных осей,

расположенных в той же плоскости).

Будем вращать расположенный в плоскости yOz эллипс с

Полученную поверхность рассечём плоскостью, параллельной

координатной плоскости xOy и проходящей через фиксированную точку O′(0, 0, z) (рис. 7.4).

z

y

x

Рис. 7.4

63

сечения, и исходному эллипсу. Это означает, что её координаты

z

y

x

Рис. 7.5

64

От этих примеров нетрудно перейти к алгоритму получения уравнения поверхности вращения по уравнению исходной кривой, если осью вращения служит одна из координатных осей.

В уравнении кривой слагаемое с переменной, наименование которой совпадает с наименованием оси вращения, останется без изменения, а квадрат другой переменной меняется на сумму квадратов этой переменной и переменной, отсутствовавшей в уравнении.

§8. Канонические уравнения поверхностей

второго порядка

Теперь перейдем к другим поверхностям второго порядка,

определяемым общим уравнением

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz +

+2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0 .

Каждая поверхность может быть построена по её уравнению методом сечений. Проследим, как образуются поверхности второго порядка, проявляясь постепенно по мере стыковки разных сечений.

Эллипсоиды

Начнём с уравнения эллипсоида

Уравнение сечения этой поверхности координатной плоскостью xOz получается, если в исходном уравнении (8.1) принять y = 0 :

изобразить его в соответствующей плоскости (рис. 8.1).

65

Рис. 8.1

При x = 0 из (8.1) получаем уравнение другого эллипса,

располагающегося в плоскости yOz и имеющего те же точки

Рисунок дополняется эллипсом в плоскости xOy (рис. 8.2).

Рис. 8.2

66

Рассмотрим произвольную плоскость z = h (где h – любое

число), параллельную xOy . Сечение исходной поверхности (8.1)

этой плоскостью задаётся уравнением

То есть при всех h < c в сечении эллипсоида (8.1) плоскостями

Аналогичная картина получается в сечениях поверхности (8.1)

плоскостями, параллельными координатным плоскостям xOz и

yOz .

Отметим, что на плоскости нет точек, отвечающих условию z > c . Т.е. у поверхности, которую мы строим, нет пересечения с

рисунком 8.2. Вполне естественно, что эта поверхность носит название «эллипсоид» – по названиям сечений.

Эллипсоид обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают

67

с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями эллипсоида. Если две из трёх полуосей одинаковы, то,

эллипсоид становится эллипсоидом вращения. Если a = b = c , то уравнение (8.1) определяет сферу.

Гиперболоиды

Рассмотрим уравнение однополостного гиперболоида

Всечениях координатными плоскостями xOz и yOz

поверхности, определяемой этим уравнением, получаются гиперболы, а в сечениях, параллельных координатной плоскости xOу – эллипсы. В целом поверхность выглядит, как бесконечная трубка, расширяющаяся в обе стороны от горлового эллипса (рис. 8.3).

Рис. 8.3

68