6834

20

Число Gr характеризует относительную эффективность подъемной силы,

вызывающей свободно-конвективное движение среды; оно имеет вид:

где g – ускорение свободного падения; β – температурный коэффициент объ-

емного расширения среды; t – характерный температурный напор; l – харак-

терный линейный размер системы; ν – кинематический коэффициент вязкости.

Число Рr является теплофизической характеристикой теплоносителя:

Условия (52) и (53) обеспечивают подобие процессов свободной конвек-

ции, т.е. подобие полей температурных напоров, тепловых потоков и скоростей в геометрически подобных системах. При выполнении этих условий опреде-

ляемое число подобия – число Нуссельта Nu – также оказывается одним и тем же в таких системах:

Уравнение подобия для процессов теплообмена при свободной конвекции имеет вид:

Вывод чисел подобия можно получить из анализа математического опи-

сания процессов свободной конвекции. В таких процессах гидродинамическая

и тепловая стороны явления оказываются взаимосвязанными.

Система дифференциальных уравнений для процессов свободной конвек-

x y

Коэффициент теплоотдачи определяется:

В эти уравнения температура t входит лишь в виде производных или раз-

ностей, а давление р – в виде производной. Это означает, что для процесса су-

щественны лишь температурные напоры и перепады давлений p, подобие полей которых и следует рассматривать при формулировке подобия процессов.

Согласно общему определению подобия для двух подобных процессов постоянные подобия:

и аналогично для физических параметров

есть постоянные числа.

Далее, поступая совершенно так же, как и в предыдущих случаях (т.е. за-

писывая систему уравнений (58-60) для этих двух процессов и заменяя в одной из них все величины, выраженные через постоянные подобия, на соответст-

вующие величины для второй системы), в итоге получаем условия связи между постоянными подобия.

Уравнение теплопроводности (58) приводит к уже известному условию теплового подобия:

22

В уравнение движения (59) (по сравнению с уравнением (7), рассмотрен-

ным ранее) дополнительно входит подъемная сила. Поэтому ранее полученное условие динамического подобия (18) теперь включает еще одну величину:

Уравнение неразрывности (60) не дает, как и раньше, ограничений для выбора постоянных подобия. Из уравнения (61), так же, как и в случае вынуж-

денного движения, имеем:

Теперь преобразуем полученные соотношения. Из условия (65) следует:

cλ

Проекция уравнения движения на ось y для простоты здесь не выписана.

Это не приводит к ограничению общности выводов при анализе условий подо-

бия. В уравнении движения р есть та часть полного давления Р, которая не свя-

зана с гидростатическим приростом давлений рст в состоянии покоя, когда во всей системе температура tж постоянная и плотность равна ρж. Итак, р = Р – рст,

где рст gxρж .

x

Условие динамического подобия (66) после попарного рассмотрения ра-

венств дает три соотношения:

перепишутся в виде:

24

тановившегося подобия, если обеспечена одинаковость (инвариантность) опре-

деляющих чисел подобия (критериев подобия): Gr и Рr.

Интенсивность теплоотдачи определяется числом Нуссельта Nu, поэтому уравнение подобия для теплоотдачи при свободной конвекции имеет вид:

Nu = f (Gr, Рr). (78)

Два остальных определяемых числа подобия из уравнений (75) и (76) ха-

рактеризуют гидромеханические величины – скорости и перепады давлений,

возникающие в процессах свободной конвекции. Оба эти числа подобия также являются функциями Gr и Рr. Поэтому для каждого из них могут быть записаны свои уравнения подобия такого же вида, как уравнение подобия для теплооб-

мена (57). Эти уравнения следует применять для обобщения опытных данных по гидромеханическим характеристикам процессов свободной конвекции, если эта сторона процесса представляет также интерес для практики. Однако обычно эти сведения необходимы при решении лишь некоторых специальных задач.

2.3 Условия подобия процессов конвективного теплообмена при

совместном свободно-вынужденном движении теплоносителя

Анализ условий подобия раздельно для случаев вынужденного движения и свободной конвекции был проведен выше. На практике, однако, встречаются также случаи, когда одновременно с вынужденным движением в системе под действием подъемных сил развиваются токи свободной конвекции, т.е. имеет место свободно-вынужденное течение теплоносителя. В таком более сложном случае для выполнения условий подобия процессов необходима инвариант-

ность (одинаковость) уже не двух, а трех определяющих чисел подобия: Рей-

нольдса Re, Грасгофа Gr и Прандтля Рr. Соответствующее уравнение подобия для теплоотдачи при совместном свободно-вынужденном движении принимает вид:

Это уравнение подобия представляет собой общее соотношение, из кото-

рого соотношения (33) и (57) вытекают как частные случаи. Когда влияние

25

подъемных сил, характеризуемых числом Gr, перестает быть существенным, в

уравнении подобия (79) это число может быть опущено, и оно переходит в уравнение (33). Напротив, когда вынужденное движение прекращается, число

Re перестает быть определяющим и из уравнения (79) получаем уравнение (57).

При совместном свободно-вынужденном движении гидромеханические и тепловые процессы взаимосвязаны, поэтому определяемое число подобия Эй-

то есть оно является функцией тех же определяющих чисел подобия.

Приведенные выше условия подобия относятся к стационарным процес-

сам конвективного теплообмена. Для нестационарных процессов, т.е. процес-

сов, изменяющихся во времени, необходимо добавить еще одно условие, опре-

где а – коэффициент температуропроводности жидкости; τ – время; l – харак-

терный геометрический размер.

Число подобия Fо называют числом Фурье.

2.4 Числа подобия и уравнения подобия

Подведем итоги анализа. Приложение к процессам конвективного тепло-

обмена общих принципов учения о подобии физических явлений позволяет ус-

тановить условия, определяющие подобие этих процессов, и получить уравне-

ния подобия (33), (57), (80), которые служат основой при обобщении опытных данных и моделировании тепловых процессов. Иногда при обобщении экспе-

риментальных данных по теплообмену в качестве чисел подобия применяются некоторые сочетания, образованные из чисел, входящих в основное уравнение

(79).

Такие преобразованные числа подобия имеют свои названия, приведем ос-

новные из них.

где ω – характерная для процесса скорость течения теплоносителя; l – харак-

терный геометрический размер системы; а – коэффициент температуропровод-

ности теплоносителя.

Числом Стантона St называется частное от деления числа Nu на число Ре:

где α – коэффициент теплоотдачи; cp – удельная теплоемкость при постоянном давлении теплоносителя; ρ – плотность теплоносителя; ω – характерная скорость.

Произведение числа Gr на число Рr иногда называют числом Релея Ra:

νa

где g – ускорение свободного падения; β – температурный коэффициент объем-

ного расширения теплоносителя; t – характерный температурный напор; l –

характерный линейный размер; ν – кинематический коэффициент вязкости теп-

лоносителя; а – коэффициент температуропроводности теплоносителя.

При использовании этих чисел подобия уравнения подобия принимают внешне иной вид, хотя по существу это лишь иная форма записи той же самой связи между величинами.

Поясним это на следующем примере. Пусть для определенного процесса теплоотдачи при вынужденном движении теплоносителя в итоге обобщения опытных данных получена зависимость:

Nu = cRenPrm, (85)

где c – постоянный коэффициент; n и m – постоянные показатели степени.

Если разделить обе части этого уравнения на величину RePr, то его мож-

но записать также в виде:

27

Наконец, вместо числа Re в уравнение можно ввести величину Re Ре.

Ясно, что эти три соотношения представляют собой просто три разные формы записи одной и той же зависимости. Этот пример показывает, что раз-

в действительности представляют лишь разную форму записи одной и той же функциональной зависимости.

Для нестационарных процессов иногда вместо числа Фурье применяется

l

где τ – время.

Условия подобия процессов конвективного теплообмена получены в предположении, что коэффициент теплопроводности λ, коэффициент вязкости

μ и удельная теплоемкость при постоянном давлении ср среды постоянны во всей области протекания процесса. В действительности эти физические свойст-

ва зависят от температуры, причем для разных теплоносителей характер зави-

симостей λ λ(t), μ μ(t), cp cp (t) различен. В процессе теплообмена темпе-

ратура теплоносителя изменяется, следовательно, в общем случае и физические свойства не остаются постоянными. Подобие процессов выполняется тем стро-

же, чем меньше относительное изменение этих свойств, т.е. чем слабее зависи-

мость λ, μ и ср от t, чем меньше сами температурные напоры в системе и ниже тепловые потоки. При значительном изменении свойств строгое подобие раз-

личных процессов, как показывает анализ, в общем случае становится невоз-

можным. В этих условиях имеет место лишь приближенное подобие. Это об-

стоятельство должно учитываться при обобщении опытных данных.

28

3. ОБОБЩЕНИЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

При постановке любого эксперимента всегда необходимо заранее знать

[1]: какие величины надо измерять в опыте; как обрабатывать результаты опы-

та; какие явления подобны изучаемому. На эти вопросы ответ содержится в из-

ложенных выше трех теоремах подобия.

На первый вопрос отвечает первая теорема: в опытах нужно измерять все величины, содержащиеся в числах подобия изучаемого процесса.

На второй вопрос отвечает вторая теорема: результаты опыта следует обрабатывать в числах подобия и зависимость между ними представлять в виде уравнений подобия; это позволяет найти общую закономерность, справедливую для всех процессов, подобных изучаемому.

На третий вопрос ответ дает третья теорема; подобны те явления, у ко-

торых подобны условия однозначности и равны определяющие числа подобия

(критерии подобия).

Благодаря этим ответам теория подобия по существу является теорией эксперимента. При проведении эксперимента этапу обработки опытных данных и обобщению их на основе теории подобия должно быть уделено большое вни-

мание. Например, располагая данными измерений коэффициента теплоотдачи

α при вынужденном движении воздуха, по опытным данным можно получить графическую зависимость изменения коэффициента теплоотдачи при измене-

нии скорости движения воздуха ω:

гдеc1 и n – некоторые постоянные числа.

При этом надо всегда помнить, что в результате такой обработки данных можно получить лишь частные формулы, которые справедливы только для ус-

29

ловий, имевших место при проведении опыта. Для других условий (объектов,

рабочих сред, температур и пр.) такие частные формулы совсем неприменимы.

При изучении любого конкретного процесса обычно всегда ставится за-

дача получить при этом данные и для расчета других процессов, подобных изу-

чаемому. Для того чтобы результат отдельных опытов можно было распростра-

нить на все подобные ему процессы, обработка результатов опытов должна производиться в числах подобия.

При обработке результатов опытов в приведенном выше примере в каче-

стве рабочей среды был использован воздух, для которого число Рr имеет по-

стоянное значение: Рr = 0,7. Поэтому уравнение подобия (33) в этом случае принимает вид:

где с – постоянный числовой коэффициент.

Зависимость (93) имеет общий характер, она справедлива для всех про-

цессов, подобных данному. Обобщенная формула (93) позволяет установить,

какое влияние на коэффициент теплоотдачи α оказывают такие величины, как геометрический размер системы l, кинематический коэффициент вязкости ν среды и т.д., которые в опытах не изменялись. Тем самым отпадает необходи-

мость в проведении дополнительных измерений.

Покажем теперь, как такие функции определяются практически. Пусть имеется степенная зависимость вида (93). Логарифмируя это уравнение и обо-

Последнее соотношение является уравнением прямой, при этом А = у при

х = 0, а n = tgφ, где φ – угол наклона прямой к оси абсцисс (рис. 3). По графику определяется значение n как отношение катетов. Определив значение n, опре-