7067

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» (ННГАСУ)

Кафедра математики

Функции нескольких переменных

Методические указания и контрольные задания по высшей математике

Нижний Новгород

ННГАСУ

2012

§1. Основные понятия

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции n действительных переменных, т.е. функции нескольких переменных.

Пример 1. Площадь S треугольника является функцией двух независимо друг от друга изменяющихся переменных – основания a треугольника и его высоты h: S 12 a h f (a,h).

Пример 2. Работа тока A на участке электрической цепи зависит от разности потенциалов U на концах участка, силы тока I и времени t. Эта функциональная зависимость задается формулой: A I U t f (I,U,t).

Пусть имеется n переменных величин, тогда множество всех упорядоченных наборов их значений X (x1, x2,..., xn ) из n действительных чисел называется n-мерным числовым пространством n.

Элементы пространства n можно интерпретировать как точки с координатами x1, x2,..., xn и обозначать M (x1, x2,..., xn ).

Если каждой точке X (x1, x2,..., xn ) из некоторого множества D n поставлено в соответствие по определенному правилу единственное число z , то говорят, что на множестве D задана функция z f (x1, x2,..., xn ) n действительных переменных, т.е. z f (X), со значениями в . При этом переменные x1, x2,..., xn называются независимыми переменными

(аргументами), z – зависимой переменной (функцией), а символ f

обозначает закон соответствия. Множество D D( f ) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых функцией z в области определения, называется областью изменения функции (обозначается E или E( f )).

Между функциями одной переменной и функциями многих переменных имеются существенные различия. Наряду с этим переход от функции двух переменных к большему их числу, как правило, не представляет затруднений и практически все понятия и теоремы для случая n 2 обобщаются на случай n 2. Поэтому в данном пособии будем подробно рассматривать случай двух переменных, дающий наглядную геометрическую интерпретацию основных понятий.

Геометрически каждая совокупность значений двух переменных x и y

u f (x,y,z) – это некоторая совокупность точек трехмерного пространства.

Пример 3. Найти область определения функции z ln(36 4x2 9y2).

3

Рис. 2

Пример 5. Найти область определения функции z x arcsin y. Решение. Функция определена при условии, что 1 y 1 и при любых

значениях x. Следовательно, область определения функции есть полоса,

4

Графиком функции двух переменных z f (x,y) называется

множество точек трехмерного пространства (x,y,z), у которых аппликата z связана с абсциссой x и ординатой y функциональным соотношением z f (x,y).

Графиком функции двух переменных z f (x,y) является некоторая поверхность в пространстве. Функция трех и более числа переменных не имеет геометрического изображения. Но даже для случая двух переменных построение графика оказывается довольно непростой задачей. Поэтому одним из способов построения графика является прием сведения функции двух переменных к функции одной переменной путем придания постоянного значения не одной из независимых переменных, а самой функции.

плоскости Oxy. Для построения линий уровня числу C обычно придают значения, образующие арифметическую прогрессию с разностью h. Более крутая поверхность будет соответствовать тому участку плоскости Oxy, где линии уровня располагаются густо, а пологая – где они располагаются реже.

Пример 6. Построить линии уровня функции z x2 y2 4x. Решение. Линии уровня данной функции представляют собой кривые на

Рис. 4

5

§2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Понятие предела и непрерывности для функции двух переменных вводится аналогично случаю функции одной переменной.

-окрестностью точки M0 (x0; y0 ) называется множество всех точек M (x; y), являющихся внутренними точками круга с центром в точке M0 и радиусом .

Пусть функция z f (x,y) определена в некоторой окрестности точки M0 (x0; y0 ), кроме, быть может, самой этой точки.

Число A называется пределом функции z f (x,y) в точке M0 (x0; y0) (или, что то же самое, при x x0 и y y0 ), если абсолютное значение разности f (x,y) A будет меньше любого заранее заданного сколь угодно

то определение непрерывности можно переписать в виде:

z 0 при x 0 и y 0.

Другими словами, значение функции меняется мало, если мало меняются ее аргументы.

6

помощью конечного числа арифметических операций и операций суперпозиции. Ее областью определения считается множество всех тех переменных x1, x2,..., xn , при которых формула, задающая функцию, имеет смысл. Элементарные функции непрерывны.

Непрерывность функции двух переменных z f (x,y) означает, что ее график представляет собой сплошную поверхность без разрывов.

Точка области или границы этой области, в которой не выполняется условие непрерывности, называется точкой разрыва функции. Точки разрыва функции двух переменных могут образовывать целые линии.

Пример 2. Найти предел lim(x cos (xy2 )).

x 1 y 0

Решение. Функция f (x,y) x cos (xy2) элементарная, следовательно, она непрерывна в любой внутренней точке области определения, в частности,

7

§3. Частные производные

Функцию u f (x1, x2,..., xn ) можно дифференцировать по каждой из ее переменных, считая при этом все остальные переменные постоянными и используя все правила дифференцирования функции одной переменной.

приращением) функции z f (x,y), соответствующим приращениям x иy ее аргументов.

Частным приращением функции z по переменной x называется приращение этой функции, соответствующее приращению x аргумента x:

x z f (x x, y) f (x, y).

производной для функции одной переменной, имеем: частной производной

первого порядка.

Геометрический смысл частных производных. Графиком функции z f (x,y) является некоторая поверхность в пространстве. При пересечении этой поверхности с плоскостью y y0 получим линию, уравнение которой z f (x,y0). Согласно геометрическому смыслу производной для функции

8

одной переменной имеем, что fx(x0,y0) tg , где

– угол между осью Ox и касательной,

проведенной к кривой z f (x,y0) в точке M0 (x0 ; y0 ; f (x0,y0 )) (рис. 5). Аналогично, fy(x0,y0) tg .

переменных и тоже могут иметь частные производные.

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

Обозначения:

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и более высокого порядка.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Так, частные производные zxy и zyx являются смешанными частными

производными второго порядка.

Если смешанные производные одного порядка, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, непрерывны, то они равны между собой. В частности, они совпадают для элементарных функций.

Пример 1. Найти частные производные первого и второго порядков для функции f (x,y) exy .

Решение. 1) Находим частные производные первого порядка:

9