7067
.pdfЗадание № 2
Показать, что функция u удовлетворяет заданному уравнению в частных производных.
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u |
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2 |
y |
2 |
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x |
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2 |
u |
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y |
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2 |
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2 |
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x y |
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x2 |
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x |
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x y |
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2.25 |
u e x 3y sin(x 3y); |
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2 |
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9 |
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2 |
u |
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x2 |
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y2 |
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2.26 |
u 2x2 |
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y3 ; |
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u |
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2u |
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x y |
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x |
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2.27 |
u ysin(x2 y2); |
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1 |
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ux |
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1 |
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uy |
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1 |
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u |
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y2 |
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y |
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2.28 |
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u |
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xux |
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x y |
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2.29 |
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1 |
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2u |
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2u |
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u cos x |
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4 |
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0 |
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2 |
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x2 |
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y2 |
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2.30 |
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2 |
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1 |
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u |
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1 |
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2 |
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u x cos |
; |
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0 |
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|
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x2 |
|
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|
x2 |
|
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|
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|
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|
|
2 |
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|
|
x x |
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
y2 |
|
|
32
Задание № 3
Найти дифференциалы от следующих функций.
3.01 |
u xmyn |
3.16 |
u cos(xy2) |
|||||||||||||||||||||||||
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3.02 |
u |
x |
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3.17 |
z exy2 |
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|||||||||||
y |
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3.18 |
z tg(xy2) |
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3.03 |
z |
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x2 y2 |
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3.19 |
z ln(x2 y2) |
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3.04 |
z 3 |
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x2 y2 |
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3.05 |
z exy |
3.20 |
z sin y cos x |
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3.06 |
z e x y |
3.21 |
z cos(x y)2 |
|||||||||||||||||||||||||
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||||||
3.07 |
z arcsin |
x |
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3.22 |
z xsin(x y) |
|||||||||||||||||||||||
y |
|
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3.08 |
z x cos(xy) |
3.23 |
z tg |
x |
2 |
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y |
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||||||||||
3.09 |
z |
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x |
3.24 |
z xsin( y x) |
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y2 |
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3.10 |
z xy |
|
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x |
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3.25 |
z ycos (xy) |
|||||||||||||||||||||
|
|
y |
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||||||||||||||
3.11 |
u |
cos x |
|
|
3.26 |
z cos x sin(xy) |
||||||||||||||||||||||
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y |
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|
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|
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|||||||||||||
3.12 |
z yx |
3.27 |
z ln |
|
x |
|
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|
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y |
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3.13 |
z |
|
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|
y |
3.28 z ( ycos x)2 |
||||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||
3.14 |
z cos |
x |
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3.29 |
z |
x2 |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
x y |
|
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3.15 |
u sin x cos y |
3.30 |
z ln |
x |
3 |
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||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
(x y)2 |
33
Задание № 4
|
Найти частную производную |
u |
и полную производную |
du |
. |
|||||||||||||||||||
|
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|
|
|
t |
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
dt |
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4.01 |
u |
t2 x2 y2 |
, |
|
x sin t, |
y 2cos t |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||
4.02 |
u et2 x2 y2 |
, |
|
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x ln t, |
y sin t |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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4.03 |
u e x2 y2 |
et , |
|
x tg t, |
y 3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
t |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||
4.04 |
u ln(t2 x2 |
y2), |
|
|
x et, |
y arctgt |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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4.05 |
u xt t y, |
|
x |
|
|
|
, y arcsin t |
|||||||||||||||||
|
|
|
t |
|||||||||||||||||||||
|
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4.06 |
|
u sin( t xy), |
|
x et, |
|
|
|
y ln t |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|||||||||||
4.07 |
u cos ( t x ty), |
|
x arcsin t, |
|
y et |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|||||||||||
4.08 |
u ln(xt y2t), |
|
x tg t, |
y ctg t |
||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
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||||||||||
4.09 |
u (x2 y2)t, |
|
|
x |
|
|
, |
y et |
||||||||||||||||
|
|
|
t |
|||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|||||||||||
4.10 |
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u txy, |
|
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x cost, |
|
y |
|
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||||||||||||||
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|
|
|
t |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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4.11 |
u arctg (t xy), |
|
|
x tg t, |
y et |
|||||||||||||||||||
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||||||||||||||
4.12 |
u |
|
|
, |
|
|
x sin t, |
|
|
y arcsin t |
||||||||||||||
|
t x t y |
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4.13 |
u (x2 |
y2 t2) |
1 |
|
|
|
x 2cos t, |
y 3sin t |
||||||||||||||||
|
2 , |
|
||||||||||||||||||||||
4.14 |
u e tx sin(ty), |
|
|
x 3 |
|
|
, |
y et |
||||||||||||||||
|
|
t |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4.15 |
u cos (tx) sin(ty), |
|
|
x arctg t, |
|
y ln t |
||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
34
4.16 |
u xtcos(ty), |
|
x t2 |
1, |
y arcsin t |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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4.17 |
u sin (tx 2ty), |
|
x arcsin t, |
y et |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
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u tx(x ty) 2, |
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1 t2 |
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y |
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1 t2 |
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4.19 |
t |
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y |
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y cost |
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x sin t, |
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t |
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x |
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4.20 |
u sin2(t2 |
x2 |
y2), |
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x ln t, |
y tg t |
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4.21 |
x y |
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y cost |
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u sin |
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, |
x arcsin t, |
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t |
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u xt yt, |
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x sin2 t, |
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y ctg t |
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4.23 |
u tx ty, |
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x |
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y arctg t |
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t |
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u (x xy y)t , |
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x |
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1 |
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, |
y |
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1 |
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sin t |
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cost |
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4.25 |
u ex2 y2 txy, |
x t2 1, |
y ln t |
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4.26 |
u y tx, |
x |
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, |
y et |
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t |
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u (tx)y, |
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x ln t, |
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y t2 |
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4.28 |
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1 |
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x arctg t, |
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y |
t2 1 |
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u (x y)t , |
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4.29 |
u e (x t)2 (y t)2 |
, |
x ln t, |
y tg t |
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4.30 |
u sin (x 2t) cos(y 3t), |
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x arcsin t, |
y |
1 |
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t2 |
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35
Задание № 5
Найти производную d y |
функций, |
Найти частные производные z |
и z |
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d x |
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x |
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y |
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определяемых следующими уравнениями. |
функций, определяемых следующими |
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уравнениями. |
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e |
y |
x |
2 |
y |
y |
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0 |
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5.16 |
e |
z x |
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cos |
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y |
0 |
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x |
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z |
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arctg |
y |
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x2 y2 |
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z2x ez |
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5.02 |
ln |
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x2 y2 |
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x |
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5.03 |
x |
2 |
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y |
2 |
ln |
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x |
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e |
xy |
0 |
5.18 |
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x2 y2z ex z |
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y |
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(x2 y2)2 3x2 y xy3 0 |
5.19 |
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x |
ln |
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z |
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1 |
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z |
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y |
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5.05 |
ex y sin (xy) x2 y2 |
5.20 |
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zex y |
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2 xyz |
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5.06 |
y xcos y |
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x |
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5.21 |
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z3 xy ex |
z 0 |
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|
y |
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5.07 |
x2y2 sin |
x |
0 |
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5.22 |
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x2 y3 |
ln |
x |
xyz2 |
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z |
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5.08 |
cos |
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x |
x |
2 |
y |
2 |
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0 |
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5.23 |
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y |
2 |
z |
2 |
cos |
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x |
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x |
2 |
y |
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|
y |
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z |
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5.09 |
x |
2 |
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ln |
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x |
|
x |
3 |
y 0 |
5.24 |
|
z |
2 |
x |
2 |
arcsin |
x |
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y |
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y |
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xy yx |
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ez |
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cos(xyz) x2 y2 |
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cos(x2y) ex |
y |
0 |
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zez xex yey |
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2 |
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0 |
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5.27 |
(x |
2 |
y |
2 |
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z |
2 |
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)e |
z |
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z |
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y |
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y |
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5.13 |
ln |
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x |
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e |
x |
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y |
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x |
3 |
y 0 |
5.28 |
(1 x2)2 y2z2 eyz |
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y |
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arctg |
y |
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cos |
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sin |
y |
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5.14 |
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x2 y2 |
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5.29 |
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36
Задание № 6
Вычислить производную функции u в точке M по направлению вектора l.
6.01 |
u (x2 y2 z2)3 2, |
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l |
i j k , |
M 1;1;1 |
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8i 4j 8k , |
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Вычислить производную функции u в точке M в направлении наискорейшего роста функции.
6.17 |
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M 1;1;1 |
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6.30 |
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M 3;4;1 |
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38
Задание № 7
Найти градиент функции u в точке M.
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yz2 |
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39
Задание № 8
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности F (x, y,z) 0 в точке M (x0 ; y0 ; z0).
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5(y 1) 7x2 |
0, |
M 5; y0 ;7 |
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M 7;5; z0 |
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49x2 25y2 z2 |
3675, |
M 5; 7;35 |
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z x2 7y2 , |
M 7;1; z0 |
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49x2 y2 z2 |
147, |
M 1; 7;7 |
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z2 9x 9 0, |
M x0 ;9;9 |
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(y 1) 9x2 |
0, |
M 1; y0 ;9 |
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8.08 |
25x2 9y2 |
z2 |
675, |
M 3; 5;15 |
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8.09 |
z x2 |
9y2 , |
M 9; 1; z0 |
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8.10 |
3z2 9x 9 0, |
M x0 ;9;9 |
|||
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8.11 |
81x2 y2 z2 243, |
M 1; 9; 9 |
|||
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8.12 |
z2 7x 7 0, |
M x0 ;7;7 |
|||
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8.13 |
y 1 7x2 0, |
M 1; y0 ;7 |
|||
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8.14 |
3z2 5x 5 0, |
M x0 ;5;5 |
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8.15 |
5x2 3y 3 0, |
M 3; y0 ;5 |
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