8990

вектора. На чертеже вектор изображается стрелкой (см. рис. 1), идущей от начала к концу. В записи вектор обозначается маленькой буквой латинского алфавита с чертой a или стрелкой a сверху или парой заглавных букв латинского алфавита с чертой

AB или стрелкой AB сверху, из которых первая буква – начало вектора, а вторая буква – конец вектора.

Рис. 1

Длиной вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор и

обозначается: a или AB .

Назовем вектор ортом, если его длина в некотором масштабе равна единице.

Для обозначения единичных векторов, или ортов, чаще используют буквы: e , i , j ,

k e i j 1 .

Задание вектора с помощью орта и длины не фиксирует его начала. Такие векторы называются свободными. Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе и его началом можно считать любую точку пространства. В

векторной алгебре всегда имеем дело со свободными векторами и будем их переносить параллельно самим себе, меняя точку их приложения, то есть начало вектора.

Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 0 .

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножение вектора на число.

10

Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора b , при чем конец вектора a и начало вектора b совмещаются и обозначается: c a b .

Пусть даны вектора a и b . (См. рис. 2)

Рис.2

Чтобы их сложить, то есть найти сумму a b этих векторов, необходимо нарисовать a и b в одном и том же масштабе таким образом, чтобы начало вектора b – второго слагаемого, совпало с концом вектора a – первого слагаемого (см. рис. 3). Тогда отрезок, соединяющий начало вектора a с концом вектора b будет суммой a b в том же масштабе, в котором представлены a и b .

Рис. 3

Противоположным вектору a называется такой вектор a , который при сложении с вектором a дает нуль-вектор, то есть a a 0 .

Заметим, что разностью векторов a и b является сумма вектора a и вектора

b , противоположного вектору b , то есть a b a b .

Произведением вектора a на число называется такой вектор a ,

направление которого совпадает с вектором a , если 0 и противоположно

11

направлению вектора a , если 0; длина же вектора a в раз «больше» длины

вектора a , то есть

a a .

Пусть дан вектор a (см. рис. 4), тогда векторы b 2a , c 3a изображены на рисунке 5.

Свойства линейных операций над векторами:

1.a b c a b c

2.a b b a

3.a 0 a

4.a a 0

5.a a

6.a b a b

7.a a a

8.1 a a , где , , , – действительные числа.

Действия над векторами в координатной форме.

Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k пространства,

через которые условились выражать все векторы пространства, называются

базисными векторами или базисом.

12

Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки O и базиса i, j, k . (См. рис. 6)

1

1

1

Рис. 6

Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz , проходящие через начало координат – точку O в направлении базисных векторов i , j и k называются осями координат. Плоскости xOy , xOz и yOz , проходящие через каждую пару осей координат называются координатными плоскостями.

Если выбрана прямоугольная декартова система координат, то любой вектор a

пространства может быть единственным образом разложен по векторам i , j , k

базисным как:

a a1 i a2 j a3 k ,

то есть для каждого вектора a пространства в выбранной прямоугольной декартовой системе координат найдется единственная тройка чисел – координат a1 , a2 , a3 , что позволяет написать равенство: a a1 , a2 , a3 (см. рис. 6).

Если два вектора a и b в прямоугольной декартовой системе координат заданы своими координатами, то есть b b1 ,b2 ,b3 , то

1)a a1 , a2 , a3 ;

2)a b a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 .

13

c 2a b 2; 4;6 1;0;1 2 1 ; 4 0;6 1 1; 4;7 .

Ответ: c 1; 4;7 .

Для произвольной точки M x; y; z в прямоугольной декартовой системе координат координатами вектора OM являются проекции вектора на оси Ox , Oy ,

Oz соответственно, то есть OM x; y; z . (См. рис. 7)

Рис. 7

Длина вектора OM находится из двух прямоугольных треугольников OBA

и OAM :

OA2 OB 2 AB 2 x2 y2 ;

OM OA2 AM 2 x2 y2 z2 .

Пример. Найти a , если a i 2 j 2k .

Решение. Координаты вектора a : a 1; 2; 2 . Длина вектора a :

a 12 2 2 22 3.

Ответ: a 3.

14

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число,

равное произведению длин векторов на косинус угла между ними и обозначается: a b , то есть

Свойства скалярного произведения:

1)a b b a ;

2)a b a b , R;

3)a b c a b a c;

4)a a a 2 или

Решение. По формуле (2.1), находим

c c c a 2b a 2b a 2 4a b 4 b 2

Пример. Найти скалярное произведение векторов 2a и 3b , если

a 1; 2;3 и b 0; 1;1 .

Решение. Координаты векторов 2a и 3b :

2a 2 1; 2;3 2 1; 2 2; 2 3 2; 4;6 ;

3b 3 0; 1;1 3 0; 3 1 ; 3 1 0;3; 3 .

По формуле (2.2) искомое скалярное произведение равно:

2a 3b 2 0 4 3 6 3 0 12 18 6.

Ответ: 6.

Некоторые приложения скалярного произведения:

1. Угол между двумя ненулевыми векторами a a1; a2 ; a3 и b b1;b2 ;b3 из определения скалярного произведения вычисляется по формуле:

следовательно, (a b) 90 , то есть a b.

Ответ: 90 .

16

2. Проекция вектора a на вектор b вычисляется по формуле:

Ответ: np a b 2 .

Векторное произведение векторов

Три некомпланарных (непараллельных одной плоскости) вектора a , b и c ,

взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов, если из конца

третьего вектора c поворот от первого вектора a ко второму вектору b по кротчайшему пути виден против хода часовой стрелки, и левую, если по часовой. (См.

рис. 8)

Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой вектор c

, что:

1) c a , c b ;

17

следующие соотношения между ортами i , j , и k :

i j k , j k i , k i j .

Поскольку тройки векторов j,i , k , k, j,i и i, k, j левые, то

j i k , k j i , i k j .

Свойства векторного произведения:

1)a b b a ;

2)c a b c a c b;

3)a b a b a b , R;

4)a b 0 a || b .

2 3 i 1 0 j 1 0 k 5i j k .

Ответ: a b 5i j k .

18

Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b (см. рис. 9) равна модулю векторного произведения векторов a и b , так как:

Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах a и b (см.

рис. 10) равна половине модуля векторного произведения, построенного на векторах a и b , то есть

S 12 Sпарал. 12 a b .

Рис. 10

Пример. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a 2i k и

b j k .

Решение. a 2;0 1 и b 0;1; 1 . Тогда

0 1 i 2 0 j 2 0 k i 2 j 2k ;

a b 12 22 22 3, следовательно

19