7464

УДК 519.8

Дыскин, Л.М. Методы решения задач теплоэнергетики [Электронный ресурс]: учеб.- метод. пос. / Л.М. Дыскин, М.С. Морозов; Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 54 с. – 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

Ключевые слова: тепломассообмен, моделирование, подобие, аналогия, аппарат, расчет, алгоритм, гидравлический расчет, эксперимент.

В пособии приведены сведения о моделировании процессов тепломассообмена в аппаратах, устанавливаемых на производственных предприятиях, их конструкциях и принципах действия. Приведены сведения о расчете и проектировании теплоэнергетического оборудования с применением методов математического, физического и численного моделирования.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к практическим занятиям (включая рекомендации по организации самостоятельной работы) по дисциплине «Моделирование и алгоритмизация задач теплоэнергетики» по направлению подготовки 13.04.01 Теплоэнергетика и теплотехника, профиль Тепломассообменные процессы и установки.

© Л.М. Дыскин, М.С. Морозов, 2016 © ННГАСУ, 2016

3

ВВЕДЕНИЕ

В науке любой эксперимент, производимый для исследования тех или иных закономерностей изучаемого явления или для проверки правильности и границ применимости, найденных теоретическим путем результатов, по суще-

ству представляет собой моделирование. Так как объектом эксперимента явля-

ется конкретная модель, обладающая необходимыми физическими свойствами,

то в ходе эксперимента должны выполняться основные требования, предъяв-

ляемые к моделированию. В технике моделирование используется при проек-

тировании и сооружении различных объектов для определения на соответст-

вующих моделях тех или иных свойств (характеристик) как объекта в целом,

так и отдельных его частей. К моделированию прибегают не только из эконо-

мических соображений, но и потому, что натурные испытания очень трудно или вообще невозможно осуществить, когда слишком велики (или малы) раз-

меры натурного объекта или значения других его характеристик (давления,

температуры, скорости протекания процесса и т. п.).

Моделирование применяется, как при научных исследованиях, так и при решении большого числа практических задач в различных областях техники: в

строительном деле (определение усталостных напряжений, эксплуатационных разрушений, виброзащита и сейсмостойкость различных конструкций и др.), в

гидравлике и в гидротехнике (определение конструктивных и эксплуатацион-

ных характеристик различных гидротехнических сооружений, условий фильт-

рации в грунтах, моделирование течений рек, приливов и др.), в авиации, ра-

кетной и космической технике (определение характеристик летательных аппа-

ратов, силового и теплового воздействия среды и др.), в судостроении (опреде-

ление гидродинамических характеристик судов, их ходовых качеств и др.), в

приборостроении, в различных областях машиностроения и др.

В основе физического моделирования лежат теория подобия и анализ размерностей. Необходимыми условиями моделирования является геометриче-

ское подобие (подобие формы) и физическое подобие модели и натуры: в сход-

4

ственные моменты времени и в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих явления для натуры, должны быть пропорциональны значениям тех же величин для модели. Наличие такой про-

порциональности позволяет производить пересчёт экспериментальных резуль-

татов, получаемых для модели, на натуру путём умножения каждой из опреде-

ляемых величин на постоянный для всех величин данной размерности множи-

тель – коэффициент подобия.

Поскольку физические величины связаны определенными соотношения-

ми, вытекающими из законов физики, то, выбрав некоторые из них за основ-

ные, можно коэффициент подобия для всех других производных величин выра-

зить через коэффициент подобия величин, принятых за основные. Например, в

механике основными величинами считают обычно длину l, время t и массу т.

Тогда, поскольку скорость v = l/t, коэффициент подобия скоростей kv = vн/vм

(индекс «н» у величин для натуры, «м» – для модели) можно выразить через коэффициент подобия длин kl = lн/lм и времён kt = tн/tм„ в виде kv = kl/kt. Анало-

гично, так как на основании второго закона Ньютона сила F связана с ускоре-

нием а соотношением F = mа, то kF = kmka (где kа = kv/kt и т. д.). Из наличия та-

ких связей вытекает, что для данного физического явления некоторые безраз-

мерные комбинации величин, характеризующих это явление, должны иметь для модели и натуры одно и то же значение. Эти безразмерные комбинации физи-

ческих величин называют критериями подобия. Равенство всех критериев по-

добия для модели и натуры является необходимым условием моделирования.

Однако добиться этого равенства можно не всегда, т. к. не всегда удаётся одно-

временно удовлетворить всем критериям подобия. При этом число и вид крите-

риев подобия для каждого моделируемого явления зависит от его природы и особенностей.

Например, для задач динамики точки (или системы материальных точек),

где все уравнения вытекают из второго закона Ньютона, критерием подобия является число Ньютона Ne = Ft2/ml и условие моделирования состоит в том,

что оно должно быть одинаково для натуры и для модели Neн = Neм.

5

Когда при моделировании необходимо обеспечить равенство нескольких критериев, возникают значительные трудности, часто непреодолимые, если только не делать модель тождественной натуре, что фактически означает пере-

ход от моделирования к натурным испытаниям. Поэтому на практике нередко прибегают к приближённому моделированию, при котором часть процессов,

играющих второстепенную роль, или совсем не моделируется, или моделирует-

ся приближённо. Такое моделирование не позволяет найти прямым пересчётом значения тех характеристик, которые не отвечают условиям подобия, и их оп-

ределение требует соответствующих дополнительных исследований.

При изучении процессов теплообмена также широко используют модели-

рование. Для случаев переноса тепла конвекцией определяющими критериями подобия являются число Нуссельта Nu = l/ , число Прандтля Pr = v/a, число Грасгофа Gr = βgl3∆T/v2, а также число Рейнольдса Re = wl/ , где – коэффи-

циент теплоотдачи, а – коэффициент температуропроводности, – коэффици-

ент теплопроводности среды (жидкости, газа), v – кинематический коэффици-

ент вязкости, β – коэффициент объёмного расширения, ∆Т – разность темпера-

тур поверхности тела и среды. Обычно целью моделирования является опреде-

ление коэффициента теплоотдачи, входящего в критерий Nu, для чего опытами на моделях устанавливают зависимость Nu от других критериев. При этом в случае вынужденной конвекции (например, теплообмен при движении жидко-

сти в трубе) становится несущественным критерий Gr, а в случае свободной конвекции (теплообмен между телом и покоящейся средой) – критерий Re. Од-

нако к значительным упрощениям процесса моделирования это не приводит,

особенно из-за критерия Рr, являющегося физической константой среды, что при выполнении условия Prм = Prн практически исключает возможность ис-

пользовать на модели среду, отличную от натурной. Кроме того, физические характеристики среды зависят от её температуры, поэтому в большинстве слу-

чаев прибегают к приближённому моделированию, отказываясь от условия ра-

венства критериев, мало влияющих на процесс, а другим условиям (например,

подобию физических свойств сред, участвующих в теплообмене) удовлетворя-

6

ют лишь в среднем. На практике часто используют также так называемый ме-

тод локального теплового моделирования, согласно которому условия подобия процессов для модели и натуры выполняются только в той области модели, где исследуется процесс теплообмена.

В случаях переноса теплоты теплопроводностью (кондукцией) крите-

риями подобия являются число Фурье Fo = at/l и число Био Bi = / , где t – ха-

рактерный промежуток времени (например, период). Для апериодических про-

цессов (нагревание, охлаждение) t обычно отсутствует и параметр Fo выпадает,

а отношение at/l2 определяет безразмерное время. При моделировании таких процессов теплообмена удаётся в широких пределах изменять не только разме-

ры модели, но и темп протекания процесса.

Особый вид моделирования основан на использовании специальных уст-

ройств, сочетающих физические модели с натурными приборами. К ним отно-

сятся стенды для испытания машин, наладки приборов и т. п., тренажёры для тренировки персонала, обучаемого управлению сложными системами или объ-

ектами, имитаторы, используемые для исследования различных процессов в ус-

ловиях, отличных от обычных земных, например, при глубоком вакууме или очень высоких давлениях, при перегрузках или невесомости.

Моделирование направлено на решение различных научных и практиче-

ских задач; в теплоэнергетике это чаще всего: исследование рабочих процессов энергетических машин и установок (газодинамика, теплообмен, горение, тер-

модинамика и т. д.), повышение их производительности, разработка принципов работы новых машин, перспективных преобразований энергии, создание кон-

кретных образцов техники.

Математическое моделирование включает в себя несколько этапов. Это составление математической модели исследуемого процесса на основе имею-

щихся сведений или использование готовой модели с правильным учетом ос-

новных и второстепенных факторов, что во многих случаях позволяет упро-

стить составляемую модель. При этом для удобства решения и представления полученных результатов математическое описание явления выполняется в без-

7

размерных единицах на основе теории подобия. Далее осуществляется выбор метода решения (аналитического, приближенного) с учетом нескольких факто-

ров – требуемой точности, затрачиваемого времени, материальных затрат.

Вычислительный эксперимент, осуществляемый, как правило, с помощью ЭВМ, позволяет получить результат исследования в виде численных данных,

которые затем подвергаются соответствующей обработке. В результате полу-

чаются расчетные уравнения, графики и номограммы, характеризующие зако-

номерности изучаемого процесса. Следует отметить, что при проведении рас-

четов и обобщении полученных результатов широко применяются теория по-

добия, позволяющая получить уравнения подобия, и математическая теория планирования эксперимента, значительно сокращающая время на вычислитель-

ные процедуры.

Физическое моделирование может выполняться на модельной (лабора-

торной) или натурной установке, которые разрабатываются с учетом основных положений теории подобия физических явлений. Это позволяет определить геометрические размеры установок, диапазон изменения основных параметров,

наметить необходимые измерения и подобрать соответствующую измеритель-

ную аппаратуру, предварительно оценить погрешность полученных результа-

тов. Далее составляется программа проведения исследований.

Выполнение эксперимента может осуществляться по обычной схеме

(схема последовательной переборки влияющих факторов) или с использовани-

ем математической теории планирования эксперимента.

При анализе полученных результатов производится сравнение теории и эксперимента, дается анализ их возможных расхождений. Окончательно оцени-

вается экономическая эффективность выполнения исследования. Конкретными результатами моделирования могут быть: уточнение математической или физи-

ческой модели явления, разработка новой методики расчета, новой методики расчета, новой теории, рекомендаций по совершенствованию машин и устано-

вок, подготовка данных для выполнения опытно-конструкторских работ и т. д.

8

1.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

1.1.Уравнения конвективного тепломассообмена

Математическое описание процессов в системах теплогазоснабжения ос-

новано на уравнениях конвективного тепломассообмена, определяющих поля температур и скоростей движущихся сред.

Уравнение неразрывности движущейся жидкости

Навье-Стокса) под действием силы тяжести g , силы давления p и силы вязко-

мени, – коэффициент динамической вязкости, Н сек/м2.

Дифференциальное уравнение изменения энергии

туропроводности, м2/сек, ср – удельная теплоемкость, Дж/(кг С), – коэффи-

циент теплопроводности, Вт/(м С), qV – теплота выделяемая (поглощаемая)

внутренними источниками в единице объема (теплота химических реакций,

Джоулево тепло при прохождении электрического тока), Вт/м3.

9

Для полноты математического описания к уравнениям необходимо доба-

вить начальные и граничные условия, включающие в себя:

– геометрические условия, по которым задаются в конкретной задаче фор-

ма и размеры тела;

– физические условия, по которым задаются физические свойства материа-

ла (плотность, коэффициент теплопроводности и т. п.) тела, а также закон рас-

пределения внутренних источников теплоты;

– начальные условия – поля температур и скоростей внутри тела в началь-

ный момент времени

T = T0 (x, y, z), w = w0 (x, y, z) при = 0.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами:

–граничные условия первого рода состоят в задании значений температуры

вточках границы тела, внутри которого разыскивается поле температуры

Tс = f ( , xг, yг, zг),

где Tс – температура на поверхности тела; xг, yг, zг – координаты точек поверх-

ности тела, например, температура в точках границы тела может быть постоян-

ной Tс = const в течение всего процесса теплопроводности.

– граничные условия второго рода состоят в задании значений плотности теплового потока в точках границы тела, внутри которого разыскивается поле температуры

qс = f ( , xг, yг, zг).

В простейшем случае плотность теплового потока на поверхности тела и

во времени остается постоянной qс = const.

– граничные условия третьего рода состоят в задании в точках границы тела связи между значениями плотности теплового потока и температуры. Эта

При этом задаются температура окружающей тело жидкости Тж вдали от него и коэффициент теплоотдачи на границе тела и омывающей его жидко-

сти. Величины qc и Tс при этом не заданы, являясь искомыми величинами. По