8990
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А. В. Бесклубная, П. В. Столбов
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекциям и практическим занятиям по дисциплине «Математика»
для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство, направленность (профиль) направленность (профиль) Автомобильные дороги, Производство и
применение строительных материалов, изделий и конструкций, Водоснабжение и водоотведение, Теплогазоснабжение и вентиляция, Гидротехническое, геотехническое и энергетическое строительство, Организация инвестиционно-строительной деятельности, Промышленное и гражданское строительство
Нижний Новгород
2022
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А. В. Бесклубная, П. В. Столбов
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекциям и практическим занятиям по дисциплине «Математика»
для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство, направленность (профиль) направленность (профиль) Автомобильные дороги, Производство и
применение строительных материалов, изделий и конструкций, Водоснабжение и водоотведение, Теплогазоснабжение и вентиляция, Гидротехническое, геотехническое и энергетическое строительство, Организация инвестиционно-строительной деятельности, Промышленное и гражданское строительство
Нижний Новгород ННГАСУ
2022
1
УДК 517.9
Бесклубная А. В. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Пределы. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: учебно-методическое пособие / А. В. Бесклубная, П. В. Столбов; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет – Н. Новгород: ННГАСУ, 2022. – 78 с; ил. – Текст : электронный.
.
В данном пособии даются тематика лекций, их краткое содержание, приведены основные определения и понятия, а также методические рекомендации по самостоятельной работе обучающихся по дисциплине «Математика». Рассматривается достаточное количество разобранных примеров, сопровожденных подробным решением и рисунками. Указывается необходимая литература, предложены варианты контрольных заданий. Предназначено обучающимся в ННГАСУ по подготовке к лекциям и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство, направленность (профиль) Автомобильные дороги, Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций, Водоснабжение и водоотведение, Теплогазоснабжение и вентиляция, Гидротехническое, геотехническое и энергетическое строительство, Организация инвестиционно-строительной деятельности, Промышленное и гражданское строительство.
©А.В. Бесклубная, П.В.Столбов, 2022
© ННГАСУ, 2022
2
§ 1. Линейная алгебра Матрицы и действия над ними
Матрицей порядка m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.
Для обозначения матрицы таблицу чисел заключают в круглые скобки и
обозначают заглавными буквами латинского алфавита.
Пример.
|
|
1 |
2 |
3 |
|
– матрица порядка 2 3. |
1. |
A |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
B 1 |
2 |
3 – матрица – строка порядка 1 3. |
|||
1
3.C – матрица – строка порядка 2 1.
2
Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется
квадратной.
Пример.
1 2
D – квадратная матрица порядка 2 2.
3 4
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы, обозначаются соответствующими строчными буквами латинского алфавита с двумя правыми нижними индексами. Первый индекс обозначает номер строки, а
второй – номер столбца, в которых рассматриваемый элемент матрицы находится.
|
|
1 |
2 |
3 |
|
Пример. |
A |
|
|
|
. |
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
a2 3 6 –элемент матрицы A , находящийся во второй строке и в третьем
столбце.
Заметим, что матрицу A порядка m n можно записать так:
A ai j , i 1, m; j 1, n .
Две матрицы порядка m n считаются равными, если все соответствующие
3
элементы этих матриц равны. То есть A B , если ar s |
br s для любых возможных r |
и s . |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A и B равны, так как a11 b11 1, |
Пример. A |
2 |
, |
B |
2 |
. Матрицы |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
a21 b21 2, a31 b31 3.
Произведением матрицы A порядка m n на действительное число
называется матрица B того же порядка m n, каждый элемент bi j |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
, i 1, m, |
j 1, n |
||||||||||||||||
которой получен умножением соответствующего элемента bi j , |
|
|
|
|
|
||||||||||||
i 1, m, |
j 1, n |
||||||||||||||||
исходной матрицы A на число и обозначается: B A. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
B 2 A , если |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Найти |
A |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
2 |
2 1 |
2 2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. B 2A 2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 3 |
2 4 |
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: B |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Суммой двух матриц A ai j |
и B bi j одного порядка |
m n называется |
|||||||||||||||||||||||
|
каждый элемент ci j , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
матрица C того же порядка m n, |
i 1, m, |
|
j 1, n которой |
||||||||||||||||||||||
|
|
ai j |
|
bi |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
получен сложением соответствующих |
элементов |
и |
j , |
i 1, m, j 1, n и |
|||||||||||||||||||||
обозначается C A B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти C A B, если A |
|
|
|
и B |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
3 |
1 4 |
2 3 |
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
C A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 2 |
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
4 |
2 |
1 |
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: C |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что разность двух матриц A и B одного и того же порядка можно определить через сумму и умножение на число 1 , то есть A B A 1 B .
|
1 |
2 |
|
|
4 |
3 |
|
Пример. Найти A B , если A |
|
|
|
и B |
|
|
. |
|
3 |
4 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
|
4 |
3 |
|
Решение. |
A B A 1 B |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 4 |
1 3 |
1 |
2 |
|
|
4 |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
1 1 |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
4 |
2 3 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 1 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: A B |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Произведением матрицы |
A порядка m n на матрицу |
B порядка n p |
||||||||||||||||||||
называется матрица C порядка m p , каждый элемент ci j , |
|
|
|
||||||||||||||||||||
i 1, m, j 1, p которой |
|||||||||||||||||||||||
получен как произведение элементов i -ой строки матрицы |
A на соответствующие |
||||||||||||||||||||||
элементы |
j -го столбца матрицы B , |
то есть ci j ai1 b1 j |
ai 2 b2 j ai n bn1 j , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
i 1, m, |
j 1, p и обозначается: C A B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример. Найти C A B, если |
|
1 |
2 |
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
||||||||||
|
A |
|
|
|
и |
B |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
7 |
8 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение.
c11 a11 b11 a12 b21 1 5 2 7 5 14 19 c12 a11 b12 a12 b22 1 6 2 8 6 16 22 c21 a21 b11 a22 b21 3 5 4 7 15 28 43 c22 a21 b12 a22 b22 3 6 4 8 18 32 50.
5
|
|
|
c11 |
c12 |
|
19 |
22 |
|
Следовательно, C A B |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
c21 |
c22 |
|
50 |
||
|
19 |
22 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: C |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
43 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следует обратить внимание на тот факт, что:
1)произведение A B матриц A и B получается умножением элементов строк матрицы A – первого сомножителя – на элементы столбцов матрицы B – второго сомножителя. Следовательно, порядок сомножителей в произведении матриц важен;
2)число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B , в
противном случае произведение матриц A и B не определено;
3)порядок матрицы-произведения определяется порядком сомножи-телей, то
есть Am n Bn p |
Cm p . |
Следовательно, если |
A B A C , то нельзя считать, |
что |
|||||
B C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Транспонированной матрицей (обозначаемой как AT ) любой матрицы |
A |
||||||||
порядка m n называется матрица AT |
порядка n m, которая получается из |
||||||||
матрицы A взаимной заменой строк на столбцы. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
Пример. Найти |
AT , если A |
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
Элементы первой строки матрицы A запишем в первый столбец |
||||||||
матрицы AT , а элементы второй строки матрицы A – во второй столбец матрицы AT |
|||||||||
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
T |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
, получаем: A |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определители
Определителем второго порядка квадратной матрицы называется число
|
a11 |
a12 |
и вычисляется по формуле: a |
a |
a |
a . |
|
a21 |
a22 |
11 |
22 |
12 |
21 |
|
|
|
|
|
||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить |
1 |
2 |
. |
|
|
|||||||||
|
3 |
4 |
|
|
|||||||||||
|
Решение. |
|
|
2 |
|
1 4 2 3 4 6 10. |
|||||||||
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число |
||||||||||||||
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
и вычисляется по формуле: |
||||||||||
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31 |
||||||||||||||
|
a13 a22 a31 a21 a12 a33 a32 a23 a11 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
Пример. Вычислить |
1 |
2 |
3 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
4 |
|
|||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
1 2 4 1 4 3 2 3 0 3 2 0 |
|||||||||
|
0 |
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 4 4 3 1 8 12 0 0 8 12 0 .
Заметим, что определитель нельзя путать с матрицей. Матрица представляет собой таблицу чисел, а определитель – это число, вычисляемое по определенному правилу.
Системы линейных уравнений
Пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными вида:
7
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 |
|
||||
|
x1 |
a22 x2 |
a23 x3 |
b2 |
|
a21 |
(1.1) |
||||
|
x1 |
a32 x2 |
a33 x3 |
b3 |
, |
a31 |
|||||
где ai j , |
|
|
|
|
|
|
|
|
bi , |
i, j 1,3. |
|
|
|
||||
Составим и вычислим главный определитель системы (1.1): |
||||||||
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
, |
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
тогда если 0, то система (1.1) имеет единственное решение x10 ; x20 ; x30 , которое находим по правилу Крамера. Для этого, составим и вычислим вспомогательные
определители x , |
x |
, |
x |
системы (1.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b1 |
a12 |
|
|
a13 |
|
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
b2 |
a22 |
|
a23 |
, x |
|
a21 |
b2 |
a23 |
, x |
|
a21 |
a22 |
b2 |
. |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
a32 |
|
|
a33 |
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
|
Далее, по формулам Крамера, находим:
x0 |
x |
|
x0 |
x |
2 |
|
x0 |
x |
|
1 |
, |
|
, |
3 |
. |
||||
|
|
|
|||||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.
x1 x2 x3 2 |
|||
|
2x1 x3 1 . |
||
Пример. Решить по правилу Крамера систему |
|||
|
3x x |
2 |
5 |
|
1 |
|
|
Решение. Составим и вычислим главный определитель данной системы:
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
||
|
2 |
0 |
1 |
1 0 0 2 1 1 1 1 3 1 0 3 |
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2 1 0 1 1 1 0 2 3 0 0 0 1 6.
8
Так как 6 0, то данная система имеет единственное решение.
Составим и вычислим вспомогательные определители данной системы:
|
|
|
1 |
1 |
|
|||
|
|
2 |
|
|||||
x |
|
|
1 |
0 1 |
2 0 0 1 1 1 1 1 5 1 0 5 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
0 |
|
|||
|
|
|
1 1 0 1 1 2 0 1 5 0 0 2 6 ; |
|||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
x |
|
2 |
1 1 |
1 1 0 2 5 1 2 1 3 1 1 3 |
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 0 5 1 1 0 10 6 3 0 5 12; |
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|||
x |
|
2 |
0 |
1 |
|
1 0 5 2 1 2 1 1 3 2 0 3 |
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 2 1 5 0 4 3 0 1 10 18.
Далее, по формулам Крамера, находим:
x0 |
x |
|
6 |
1, |
x0 |
x |
|
12 |
2 , |
x0 |
x |
|
18 |
3. |
||||
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
6 |
|
6 |
|
|
6 |
|
|||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Делаем проверку найденного решения 1; 2;3 :
1 2 3 2 верно,2 1 3 1 верно,3 1 2 5 верно.
Ответ: 1; 2;3 .
§ 2. Векторная алгебра
Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.
Вектором называется направленный отрезок. Чтобы отрезок стал направленным, один из его концов объявляется началом вектора, а другой – концом
9