9002

Ответ: e 0,02

0,98.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, то

есть dx x,

x 1 x x . Таким образом,

так как dy dx x

1

1

Решение. y

ln cos x

cos x

cos x

cos x sin x tgx , тогда

Правило Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида

0

и

при

0

Пусть функции

f x и g x непрерывны и дифференцируемы в окрестности

точки x0

и обращаются в нуль в этой точке:

f x0 g x0 0 . Пусть

g x 0 в

окрестности точки

x .

Тогда, если существует предел lim

f x

, то

g x

0

x x0

lim

f x

lim

f x

.

g x

g x

x x0

x x0

Пример. Вычислить предел lim

x 1

.

x 1

x ln x

Решение.

lim

x 1

1 1

0

lim

x 1

x 1

x ln x

1 ln1

0

x 1

x ln x

1 0

lim

x

1

lim

1

x 1

x 1

x

ln x x ln x

1 ln x x x

60

lim

1

1

1

1

1.

x 1

ln x 1

ln1 1

0

1

1

Пусть функции

f x и g x

непрерывны и дифференцируемы в окрестности

точки x0

(кроме,

быть

может,

самой

точки

x0 ),

в

этой

окрестности

f

x

lim f x lim g x ,

g x 0. Тогда,

если существует предел

lim

, то

g x

x x0

x x0

x x0

lim

f x

lim

f x

.

g x

g x

x x0

x x0

Пример. Вычислить предел lim

x2

1

.

2x2

3x

x

2

2

x

2

Решение. lim

x

1

1

lim

1

2x2 3x

2 2 3

x

x

2x

2

3x

x

2

lim

1

lim

2x 0

2x

3x

4x 3

x

2

x

lim

2x

lim

2

1

.

4x 3

4

0

x

x

2

1

-1 0

1

Рис.57

Функция

y f x называется

нечетной, если

f x f x .

График

нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример.

Функция

y x3

является

нечетной,

так

как

1

-1 0

1

-1

Рис.58

Заметим, что график четной (нечетной) функции достаточно исследовать

только при x 0, а при

x 0 достроить по симметрии, то есть симметрично

относительно оси Oy (начала координат).

Функция

y f x

называется

периодической, если

существует такое

положительное

число T ,

что f x T f x . Наименьшее

из таких чисел T

Пример.

Функция

y

1

периодическая

с периодом

T ,

так как

sin2

x

y x T

1

1

1

y x .

График

этой

функции

sin2

x T

sin x 2

sin2

x

0

Рис. 59

Асимптоты графика функции

Прямую

L

называют

асимптотой

графика функции

y f x ,

если

расстояние до точки M x; y кривой

y f x от прямой L стремится к нулю при

неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Прямая

x a

является вертикальной

асимптотой кривой

y f x ,

если

lim f x .

x a

Прямая

y b является горизонтальной асимптотой кривой

y f x ,

если

lim f x b .

x

Прямая

y kx b

является наклонной асимптотой кривой

y f x ,

если

существуют пределы:

k lim

f x

и b lim f x kx .

x

x

x

Пример. Найти асимптоты кривой y

x2

.

x 1

Решение. Данная функция определена в интервалах ;1 и 1; .

Так как lim

x2

12

1

, то прямая x 1 есть вертикальная асимптота

x 1

x 1

1 1

0

Горизонтальных

асимптот

кривая

не имеет, так как предел

2

x

2

lim

x

lim

lim

2x

не является конечной величиной.

x 1

x 1

1

x

x

x

f x

2

k lim

lim

x

lim

x

lim

x

lim

1

1;

x 1

1

x

x

x

x 1 x

x

x 1

x

x

x2

x

b lim f x kx lim

1 x

lim

1.

x

x x 1

x

x 1

Таким образом, существует наклонная асимптота y x 1.

Участки возрастания и убывания функции.

Точки минимума и максимума

Функция

y f x

называется возрастающей (убывающей)

на

интервале

a;b , если для любых

точек x1

, x2

a;b

таких, что x1 x2 ,

имеет место

неравенство: f x1 f x2 f x1 f

x2

.

Дифференцируемая

на

интервале

a;b

функция

y f x

возрастает

(убывает) на интервале a;b , тогда и только тогда, когда для любого

x a;b :

функции.

Необходимое условие экстремума: если x0

– точка экстремума функции

y f x , то в этой точке либо f x0 0 , либо производная не существует.

Достаточные

условия

экстремума:

пусть

функция

y f x

(плюс на минус) при переходе через точку x0 , то x0 – точка максимума (минимума)

функции y f x .

Пример.

Найти

интервалы

монотонности

и точки экстремума функции

y

x2

.

x 1

Решение. Областью определения D данной функции y является вся числовая

ось R , кроме точки x 1, то есть D R \ 1 .

Находим первую производную:

x

2

x

2

2

y

x 1 x

x 1

x

1 2

x 1

2x x 1 x2 1

2x2

2x x2

x2

2x

.

2

2

2

x 1

x 1

x 1

Используя необходимые условия экстремума, находим критические точки:

y 0 x2 2x 0

или x x 2 0, откуда x1 0 или x2 2.

y

не существует x 1 2

0 , откуда x3

1.

Используем достаточные условия экстремума. Наносим три критические точки

x1 0 ; x2

2;

x3

1 на область определения D функции y . Они разбивают область

+

–

–

+

0

1

2

Так как x1 0 D и при переходе через эту точку

y

меняет знак плюс на

минус, то x1 0 – точка максимума функции y .

Так как x2 2 D и при переходе через эту точку

y

меняет знак минус на

плюс, то x2 2 – точка минимума функции y .

Так как при любом x ;0

или x 2;

0 , то в интервалах

y

;0 и 2; функция y монотонно возрастает.

0 , то в интервалах 0;1 и 1; 2

Так как при любом x 0;1 или x 1; 2 y

функция y монотонно убывает.

Интервалы выпуклости и вогнутости кривой.

Точки перегиба

График функции y f x

называется выпуклым вниз в интервале a;b , если

f

x 0

a;b

y f x

если

в интервале

,

то график функции

является

f x 0

a;b

выпуклым вниз в этом интервале; если же

, то в интервале

график

функции y f x – выпуклый вверх.

Пусть функция

y f x дифференцируема в интервале a;b

и x0 a;b .

Точку x0 ; f x0 графика функции

y f x называют точкой перегиба этого

графика, если существует такая – окрестность точки x0

оси Ox , в границах которой

график функции y f x слева и справа от точки

x0

имеет разные направления

точки x0 вторую производную, непрерывную в точке x0 , то f x0 0 .

Достаточное условие перегиба функции y f x в точке x0 : если функция

y f x непрерывна в – окрестности точки x0 , имеет в точке x0 конечную или

бесконечную определенного знака производную f x0 , а функция

f x

точка перегиба данной функции.

y

x 0

; 0

y

x 0

Так как для любого

,

то в интервале

функция

выпукла вниз.

x 0

y

x 0

0;

y

Так как для любого

,

то в интервале

функция

Решение.

1. Областью определения D данной функции

y является множество всех

действительных чисел R , кроме x 1, то есть D R \ 1 .

2. Поскольку

y x

x 3 2

x 3 2

и

y x y x и

x 1

x 1

3

3

y x y x , то функция y

не является четной и нечетной, то есть данная

функция y общего вида.

3. Находим асимптоты кривой.

68

Поскольку

lim

x 3 2

1 3 2

4

,

то

x 1 – уравнение

x 1 3

1 1 3

0

x 1

вертикальной асимптоты графика данной функции y .

Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y kx b :

y x

2

2

k lim

lim

x 3

lim

x 3

x x 1

x x 1

x

x

x

x

3

3

lim

2 x 3 1

lim

2x 6

1 x 3 3 x 3 x 1 2 1

x 1 2

x 1

3x

x

x

lim

2x 6

lim

2x 6

x 1

4x 1

x 1 4x 1

x

2