9017
.pdf50
Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Oxy так, что-
бы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox , а начало координат совпадало с середи-
ной отрезка F1 F2 (см. рис. 2) . Тогда фокусы будут иметь следующие координа-
ты: F1 ( c, 0) и F2 (c, 0).
y |
M (x, y) |
|
F1 ( c,0) |
0 |
F2 (c,0) |
x |
Рис. 2 |
|
|
|
Пусть M (x, y) - произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, MF1 MF2 2a , т.е.
(x с)2 y 2 |
|
(x с)2 y 2 |
2a, |
(3) |
Это, по сути, и есть уравнение эллипса.
Преобразуем уравнение (3) к более простому виду следующим образом:
(x с)2 y 2 2a (x с)2 y 2 ,
x 2 2xc c 2 y 2 4a 2 4a(x c)2 y 2 x 2 2xc c 2 y 2 ,
a(x c)2 y 2 a 2 xc,
a2 x2 2a2 cx a2 c2 a2 y 2 a4 2a2 cx c2 x2 ,
|
(a 2 c2 )x2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c2 ). |
|
||
Так как a c , то a2 c2 |
0. Положим |
|
|
|
|
a2 c2 |
b2 . |
|
(4) |
Тогда последнее уравнение имеет вид |
b2 x2 a 2 y 2 |
a2b2 |
или |
|
|
51 |
|
||
x 2 |
|
y 2 |
1. |
(5) |
|
a 2 |
b2 |
||||
|
|
|
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Эллипс – кри-
вая второго порядка.
Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.
1. Уравнение (5) содержит x |
и y только в четных степенях, поэтому если точка |
(x, y) принадлежит эллипсу, |
то ему также принадлежат точки (x, y) , ( x, y) , |
( x, y) . Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ox и Oy ,
а также относительно точки , которую называют центром эллипса.
2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y 0 , нахо-
дим две точки A1 ( a, o) и A2 (a, o) , в которых ось Ox пересекает эллипс (см. рис. 3). Положив в уравнении (5) x 0 , находим точки пересечения эллипса с осью Oy : B1 ( b, o) и B2 (b, o) . Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса. Отрезки A1 A2 и B1 B2 , а также их длины 2a и 2b, называются соответственно
большой и малой осями эллипса. Числа a и b, называются соответственно
большой и малой полуосями эллипса.
y
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
A1 |
|
|
A2 |
|
x |
|
|
Рис. 3 |
|
|
F1 0 |
F2 |
|
|
|
|
|||||
3. Из уравнения |
(5) следует, что |
каждое слагаемое из левой части не превосхо- |
||||||||
|
B1 |
|
|
x 2 |
|
|
y 2 |
|
a x a и |
|
дит единицы, т.е. имеют место неравенства |
|
1 |
и |
|
1 или |
|||||
a 2 |
b 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b y b. Следовательно, |
все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, |
|||||||||
образованного прямыми x a, |
y b. |
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
4. В уравнении (5) сумма неотрицательных слагаемых |
x 2 |
и |
y 2 |
равна единице. |
|
a 2 |
b2 |
||||
|
|
|
Следовательно при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться,
т.е. если x возрастает, то y уменьшается и наоборот.
Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 3.
При a b эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (5) принима-
ет вид x2 y 2 |
a 2 . |
|
||||
Отношение |
c |
половины расстояния между фокусами к большей полуоси эл- |
||||
a |
||||||
|
|
|
|
|
||
липса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой : |
||||||
|
|
|
c |
, |
(6) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
|
Причем 0 1, так как 0 с a. Чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эл-
липс будет менее сплющенным, если положить 0 , то эллипс превращается в окружность.
Из равенства (4) следует, что a b . Если же a b , то уравнение (5) опре-
деляет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси Oy , а малая ось 2a – на оси Ox (см. рис.4).
y
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 0 |
A2 |
|
|
x |
Рис. 4 |
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
Фокусы такого эллипса находятся в точках |
F1 (0, c) и |
F2 (0, c) , где c |
b |
|
a |
|
. |
|||
|
B1 |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
Эксцентриситет вычисляется по формуле |
|
b |
. |
|
|
|
|
|
|
«Вырождения» эллипса:
53
x2 |
|
|
y2 |
|
0 – задает точку O 0,0 ; |
|
a2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
|||
x2 |
|
|
y2 |
|
1 – мнимый эллипс. |
|
a2 |
|
b2 |
|
|||
|
|
|
|
Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки
M1 2, 22 и M 2 1, 23 . Построить кривую.
Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид |
x2 |
|
y2 |
1. Если точки |
|||||||||||||||||||||||||
a2 |
b2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M 1 |
и M 2 |
лежат на эллипсе, то их координаты удовлетворяют уравнению кри- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
8 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
вой, |
т.е. |
a2 |
|
b2 |
Решая эту |
систему, относительно |
a 2 и b2 , найдем |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
12 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b2 |
16, a2 |
4 |
. Уравнение эллипса |
|
x2 |
|
y2 |
|
1. Т.к. a 2 b 4, то фокусы это- |
||||||||||||||||||||
|
4 |
16 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, F1 0, 2 |
|
и |
||||||||||||||
го |
эллипса |
находятся |
на оси oy |
и |
c |
16 4 2 3 . |
|||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
F2 0, 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
4
23 F2
-2 |
0 |
2 |
x |
54
23 F1
-4
Задания для самостоятельной работы:
1. |
Составить уравнение эллипса, если известно, что точки |
F 2;0 |
и |
F 2;0 |
|
1 |
|
2 |
|||
являются фокусами эллипса, а длина большой оси равна 6. |
|
|
|
|
|
2. |
Составить уравнение эллипса, если известно, что точки |
F 0; 1 |
и |
F 0;1 |
|
1 |
|
2 |
|||
являются фокусами эллипса, а длина большой оси равна 4. |
|
|
|
|
|
3. |
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на |
оси |
абсцисс |
симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны 5
и 2.
4. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат
симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны 7
и 2.
5. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что его малая ось равна 10,
а эксцентриситет |
|
|
12 |
. |
|
||||
|
|
13 |
6. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что его большая ось равна10, а расстояние между фокусами равно 8.
2 25
7. Дан эллипс 9x y 225. Построить его и найти: 1) его полуоси; 2)
фокусы; 3) эксцентриситет.
8. Эллипс с центром в начале координат и симметричный относительно осей
координат, проходит через точку |
M 2;2 и имеет эксцентриситет |
|
3 |
. |
|
4 |
|||||
|
|
|
|
Составить уравнение эллипса.
55
9. Составить уравнение эллипса, если точки |
F( 1; 0) |
и |
F (1; 0) |
являются |
|||||
1 |
|
2 |
|
||||||
его фокусами, а длина большой оси равна 4. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||
10. Найти |
расстояние от левого фокуса |
эллипса |
x |
|
y |
1 |
до центра |
||
|
|
||||||||
|
|
|
|
25 16 |
|
|
|||
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
окружности |
x y 4x8y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
11. Найти общие точки эллипса 2 2 и окружности, проходящей через x 4y 4
фокусы эллипса и имеющей центр в его «верхней» вершине.
12. Написать уравнение окружности, центр которой находится в правом
|
2 |
2 |
|
|||
фокусе эллипса |
x |
|
y |
|
1, а радиус окружности равен расстоянию между |
|
|
|
|
||||
|
25 16 |
фокусами этого эллипса.
13. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|||
1) |
y |
16x ; |
||
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|||
4) |
x |
49y . |
||
|
7 |
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||
2) |
y |
9 x ; |
3) |
x |
9 y ; |
||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
Кривые построить.
14. Построить кривые:
|
2 |
2 |
15 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
1) |
x 5y |
9x 25y |
1 |
x 25y |
25 |
|||||
|
|
; 2) |
|
|
; 3) |
|
|
|
; |
Гипербола
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разно-
сти расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости,
называемых фокусами, есть величина постоянная меньшая, чем расстояние между фокуса
Обозначим фокусы через F1 и F2 , расстояние между ними через 2с, а мо-
дуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов – через 2 a .
По определению т.е.
56
Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат Oxy так,
чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox , а начало координат совпадало с сере-
диной отрезка F1 F2 (см. рис. 5) . Тогда фокусы будут иметь следующие коор-
динаты: F1 ( c, 0) и F2 (c, 0).
y |
M (x, y) |
|
F1 ( c,0) |
0 |
F2 (c,0) |
x |
Рис. 5 |
||
|
|
|
|
|||
Пусть M - произвольная точка гиперболы. |
Тогда, согласно определению |
|||||
гиперболы, |
MF1 MF2 |
2a или |
MF1 MF2 |
2a, |
т.е. |
(x с)2 y 2 (x с)2 y 2 2a.
После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, полу-
чим каноническое уравнение гиперболы
|
|
x 2 |
|
y |
2 |
1, |
(7) |
|
|
|
a 2 |
b |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
где |
b2 |
с2 |
|
а2 . |
(8) |
Установим форму гиперболы, пользуясь его каноническим уравнением.
1. Уравнение (7) содержит x и y только в четных степенях, следовательно ги-
пербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно точки
O(0, 0) , которую называют центром гиперболы.
2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив |
y 0 в |
|
уравнении (7), находим две точки A1 ( a, o) |
и A2 (a, o) , в которых ось Ox |
пересе- |
кает гипербола. Положив в уравнении (7) |
x 0 , получаем y 2 b2 , чего быть |
не может. Следовательно, гипербола ось Oy не пересекает.
57
Точки A1 и A2 называются вершинами гиперболы, а отрезок A1 A2 2a - дей-
ствительной осью, отрезок OA1 OA2 a - действительной полуосью гипер-
болы.
Отрезок B1 B2 2b,соединяющий точки B1 ( b, o) и B2 (b, o) называется мнимой осью, число b - мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b назы-
вается основным прямоугольником гиперболы.
3. Из уравнения (7) следует, что |
x 2 |
1 |
или |
|
x |
|
a. Следовательно, точки гипер- |
||||
|
|
||||||||||
a 2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
болы расположены справа от прямой x a (правая ветвь гиперболы) |
и слева от |
||||||||||
прямой x a (левая ветвь гиперболы). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||||
4. В уравнении (7) гиперболы видно, что когда |
x |
возрастает, то и |
y |
возраста- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ет. Это следует из того, что разность
равное единице.
x 2 y 2
a 2 b 2 сохраняет постоянное значение,
Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рис. 6.
|
|
|
|
y |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
Рис. 6 |
||
|
|
F1 |
A |
A |
F2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
B |
|
|
1 |
Прямые y b x |
и |
y b x являются асимптотами гиперболы. |
a |
|
a |
При построении гиперболы целесообразно сначала построить основной прямо-
угольник гиперболы (см. рис. 7), провести прямые, проходящие через противо-
положные вершины этого прямоугольника, - асимптоты гиперболы и отметить вершины A1 и A2 гиперболы.
58
y
A1 0 |
A2 |
x |
Рис. 7 |
|
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фоку-
сами к величине действительной оси гиперболы, обозначается :
|
c |
, |
(9) |
|
a |
||||
|
|
|
Причем 1, так как с a. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник.
Кривая, определяемая уравнением |
y 2 |
|
x 2 |
1, |
также есть гипербола, |
|
b2 |
a 2 |
|||||
|
|
|
|
|||
действительная ось 2b которой расположена на оси Oy, |
а мнимая ось 2a - на |
y
b
-a |
0 |
a |
x |
-b
Рис. 8
оси Ox (см. рис. 8). |
Фокусы такой гиперболы находятся в точках F1 (0, c) и |
|||||||
|
|
|
|
|
|
c |
. |
|
F (0, c) , где |
c b2 |
a2 . Эксцентриситет вычисляется по формуле |
||||||
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
b |
||
|
|
|
|
|
|
Асимптоты остаются те же.
59
«Вырождения» гиперболы:
|
x2 |
|
|
y 2 |
|
|
|
|
x |
|
y x |
|
|
y |
x |
|
y |
|
x |
|
y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 отсюда |
|
|
|
0 и |
|
|
|
0 |
|||
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b a |
|
|
b |
a b |
|
a b |
|
|||||||||||||
или |
|
y |
b |
x |
и |
|
y |
b |
x |
|
– пара пересекающихся прямых. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Точка M 6, 2 |
|
|
лежит на гиперболе, |
уравнения асимптот которой |
|||||||||||||||||||||||||
2 |
y 23 x . Составить уравнение гиперболы и построить ее.
Решение. Каноническое уравнение гиперболы |
x2 |
|
y2 |
1, т.к. асимптоты |
|||||||||
a2 |
b2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
2 |
x , то |
b |
|
2 |
, b |
2 |
a . Подставим последнее в уравнение гиперболы: |
|||||
3 |
a |
3 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
2 |
2 |
|
3 2 |
3 2 |
x |
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
8 9 |
|
|||
|
x |
|
y |
9 1, далее т. M 6, 2 |
|
лежит на гиперболе, т.е. |
|
1, |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
a |
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
4a |
|
||
144 72 |
|
72 4a2 , |
a2 18 , |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1, |
|
a 3 |
2 ; тогда b |
3 |
2 2 |
|
2 . Итак, иско- |
||||||||||||||||||
|
|
4a2 |
|
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
мое уравнение |
|
x2 |
|
y2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
18 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|