8442

171

rλ s + rλАЧТ × s × (1 - aλ ) = rλАЧТ × s

Баланс энергии для первого и второго тела даёт:

Это равенство выражает закон Кирхгофа для равновесного теплового излучения. Отношение спектральной плотности излучаетльной способности к коэфициенту поглощению тела есть величина универсальная функция тепературы и определяющая спектральную плотность излучения абсолютно чёрного тела

Следствие: при данной температуре сильнее излучают те тела, которые имеют больший коэффициент поглощения.

2.3.Классическая теория излучения. Закон Джинса-Релея**

Рассмотрим замкнутую равновесную систему в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами Lx , Ly , Lz , Если стенки полностью

отражающие, в системе могут существовать стоячие ЭМ волны с волновыми числами

k x Lx = π nx , k y Ly = π ny , k z Lz = π nz ; nx , ny , nz - целые

Каждый набор целых чисел определяет состояние системы . Определим число состояний если ограничена величина волнового вектора заключена в пределах между

k = k x 2 + k y2 + k z2 и k + dk

В пространстве волновых чисел это определяется объёмом первого квадранта шарового слоя 4π k 2 dk / 8 , делённом на объём ячейки, занимаемой

Вэтой формуле учтено k=2πν/c и что число возможных поляризаций ЭМ поля равно g=2, что увеличивает число состояний.

Вклассической теории принимается принцип равнораспределения энергии по степеням свободы. Здесь мы имеем дело с осцилятором, которому приписывают 2 степени свободы, на каждую из которых приходится энергия kT/2 . Таким образом получим для спектральной плотности энергии единицы

172

Поскольку энергия распространяется в пространстве со скоростью с, вытекающая через единичную площадку

Эта формула соответствует Закону ДжинсаРелея для спектральной плотности излучательной способности тела. Для получения полной энергии, излучаемой телом, эта величина должна быть проинтегрирована по частоте от 0 до бесконечности. Поскольку функция (7) возрастает с частотой, интеграл даёт бесконечное выражение в области малых частот. Этот результат парадоксальный, поскольку тело не имеет бесконечной энергии. Эта особенность классической теории теплового излучения была названа ультрафиолетовой катастрофой, поскольку подрывала все устои физики.

2.4.Формула Планка*

Тупиковую ситуацию разрешил в 1890 г. немецкий физик-теоретик Макс Планк, предположивший, что электромагнитные колебания излучаются атомами не непрерывно, а дискретными порциями (квантами), энергия которых

Поэтому энергия осцилятора ε n = nε1 квантуется.

Средняя энергия должна вычислятся с помощью распределения Больцмана:

n=0

Заметим что средняя энергия равна kT только для малых частот. Для больших частот эта величина экспоненциально уменьшается. Теперь, заменяя в формуле (7) kT выражение средней энергии, полученной в (9) для величины uν будем иметь:

Это известная формула Планка, которая даёт корректный спектр теплового излучения. Для излучательной способности абсолютно чёрного тела получаются соотношения:

173

Графики первой из двух функций приведены на рисунке для двух температур, отличающихся в два раза (единицы измерения по осям условные).

2.5.Закон Стефана-Больцмана. Законы Вина

Из рисунка видно, что спектр абсолютно черного тела всегда является сплошным, то есть в спектре представлен непрерывный ряд длин волн.

Поскольку энергетическая светимость АЧТ

черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры

э

где σ = 5,67 ×10−8 Вт× м−2К−4 – постоянная Стефана-Больцмана.

серости.

Закон (11) был получен экспериментально ранее формулы Планка. Интегрированием распределения Планка, можно получить этот закон, а

кроме того показать, что постоянная Стефана-Больцмана выражается через фундаментальные постоянные:

174

σ = 2π 5 k 4

15c 2 h3

Из рис. следует, что для каждой температуры кривые Планка имеют максимум rλm , и что с ростом температуры максимум смещается в сторону более коротких длин волн, то есть больших частот. Немецкий физик Вин установил, что длина волны λm , соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости АЧТ обратно пропорциональна его термодинамической температуре Т:

Это первый закон Вина, или закон смещения Вина.

Второй закон Вина позволяет определить само значение максимальной спектральной плотности энергетической светимости rλm АЧТ при данной температуре Т:

где C2 = 1,29 ×10−5 Втм−3К−5 .

Законы Вина также могут быть получены из формулы Планка. Для этого нужно выразить точку максимума распределения и найти зависимость максимальной излучательной способности от температуры.

Вычисляя производную получим

Уравнение 5(1 - e− x ) = x может быть решено приближенно (итерациями). Возьмём x0=0 и подставим его в левую часть, тогда в правая часть даст следующее приближение x1=5, подставляя его в левую часть получим x2=5(1-е-5)= 4,97. Видим, что второе приближение мало отличается от первого, следовательно можно его принять в качестве приближённого решения. В результате для первого закона Вина получим:

hc = 4,97

λkT

Что даёт коэфициенты, совпадающие с приведённой выше эмпирической формулой (12).

Приведем связь между интенсивностью I излучения абсолютно чёрного тела и равновесной плотностью энергии излучения u в окружающем пространстве. Для простоты вывода рассмотрим тело в виде сферической полости, радиусом R, а величину u вычислим в центре этой полости. По определению [ I ]=Дж/(c м2ср), то есть даёт мощность, выходящую из единичной площади тела в

175

определённом направлении в расчёте на единичный телесный угол (в стерадианах ср).

Выделим в ценре полости небольшой шаровой объём, радиуса r. Этот объём виден из какой то точки полости под телесным углом P=πr2/R2. C с каждого квадратного сантиметра поверхности тела в 1 секунду на рассматриваемый объём падает энергия I P .

Поскольку энергия протекает через площадь πr2, вытекающая за секунду энергия равна должна иметь плотность u1: u1πr2c= I P или

Полная плотность энергии u складывается из излучения всей

поверхности полости, площадью 4πR2 в

результате получим окончательную формулу:

Заметим, что если в сферической полости проделать небольшое отверстие, то энергетическая светимость этого отверстия RЭ будет определятся формулой (11), а через плотность энергии внутри полости выразится следующим образом:

= с × u

R . (14)

Подробности вычислений можно найти в учебниках.

3.Законы квантовой механики

3.1.Спектр водорода. Постулаты Бора

Простейшим атомом является атом водорода, состоящий из одного протона в ядре и одного электрона, движущегося в кулоновском электрическом поле

ядра. Водородоподобными ионами (изоэлектронными водороду) называют ионы Не+, Li++, Be+++ и т.д., имеющие ядро с зарядом Ze и один электрон.

176

Среди оптических свойств атома важнейшим является его спектр излучения. Частоты линий ν в дискретном линейчатом спектре атома водорода описываются формулой Бальмера – Ридберга

n1>n. Величина R называется постоянной Ридберга ( R = 1,0973731×107 м−1 ). Целые числа n и n1 называются главными квантовыми числами, причем

Для водородоподобных ионов формула Бальмера-Ридберга имеет вид

где Z – порядковый номер элемента в периодической системе Менделеева. Спектр и энергетические уровни атома водорода были объяснены

впервые с помощью постулатов Бора.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме существует набор стационарных состояний, находясь в которых атом не излучает электромагнитные волны. Стационарным состояниям соответствуют стационарные орбиты, по которым электроны движутся с ускорением, но излучение света при этом не происходит.

Правило квантования орбит: в стационарном состоянии атома электрон, движущийся по круговой орбите, имеет квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию:

Второй постулат Бора (правило частот): при переходе атома из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается один фотон. Излучение фотона происходит при переходе атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией. При обратном переходе происходит поглощение фотона. Энергия hν фотона равна модулю разности энергий в двух состояниях атома:

При Wn > Wm происходит излучение фотона, при Wn < Wm – его поглощение.

177

3.2.Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц вещества. Волны де Бройля

Физика атомов, молекул и их комплексов, в частности кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц изучается в квантовой механике. Объекты микромира, изучаемые квантовой механикой, имеют линейные размеры порядка 10-6 ÷ 10-12 см. Если частицы движутся со скоростями υ << c , где с – скорость света в вакууме, то применяется нерелятивистская квантовая механика.

Основополагающей в квантовой механике служит идея о том, что корпускулярно-волновая двойственность свойств, установленная для света, имеет универсальный характер. Все движущиеся частицы обладают волновыми свойствами.

Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны, связанной с движущейся частицей вещества, от импульса р частицы

где m – масса частицы, υ – ее скорость, h – постоянная Планка. Волны, о которых идет речь, называются волнами де Бройля.

H = h = 1,05 ×10−34 Дж × с. 2π

Длина волны де Бройля для частицы с массой m , имеющей кинетическую энергию Wk ,

2mWk

Формула де Бройля экспериментально подтверждается опытами по рассеянию электронов и других частиц на кристаллах и по прохождению частиц сквозь вещество. Признаком волнового процесса во всех таких опытах служит дифракционная картина распределения электронов (или других частиц) в приемниках частиц.

Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным.

3.3.Соотношения неопределенностей Гейзенберга

Волновые свойства микрочастиц вносят ограничения в возможность применять к таким частицам понятия координаты и импульса в их классическом смысле.

В классической физике также существуют ограничения в применении некоторых понятий к определенным объектам. Так, понятие температуры не имеет смысла применять для одной молекулы, понятие о точной локализации (пребывание в одной точке) неприменимо к определению положения в

178

пространстве волны и т.д. Однако в классической механике определенному значению координаты частицы соответствуют точные значения ее скорости и импульса. В квантовой механике существуют ограничения в возможности одновременного точного определения координаты частицы и величины ее

локализована частица, описываемая волной де Бройля, если проекции ее импульса по осям координат заключены в интервалах px , p y и pz

соответственно.

Соотношения Гейзенберга показывают, что координаты частицы x, y, z и проекции px , p y , pz ее импульса на соответствующие оси не могут одновременно иметь значения в точности равные x и px , y и p y , z и pz . Эти

физические величины могут иметь значения, заданные с точностью, определяемой соотношениями Гейзенберга. Чем более точно определено положение частицы, т.е. чем меньше x , y и z , тем менее точно определены

значение проекции импульса px становится совершенно неопределенным. Соотношения неопределенностей накладывают в квантовой механике

определенные ограничения на возможности описания движения частицы по некоторой траектории.

В классической теории в каждой точке траектории частица имеет определенные координаты x, y,z и определенный импульс p с проекциями по осям px , p y , pz . В квантовой механике это реализуется только в тех случаях,

когда частица движется в макроскопической области пространства (например, оставляет след на фотопластинке или экране осциллографа). Если, например, положение электрона зафиксировано с точностью, определяемой линейными размерами зерна фотоэмульсии, испытывающего воздействие электрона, то

неопределенность при скоростях электронов порядка (106 ¸107 )м / с позволяет считать, что электрон движется по определенной траектории с точно заданной в каждой точке скоростью.

Если частица движется в макроскопической области пространства, то соотношения неопределенностей существенно сказываются на характере движения частицы. Например, положение электрона, движущегося в атоме,