9002
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А. В. Бесклубная, П. В. Столбов
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекциям и практическим занятиям по дисциплине «Математика»
для обучающихся по направлению подготовки 35.03.10 Ландшафтная архитектура Направленность (профиль) Ландшафтная архитектура
Нижний Новгород
2022
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А. В. Бесклубная, П. В. Столбов
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекциям и практическим занятиям по дисциплине «Математика»
для обучающихся по направлению подготовки 35.03.10 Ландшафтная архитектура Направленность (профиль) Ландшафтная архитектура
Нижний Новгород ННГАСУ
2022
1
УДК 517.9
Бесклубная А. В. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Пределы. Дифференциальное исчисление функции одной переменной : учебно-методическое пособие / А. В. Бесклубная, П. В. Столбов; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет – Н. Новгород: ННГАСУ, 2022. – 78 с; ил. – Текст : электронный.
.
В данном пособии даются тематика лекций, их краткое содержание, приведены основные определения и понятия, а также методические рекомендации по самостоятельной работе обучающихся по дисциплине «Математика». Рассматривается достаточное количество разобранных примеров, сопровожденных подробным решением и рисунками. Указывается необходимая литература, предложены варианты контрольных заданий. Предназначено обучающимся в ННГАСУ по подготовке к лекциям и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 35.03.10 Ландшафтная архитектура, Направленность (профиль) Ландшафтная архитектура.
©А.В. Бесклубная, П.В.Столбов, 2022
© ННГАСУ, 2022
2
§ 1. Линейная алгебра Матрицы и действия над ними
Матрицей порядка m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.
Для обозначения матрицы таблицу чисел заключают в круглые скобки и
обозначают заглавными буквами латинского алфавита.
Пример.
|
|
1 |
2 |
3 |
|
– матрица порядка 2 3. |
1. |
A |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
B 1 |
2 |
3 – матрица – строка порядка 1 3. |
|||
1
3.C – матрица – строка порядка 2 1.
2
Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется
квадратной.
Пример.
1 2
D – квадратная матрица порядка 2 2.
3 4
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы, обозначаются соответствующими строчными буквами латинского алфавита с двумя правыми нижними индексами. Первый индекс обозначает номер строки, а
второй – номер столбца, в которых рассматриваемый элемент матрицы находится.
|
|
1 |
2 |
3 |
|
Пример. |
A |
|
|
|
. |
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
a2 3 6 –элемент матрицы A , находящийся во второй строке и в третьем
столбце.
Заметим, что матрицу A порядка m n можно записать так:
A ai j , i 1, m; j 1, n .
Две матрицы порядка m n считаются равными, если все соответствующие
3
элементы этих матриц равны. То есть A B , если ar s |
br s для любых возможных r |
и s . |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A и B равны, так как a11 b11 1, |
Пример. A |
2 |
, |
B |
2 |
. Матрицы |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
a21 b21 2, a31 b31 3.
Произведением матрицы A порядка m n на действительное число
называется матрица B того же порядка m n, каждый элемент bi j |
|
|
|
|
|
|
|
|||
, i 1, m, |
j 1, n |
|||||||||
которой получен умножением соответствующего элемента bi j , |
|
|
|
|
|
|||||
i 1, m, |
j 1, n |
|||||||||
исходной матрицы A на число и обозначается: B A. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти B 2 A , если A |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
2 |
2 1 |
2 2 |
2 |
4 |
|||||||
Решение. B 2A 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
2 |
3 |
2 4 |
|
|
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: B |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Суммой двух матриц A ai j |
и B bi j одного порядка |
m n называется |
||||||||||||||||||||
матрица C того же порядка m n, каждый элемент ci j , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
i 1, m, |
|
j 1, n которой |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
получен сложением соответствующих элементов ai j |
и |
bi j , i 1, m, j 1, n и |
||||||||||||||||||||
обозначается C A B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Найти |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
B |
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
C A B , если A |
|
|
и |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
4 |
3 |
1 4 |
2 3 |
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
C A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
4 |
2 |
1 |
3 2 |
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: C |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что разность двух матриц A и B одного и того же порядка можно
определить через сумму и умножение на число 1 , то есть A B A 1 B . |
|||||||||||
Пример. Найти A B , если |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
4 |
3 |
|
|
A |
|
|
|
и |
B |
|
|
. |
|
||
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
4 |
3 |
|
Решение. A B A 1 B |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
2 |
1 4 |
1 3 |
1 |
|
2 |
4 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
1 |
|
3 |
|
|
1 2 |
1 1 |
|
|
3 |
|
|
||||||
1 |
4 |
2 3 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: A B |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Произведением матрицы A порядка m n на матрицу B |
|
порядка n p |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
называется матрица C порядка m p , каждый элемент ci j , i 1, m, |
j 1, p которой |
|||||||||||||||||||||
получен как произведение элементов i -ой строки матрицы |
A на соответствующие |
|||||||||||||||||||||
элементы j -го столбца матрицы B , то есть c |
|
a |
b |
|
a |
|
b |
|
a |
b |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
i j |
i1 |
1 j |
|
|
i 2 |
|
2 j |
|
|
i n |
n1 j |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i 1, m, j 1, p и обозначается: C A B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример. Найти C A B, если A |
|
|
|
и B |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение.
c11 a11 b11 a12 b21 1 5 2 7 5 14 19 c12 a11 b12 a12 b22 1 6 2 8 6 16 22 c21 a21 b11 a22 b21 3 5 4 7 15 28 43 c22 a21 b12 a22 b22 3 6 4 8 18 32 50.
5
|
|
|
c11 |
c12 |
|
19 |
22 |
|
Следовательно, C A B |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
c21 |
c22 |
|
50 |
||
|
19 |
22 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: C |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
43 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следует обратить внимание на тот факт, что:
1)произведение A B матриц A и B получается умножением элементов строк матрицы A – первого сомножителя – на элементы столбцов матрицы B – второго сомножителя. Следовательно, порядок сомножителей в произведении матриц важен;
2)число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B , в
противном случае произведение матриц A и B не определено;
3)порядок матрицы-произведения определяется порядком сомножи-телей, то
есть Am n Bn p Cm p . Следовательно, если A B A C , то нельзя считать, |
что |
||
B C . |
|
|
|
Транспонированной матрицей (обозначаемой как |
AT ) любой матрицы |
A |
|
порядка m n называется матрица AT |
порядка n m, |
которая получается |
из |
матрицы A взаимной заменой строк на столбцы.
Пример. Найти |
A |
T |
, если |
|
1 |
2 |
3 |
|
||
|
A |
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Элементы первой строки матрицы A запишем в первый столбец |
||||||||||
матрицы AT , а элементы второй строки матрицы A – во второй столбец матрицы AT |
||||||||||
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
, получаем: A |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определители
6
|
|
Определителем |
|
второго |
порядка квадратной матрицы называется число |
||||||||||||||||
|
|
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a11 |
и вычисляется по формуле: a |
a |
a |
a . |
||||||||||||||||
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
22 |
12 |
21 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Пример. Вычислить |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
2 |
|
1 4 2 3 4 6 10. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число |
|||||||||||||||||||
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a21 |
a22 |
a23 |
и вычисляется по формуле: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
a13 a22 a31 a21 a12 a33 a32 a23 a11 . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
Пример. Вычислить |
1 |
2 |
3 |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
4 |
|
|
|
|
||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
2 3 |
1 2 4 1 4 3 2 3 0 3 2 0 |
||||||||||||||||
|
0 |
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 4 4 3 1 8 12 0 0 8 12 0 .
Заметим, что определитель нельзя путать с матрицей. Матрица представляет собой таблицу чисел, а определитель – это число, вычисляемое по определенному правилу.
Системы линейных уравнений
7
Пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными вида:
a11 x1 a12 x2 a13 x3a21 x1 a22 x2 a23 x3a31 x1 a32 x2 a33 x3
где ai j , bi , i, j 1,3.
b1
b2 (1.1)
b3 ,
Составим и вычислим главный определитель системы (1.1):
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
, |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
тогда если 0, то система (1.1) имеет единственное решение x10 ; x20 ; x30 , которое находим по правилу Крамера. Для этого, составим и вычислим вспомогательные
определители x , |
x |
2 |
, x |
системы (1.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b1 |
|
a12 |
a13 |
|
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
b2 |
a22 |
a23 |
, x |
|
a21 |
b2 |
a23 |
, x |
|
a21 |
a22 |
b2 |
. |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
||
Далее, по формулам Крамера, находим:
x0 |
x |
|
x0 |
x |
2 |
|
x0 |
x |
|
1 |
, |
|
, |
3 |
. |
||||
|
|
|
|||||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.
x1 x2 x3 2 |
|||
|
2x1 x3 1 . |
||
Пример. Решить по правилу Крамера систему |
|||
|
3x x |
2 |
5 |
|
1 |
|
|
Решение. Составим и вычислим главный определитель данной системы:
8
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
||
|
2 |
0 |
1 |
1 0 0 2 1 1 1 1 3 1 0 3 |
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2 1 0 1 1 1 0 2 3 0 0 0 1 6.
Так как 6 0, то данная система имеет единственное решение.
Составим и вычислим вспомогательные определители данной системы:
|
|
|
1 |
1 |
|
||
|
|
2 |
|
||||
x |
|
1 |
0 1 |
2 0 0 1 1 1 1 1 5 1 0 5 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
0 |
|
||
|
|
1 1 0 1 1 2 0 1 5 0 0 2 6 ; |
|||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
x |
|
2 |
1 1 |
|
1 1 0 2 5 1 2 1 3 1 1 3 |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
2 2 0 5 1 1 0 10 6 3 0 5 12; |
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
x |
|
2 |
0 |
1 |
1 0 5 2 1 2 1 1 3 2 0 3 |
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 2 1 5 0 4 3 0 1 10 18.
Далее, по формулам Крамера, находим:
x0 |
x |
|
6 |
1, |
x0 |
x |
|
12 |
2 , |
x0 |
x |
|
18 |
3. |
||||
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
6 |
|
6 |
|
|
6 |
|
|||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Делаем проверку найденного решения 1; 2;3 :
1 2 3 2 верно,2 1 3 1 верно,3 1 2 5 верно.
Ответ: 1; 2;3 .
9