8442
.pdf
180
Какому уравнению должна подчинятся волновая функция для состояния, когда энергия системы фиксирована (стационарное уравнение шредингера). Волновое уравнение может быть записано в виде:
|
∂2 S − |
1 |
∂2 S = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂2 x |
V 2 |
∂2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для гармонической волны зависимость от времени определяется формулой |
||||||||||||||||||
S (t, x) = A ×sin(ωt M kx) тогда |
|
заменяя |
вторую |
производную по времени |
||||||||||||||
|
|
&& |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
соотношением S = −ω |
Asin(ωt M kx) = −ω |
S , запишем уравнение в виде: |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
∂2 S |
|
ω 2 |
|
|
|
|
ω 2 |
|
|
2π 2 |
∂2 S |
2π 2 |
||||||
|
− |
|
S = 0; |
|
V 2 |
= |
|
|
; |
∂2 x |
− |
|
|
S = 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∂2 x V 2 |
|
|
|
|
|
|
λ |
λ |
|
|
||||||||
Если записывать уравнение для волновой функции частицы, то естественно под длиной волны понимать волну де Бройля (2.5) тогда
|
2π 2 |
2π |
|
|
|
2 |
2m |
(E −U ) и заменяя в предыдущем |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
= |
|
|
2mW |
|
= |
|
|
λ |
h |
|
||||||||
|
|
|
|
k |
|
H2 |
|
|||
уравнении значение соответствующего коэффициента получим для волновой функции S=ψ(x, y,z) стационарное уравнение Шредингера:
|
∂2 |
ψ + |
2m |
(Е −U )ψ = 0, |
(24) |
|
|
∂x2 |
|
||||
|
|
|
H2 |
|
||
где Е – полная энергия частицы |
U = U (x, y,z) потенциальная |
энергия, |
||||
называются собственными функциями. В трёхмерном случае вместо второй производной по координате войдёт оператор Лапласа:
|
∂2 |
|
|
∂2 |
|
∂2 |
|
∂2 |
|
||||
|
|
|
ψ |
ψ ≡ |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
ψ . |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
||||||
|
∂x |
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решения существуют лишь при определенных значениях E, называемых собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений E образует энергетический спектр частицы. В зависимости от вида функции U (x, y, z), энергетический спектр частицы может быть дискретным или непрерывным. Отыскание собственных значений и собственных функций составляет важнейшую задачу квантовой механики.
Если частица находится в определенном энергетическом состоянии с энергией Е = const , то вероятность dω обнаружить ее в элементе объема dV
не зависит от времени: dω = ψ 2 dV = ψψ* dV . Такое состояние частицы
называется стационарным состоянием. Атом, находящийся в стационарном состоянии, имеет постоянную энергию и не излучает электромагнитные волны.
181
3.5.Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины
Потенциальной ямой называется область пространства, в которой
потенциальная энергия U частицы монотонно возрастает по мере удаления от
точки, где эта энергия минимальна. На рис. 15 изображена одномерная
потенциальная яма бесконечной глубины с «плоским дном»:
U = 0 при 0 £ x £ L, U = ¥ при x £ 0 и x ³ L .
U
х = 0 |
х = L |
х |
Рис. 15
Стационарное уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме имеет вид
|
d 2ψ |
+ |
2m |
Eψ = 0 |
(25) |
|||
|
dx2 |
|
||||||
|
|
H2 |
|
|
|
|
||
при краевых условиях ψ( 0 ) = ψ( L ) = 0 , означающих, что ψ = 0 и |
|
ψ |
|
2 = 0 вне |
||||
|
|
|||||||
области 0 £ x £ L, т.е. что вероятность найти частицу вне потенциальной ямы равна нулю.
Решение уравнения Шредингера
ψ( x ) = Acos kx + B sin kx, |
(26) |
|
|
k = |
2mE |
|
где A и B – |
постоянные, |
|
– волновое число. Из краевых условий |
|
|
||||
|
|
|
H |
|
следует, что |
A = 0 , B ¹ 0 |
и sin kL = 0 , то есть волновое число принимает ряд |
||
дискретных значений соответствующих требованию kn L = nπ , где n = 1,2,3,...
Последнее уравнение означает, что
2π |
= |
πn |
или λ |
= |
2L |
. |
|
|
|
||||
λn L |
n |
|
n |
|||
|
|
|||||
На длине потенциальной ямы должно укладываться целое число полуволн де Бройля.
182
Физические величины, которые могут принимать лишь определенные дискретные значения, называются квантованными (квантование физических величин). Собственные значения энергии En частицы в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины
En |
= |
n2π 2H2 |
( n = 1,2,...) |
(27) |
|
2mL2 |
|||||
|
|
|
|
представляют собой дискретный ряд значений энергии, которая является квантованной. Таким образом, энергетический спектр такой частицы является дискретным, в отличие от свободной частицы.
Квантованные значения En называются уровнями энергии, а число n ,
определяющее энергетические уровни частицы в потенциальной яме,
называется квантовым числом.
3.6.Линейный гармонический осциллятор
Линейным одномерным гармоническим осциллятором называется частица с массой m , которая колеблется с собственной циклической частотой ω0 вдоль некоторой оси ОХ под действием квазиупругой силы Fx , пропорциональной
отклонению x |
частицы от |
положения равновесия: |
Fx = −kx . Здесь |
k |
– |
||
коэффициент квазиупругой силы, связанный с m и ω0 |
соотношением k = mω0 . |
||||||
Потенциальная энергия гармонического осциллятора |
|
|
|
||||
|
|
U ( x ) = |
kx2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Амплитуда малых колебаний гармонического осциллятора в классической |
|||||||
физике определяется запасом его энергии Е (рис. 2.2). В точках B и |
A с |
||||||
|
|
|
|
|
U ( a ) |
, где |
|
координатами ± a энергия W равна потенциальной энергии: W = |
|||||||
|
|
|
|
|
U ( −a ) |
|
|
а – амплитуда |
колебаний |
классического гармонического осциллятора. |
За |
||||
пределы области ( −a,+a ) такой осциллятор выйти не может. |
|
|
|||||
|
|
U |
|
|
|
||
|
A |
|
|
В |
|
|
|
- а |
0 |
а |
Х |
Рис. 16
183
В квантовой физике колебания линейного гармонического осциллятора изучаются с помощью стационарного уравнения Шредингера
|
|
|
|
|
|
|
d 2ψ |
+ |
2m |
|
(Е − |
|
mω02 x2 |
)ψ = 0 . |
|
(28) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
H2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
Собственные |
значения |
энергии |
Wn |
|
линейного |
гармонического |
||||||||||||||
осциллятора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Wn = n + |
|
|
hν0 |
= n + |
|
|
Hω0 |
(n = 0,1,2,...), |
(29) |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где ν |
0 |
= |
ω0 |
, |
ω |
– собственная |
циклическая |
частота, представляют |
собой |
|||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
2π |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
совокупность равностоящих друг от друга энергетических уровней,
изображенных |
на рис. 2.3. |
|
При n >> 1 и |
n + |
1 |
= n |
энергетические уровни |
|||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
осциллятора |
совпадают с |
|
величинами |
квантовой |
энергии |
осциллятора |
||||||
′ |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wn = n |
ω0 , которые постулировал Планк |
в теории |
излучения |
абсолютно |
||||||||
черного тела. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Hω0 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3Hω0 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Hω0 / 2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 17
Наименьшая энергия, которую может иметь линейный гармонический осциллятор, называется нулевой энергией W0 :
W = |
hν0 |
= |
Hω0 |
(при n = 0 ). |
(30) |
|
|
||||
0 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
В классической физике и в теории Планка считалось, что W0 = 0 (при n = 0 ). Это означает, что осциллятор не колеблется и находится в положении равновесия. Атомы-осцилляторы при температуре абсолютного нуля (Т=0) не должны, согласно классической физике, совершать колебания. В квантовой механике доказано, что нулевая энергия гармонического осциллятора не может быть от него отнята при любом охлаждении, вплоть до абсолютного нуля. Нулевой энергии осциллятора соответствуют его нулевые колебания. В квантовой механике нулевая энергия является характерным признаком любой системы частиц. При температурах, близких к абсолютному нулю, вещество находится в конденсированном состоянии и его атомы (молекулы или ионы)
184
рассматриваются как колеблющиеся осцилляторы. Нулевая энергия является наименьшей энергией, которой должен обладать квантовый осциллятор в наинизшем энергетическом состоянии (при n = 0 ) для того, чтобы выполнялись соотношения неопределенностей.
3.7.Атом водорода. Пространственное квантование
Стационарное уравнение Шредингера для движения электрона в кулоновском поле ядра водородоподобного иона имеет вид
|
|
|
ψ + |
2m |
|
(W − U )ψ = 0 , |
(31) |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
H |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где U( r ) = − |
Ze2 |
– |
потенциальная энергия |
электрона, находящегося |
на |
||||
4πε0r |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
расстоянии r от ядра, |
ε0 – электрическая постоянная, W – энергия электрона в |
||||||||
атоме. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение стационарного уравнения Шредингера для электрона в центрально-симметричном кулоновском поле ядра приводит к следующим результатам:
1. Момент импульса электрона в атоме квантуется по формуле
Ll = |
l( l + 1) |
H , |
(32) |
где орбитальное квантовое число l, определяющее модуль момента импульса, изменяется в пределах l = 0,1,...,( n − 1); n – главное квантовое число.
В зависимости от значений орбитального квантового числа приняты следующие обозначения состояний электрона в атомах:
s -состояние при l = 0 , |
p – |
состояние при l = 1, |
d -состояние при l = 2 , |
f – |
состояние при l = 3 и т.д. |
Состояние s электрона в атоме водорода при n = 1 называется основным состоянием. Это состояние является сферически симметричным.
2. При W < 0 , когда электрон «связан» в атоме, его движения являются периодическими, а значения энергии W квантованы. Собственные значения Wn определяются по формуле
W = −13,6 |
1 |
( эВ ), |
(33) |
n |
n2 |
|
где n – главное квантовое число ( n = 1,2,3,...).
Как следует из условий квантования орбитального момента импульса, квантовая механика, в отличие от классической, допускает нулевое значение орбитального момента импульса электрона (s-состояние), что по классической модели соответствует маятникообразному движению электрона через центр атома ( r = 0 ).
Классическая механика и теория Бора, рассматривая электрон в атоме, как частицу массой me , движущуюся со скоростью υ по орбите радиуса r, определяют момент импульса электрона, связанный с его орбитальным
185
движением, как вектор Le , направление которого определяется по правилу правого винта (рис. 18), а модуль Le = meυr .
0
Le Lez
• ∙ |
e |
r |
υ |
|
Z
Рис. 18
Пространственным квантованием называется доказанное в квантовой механике существование определенных дискретных ориентаций в пространстве вектора момента импульса Ll электрона в атоме. Возможны лишь такие ориентации Ll , при которых проекция Llz вектора Ll на направление внешнего магнитного поля (ось OZ) принимает значения
Llz = mH , |
(34) |
где m – целое число, которое называется магнитным квантовым числом и принимает значения m = 0,±1,±2,...,±l , а l – орбитальное квантовое число.
В связи с тем, что вектор орбитального момента импульса электрона пропорционален орбитальному магнитному моменту электрона, из пространственного квантования следует, что вектор pm орбитального магнитного момента электрона во внешнем магнитном поле не может принимать произвольных ориентаций.
Опытным путем было установлено, что наблюдается пространственное квантование магнитных моментов атомов с одним внешним валентным электроном, находящимся в s -состоянии ( l = 0 ). В таком состоянии атомов у них отсутствует орбитальный момент импульса ( Ll = 0 ). Пространственное квантование, обнаруженное в таких опытах, относилось к спину электрона – собственному моменту импульса электрона, являющемуся его неотъемлемым свойством (как, например, масса) и не зависящему от состояния электрона. Опыты подтвердили наличие двух возможных ориентаций вектора спина во внешнем магнитном поле: либо по направлению поля, либо противоположно ему.
Абсолютная величина спинового момента импульса электрона Ls находится по формуле
|
|
186 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ls = |
|
|
H , |
|
|
|||
|
|
|
s( s + 1) |
|
(35) |
|||||
где s = 1 |
2 |
– спиновое квантовое число электрона. Поэтому численное значение |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
спина электрона равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ls = |
3 |
|
H . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пространственное квантование спина означает, что проекция Lsz вектора |
||||||||||
спина Ls |
на направление внешнего магнитного поля находится по формуле |
|||||||||
|
|
|
Lsz |
= ms H , |
|
(36) |
||||
где ms – |
магнитное спиновое число, которое отличается от спинового числа s |
|||||||||
тем, что может принимать два значения: не только + 1 |
, но и − 1 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||
Литература
1.Савельев, И. В. Курс общей физики: учеб. пособие для студентов вузов по техн. (550000) и технол. (650000) направлениям. Т.1: Механика. Молекулярная физика. - Изд. 10-е, стер. - СПб: Лань, 2008. - 432 с.
2.Савельев, И. В. Курс общей физики: учеб. пособие для студентов вузов по техн. (550000) и технол. (650000) направлениям. Т.2: Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. Изд. 10-е, стер. - СПб: Лань, 2007. - 496 с.
3.Савельев, И. В. Курс общей физики: учеб. пособие для студентов вузов по техн. (550000) и технол. (650000) направлениям: в 3 т. Т.3: Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. Изд. 4-е, стер. - СПб: Лань, 2005. - 317 с.
4.Волькенштейн, В. С. Сборник задач по общему курсу физики: для студентов техн. вузов / В. С. Волькенштейн. Изд. 3-е, испр. и доп. - СПб: Кн. мир, 2006. -
327с.
5.Фриш, С. Э. Курс общей физики. Т.1: Физические основы механики. Молекулярная физика. Колебания и волны / Т.2: Электрические и электромагнитные явления / Т.3: Оптика. Атомная физика. - Изд.: Лань, СПб.
Лапин Виктор Геннадьевич Краснов Александр Артемьевич Штенберг Валерия Борисовна
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО ФИЗИКЕ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Физика»
для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство Профиль Экспертиза и управление недвижимостью.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» 603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.
http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru