6834

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Л.М. Дыскин, М.С. Морозов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным занятиям

(включая рекомендации по организации самостоятельной работы) по дисциплине «Инженерный эксперимент» для обучающихся по направлению подготовки

13.03.01 Теплоэнергетика и теплотехника, профиль Промышленная теплоэнергетика

Нижний Новгород

2016

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Л.М. Дыскин, М.С. Морозов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным занятиям

(включая рекомендации по организации самостоятельной работы) по дисциплине «Инженерный эксперимент» для обучающихся по направлению подготовки

13.03.01 Теплоэнергетика и теплотехника, профиль Промышленная теплоэнергетика

Нижний Новгород

2016

УДК 65.012.1

Дыскин Л.М. Моделирование инженерного эксперимента [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / Л.М. Дыскин, М.С. Морозов; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 50 с. – 1 электрон. опт. диск (CD-RW)

Ключевые слова: инженерный эксперимент, теория подобия, тепловые устройства, теплообмен, уравнения подобия, числа подобия.

Изложены общие основы теории подобия. Рассмотрено подобие процессов конвективного теплообмена. Содержатся сведения об обобщении опытных данных на основе теории подобия. Приведены данные о моделировании тепловых устройств, включая постановку задачи, условия и примеры моделирования.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к лекционным занятиям (включая рекомендации по организации самостоятельной работы) по дисциплине «Инженерный эксперимент» по направлению подготовки 13.03.01 Теплоэнергетика и теплотехника, профиль Промышленная теплоэнергетика.

© Л.М. Дыскин, М.С. Морозов, 2016 © ННГАСУ, 2016

3

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

Теория подобия – это учение о подобии явлений. Впервые с понятием по-

добия мы встречаемся в геометрии, откуда этот термин и заимствован. Как из-

вестно, геометрически подобные фигуры, например, треугольники на рис. 1,

обладают тем свойством, что их соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны [1]:

ные размеры другой фигуры, подобной первой; cl – коэффициент подобия про-

порциональности или постоянная геометрического подобия.

Условие (1) является математической формулировкой геометрического подобия. Оно справедливо для любых сходственных отрезков подобных фигур,

например, высот, медиан и др. Если к тому же подобные фигуры ориентирова-

ны одинаково, то вследствие равенства соответственных углов их сходственные стороны параллельны. Зная условия подобия, можно решить целый ряд практи-

ческих задач. На основании свойств подобия треугольников, например, можно определить высоту дерева или ширину реки, не производя самих измерений высоты и ширины.

Рис. 1. Геометрически подобные треугольники

Понятие подобия может быть распространено на любые физические яв-

ления. Можно говорить, например, о подобии картины движения двух потоков жидкости – кинематическом подобии; о подобии сил, вызывающих подобные между собой движения – динамическом подобии; о подобии картины рас-

4

пределения температур и тепловых потоков – тепловом подобии и т.д.

В общем случае понятие подобия физических явлений сводится к сле-

дующим положениям:

а) Понятие подобия в отношении физических явлений применимо только к явлениям одного и того же рода, которые качественно одинаковы и аналитически описываются уравнениями, одинаковыми как по форме, так и по содержанию.

Если же математическое описание двух каких-либо явлений одинаково по форме, но различно по физическому содержанию, то такие явления называются

аналогичными. Такая аналогия существует, например, между процессами теп-

лопроводности, электропроводности и диффузии.

б) Обязательной предпосылкой подобия физических явлений должно быть

геометрическое подобие. Последнее означает, что подобные явления всегда протекают в геометрически подобных системах.

в) При анализе подобных явлений сопоставлять между собой можно толь-

ко однородные величины и лишь в сходственных точках пространства и в сход-

ственные моменты времени.

Однородными называются такие величины, которые имеют один и тот же физический смысл и одинаковую размерность. Сходственными точками гео-

метрически подобных систем называются такие точки, координаты которых удовлетворяют условию (1):

имеют общее начало отсчета и связаны преобразованием подобия, τ''=сτ τ'.

г) Наконец, подобие двух физических явлений означает подобие всех ве-

личин, характеризующих рассматриваемые явления. Это значит, что в сходст-

венных точках пространства и в сходственные моменты времени любая вели-

чина φ'первого явления пропорциональна однородной с ней величине φ'' второ-

5

Коэффициент пропорциональности cφ называется константой (постоян-

ной) подобия; ни от координат, ни от времени cφ не зависит. При этом каждая физическая величина φ имеет свою постоянную подобия cφ, численно отличную от других. Чтобы знать, к какой величине относится постоянная подобия, при каждой из них ставится соответствующий индекс.

Таким образом, сущность подобия двух явлений означает подобие полей одноименных физических величин, определяющих эти явления. Так, в процессе конвективного теплообмена температура, скорость, давление, а также часто и физические параметры среды (коэффициенты вязкости, теплопроводность,

плотность и др.) в различных точках могут иметь различные значения. Подобие двух таких процессов означает подобие всех этих величин во всем объеме рас-

сматриваемых систем, т.е. подобие полей этих величин. Для каждой из этих ве-

личин: скорости ω, температурного напора t и т.д. существует своя постоян-

ная подобия сω, c t и т.д. Полный перечень всех величин, характеризующих рас-

сматриваемые явления, может быть установлен только при наличии математи-

ческого описания явлений.

Постоянные подобия для различных величин в подобных явлениях нельзя назначать или выбирать произвольно. Между ними всегда имеются строго оп-

ределенные соотношения, которые выводятся из анализа математического опи-

сания процессов. Эти соотношения имеют центральное значение в теории по-

добия, так как они устанавливают существование особых величин, называемых

числами подобия (инвариантами), которые для всех подобных между собой яв-

лений сохраняют одно и то же числовое значение. Числа подобия являются безразмерными комплексами, составленными из величин, характеризующих явление. Нулевая размерность является их характерным свойством. Числа по-

добия принято называть именами ученых, работающих в соответствующей об-

ласти наук, и обозначать двумя начальными буквами их фамилий, например: Re (Reynolds), Eu (Euler), Nu (Nusselt) или просто буквами: K, N и др.

6

Числа подобия можно получить для любого физического процесса. Для этого необходимо иметь его математическое описание. Последнее является не-

обходимой предпосылкой теории подобия.

Без этого все учение о подобии свелось бы лишь к простому определению подобия. Основные положения теории подобия можно сформулировать в виде трех теорем. Первая теорема подобия устанавливает связь между постоянными подобия и позволяет выявить числа подобия. В общей форме эта теорема фор-

мулируется так: подобные между собой процессы имеют одинаковые числа по-

добия. На основании второй теоремы подобия зависимость между переменны-

ми, характеризующими какой-либо процесс, может быть представлена в виде зависимости между числами подобия K1, K2, …, Kn:

подобных между собой процессов числа подобия сохраняют одно и то же зна-

чение, то уравнения подобия для них также одинаковы. Следовательно, пред-

ставляя результаты какого-либо опыта в числах подобия, мы получим обоб-

щенную зависимость, которая справедлива для всех подобных между собой процессов. До сих пор рассматривались свойства подобных между собой явле-

ний, когда подобие уже существует. Однако возможна и обратная постановка вопроса: какие условия необходимы и достаточны, чтобы процессы были по-

добны. На такой вопрос дает ответ третья теорема подобия, которая формули-

руется так: подобны те процессы, условия однозначности которых подобны, и

числа подобия, составленные из величин, входящих в условия однозначности,

должны иметь одинаковое численное значение.

На основании этой теоремы оказывается необходимым особо выделить числа подобия, составленные только из величин, входящих в условия одно-

значности. Они называются определяющими или критериями подобия. Инва-

риантность (одинаковость) определяющих чисел подобия является условием,

которое должно быть выполнено для получения подобия. Одинаковость же чи-

сел подобия, содержащих и другие величины, не входящие в условия однознач-

7

ности, получается сама собой как следствие установившегося подобия; эти чис-

ла подобия называются определяемыми.

Итак, теория подобия позволяет, не интегрируя дифференциальных урав-

нений, получить из них числа подобия и, используя опытные данные, устано-

вить уравнения подобия, которые справедливы, для всех подобных между со-

бой процессов. Такие обобщенные зависимости, однако, ограничены условиями подобия, и из них нельзя делать заключения, выходящие за пределы этих огра-

ничений. Всегда нужно помнить, что общего решения теория подобия не дает:

она позволяет лишь обобщить опытные данные в области, ограниченной усло-

виями подобия. Поэтому результаты отдельного опыта закономерно распро-

странять только на подобные между собой явления и процессы.

Поясним общие положения теории подобия на частном примере из гид-

ромеханики. Для этого рассмотрим один из простых случаев стационарного изотермического вынужденного движения жидкости или газа внутри плоского канала. Схема такого движения показана на рис. 2 [1]. На входе в канал ско-

рость движения постоянна. По мере продвижения среды вдоль канала, вследст-

вие сил вязкого трения частицы жидкости вблизи поверхностей замедляются. В

потоке возникает переменное поле скоростей. Приведем анализ подобия таких течений. Для этого рассмотрим два геометрических подобных канала с разме-

рами соответственно l', h'и l'', h''.

Рис. 2. К анализу подобия вынужденного изотермического движения жидкости в плоских каналах

8

Геометрическое подобие систем характеризуется постоянной геометриче-

ского подобия:

Сходственные точки в этих системах определяются координатами x', y' и x'', y'', которые связаны между собой с помощью постоянной геометрического подобия:

Для стационарных течений система дифференциальных уравнений может быть записана в следующем виде:

Уравнение (7) получено из общего уравнения движения Навье-Стокса.

При этом отметим следующее. В полном уравнении Навье-Стокса стоит вели-

чина gxρ – сила тяжести единичного объема среды. Однако сила тяжести может влиять на картину и характер течения среды только в двух случаях.

Во-первых, при наличии пространственной неравномерности распределе-

ния плотности среды. Тогда в системе возникают токи свободной конвекции.

Во-вторых (если плотность постоянна), сила тяжести может влиять на картину течения жидкости при наличии в системе свободных поверхностей,

т.е. по существу в двухфазных системах.

Оба эти случая будут рассмотрены ниже.

В вынужденном потоке постоянной плотности без свободных поверхно-

стей масса каждого элемента среды уравновешивается гидростатическим при-

ростом давления рст, т.е. переменной в пространстве частью давления, которая существовала бы в системе в состоянии покоя жидкости:

Поэтому во всех таких случаях сила тяжести полностью выпадает из уравнения движения, если под давлением р понимать разность между полным давлением Р и гидростатическим приростом давления рст, т.е. р = Р – рст. Имен-

но эта величина и содержится в уравнении (7).

Система уравнений (7) и (8) позволяет установить список существенных для процессов величин. Поскольку давление р входит в уравнение только под знакома производной, то это обозначает, что для процесса имеет значение только перепад давлений, а не абсолютное его значение. В качестве перепада для рассматриваемых потоков удобно ввести разность между давлениями на входе р0 и его текущим значением р:

Такой прием оказывается удобным также для многих других гидромеха-

нических задач. Список существенных величин включает скорость ωx и ωy, пе-

репад давления p, плотность ρ и коэффициент вязкости среды μ.

Подобие двух течений означает, согласно общему определению, пропор-

во всех сходственных точках каналов. Постоянные подобия cω, c p и т.д. есть постоянные числа. Между ними существуют определенные соотношения, кото-

рые устанавливаются из анализа уравнений процесса.

Запишем уравнение (7) и (8) для каждого из двух процессов: