6200

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

А. Я Лахов

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие

по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» для обучающихся по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии,

направленность (профиль) Информационные системы и технологии

Нижний Новгород

2022

0

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

А. Я Лахов

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие

по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» для обучающихся по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии,

направленность (профиль) Информационные системы и технологии

Нижний Новгород ННГАСУ

2022

1

УДК 681.3 (075)

Лахов, А. Я А. Вычислительная математика : учебно-методическое пособие / А. Я. Лахов, Нижегородский государственный архитектурно-

строительный университет. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2022. – 33 с. : ил. – Текст : электронный.

В методических указаниях представлены задания и пояснения к выполнению лабораторных работ, охватывающих основные разделы численных методов и алгоритмов решения задач в рамках курса «Вычислительнаяматематика».

Предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине «Вычислительная математика» по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии, направленность (профиль) Информационные системы и технологии.

А. Я. Лахов, 2022ННГАСУ. 2022.

2

Введение

Настоящие методические указания ориентированы на работу в сетях персональных ЭВМ под управлением операционной системы Windows с использованием языка программирования Visual Basic и офисных приложений.

Вметодических указаниях содержатся задания по основным темам курса «Вычислительная математика», а также методические указания к их выполнению.

Задания по каждой лабораторной работе направлены на закрепление теоретического материала и приобретения навыков использования методов вычислительной математики для практических целей. Поэтому они содержат перечень практических заданий и теоретических вопросов.

Взависимости от выбранного уровня исполнения студент может все вычисления проводить на основе готовых алгоритмов и программ (см. [1]), а также использовать собственные программные разработки на основе консольных приложений среды Visual Basic (см. [2]). Параллельность изучения курсов «Информатика», «Технологии обработки информации» и «Вычислительная математика» позволяет студенту дополнить исследование математических моделей на основе офисного приложения MS EXCEL.

Используемый теоретический материал изложен в книге [1]. При этом в заданиях даются постраничные ссылки на соответствующие разделы книги, что облегчает работу студента и приучает его к самостоятельной работе с учебником и научной литературой.

3

Требования к выполнению работ

При подготовке к лабораторной работе студенту необходимо изучить соответствующие разделы лекционного курса. В ходе выполнения каждой лабораторной работы студент должен подготовить письменный отчет, включающий:

номер, тему и цель лабораторной работы;

перечень заданий работы;

входные и выходные данные для каждого задания;

блок-схему программы;

текст программы;

таблицу и графики с результатами вычислений;

общие выводы по результатам лабораторной работы.

4

Лабораторная работа №1

Тема: Решение нелинейных уравнений

Задание: Найти корень нелинейного уравнения f(x) = 0 на отрезке [а, b]

(с заданной точностью ) двумя методами:

1.Методом половинного деления (бисекций) (см. [1] стр. 37-40);

2.Методом итераций (см. [1] стр. 40-46).

Значения для конкретных вариантов представлены в таблице 1 заданий к расчѐтным работам.

Порядок выполнения работы

1. Отделить корни заданного уравнения графически (вручную или в

Excel).График представить в отчѐте. Рекомендуется в качестве отрезка,

содержащего отделенный корень, выбрать интервал монотонного изменения функции f(x).

2.Уточнить корень на отделѐнном отрезке методом половинного деления при = 0.01; 0.001; 0.0001:

a)Выполнить расчѐты вручную;

b)Решить задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу

2, стр. 39);

c)Результаты занести в отчетную таблицу 1.

3.Уточнить корень на выделенном отрезке методом итераций при = 0.01; 0.001; 0.0001:

a)Преобразовать уравнение к нормальному виду;

b)Проверить условие сходимости итерационного процесса;

c)Выполнить расчѐты вручную;

d)Решить задачу на ПК с помощью программы(см. [1] программу

3, стр. 46);

5

Результаты занести в отчетную таблицу 1.

Таблица 1

4.Правильность полученных результатов проверить в табличном процессоре Excel, используя надстройку «Подбор параметра».

5.Сделать вывод об эффективности использованных методов решения задачи. В качестве критерия сравнения методов использовать число итераций при заданной точности.

Контрольные вопросы

1.Запишите нелинейное уравнение в общем виде (см. [1] стр.30).

2.Запишите данное нелинейное уравнение в нормальном виде (см. [1]

стр.40).

3. Как перейти от общего вида уравнения к уравнению в нормальном

виде?

4. По какой формуле можно определить число шагов, необходимых для достижения требуемой точности вычислений по методу половинного деления

(см. [1] стр. 38)?

5. Какая итерационная формула используется для метода простых итераций (см. [1] стр. 40)?

6. Сформулируйте достаточные условия сходимости метода простой итерации. (см. [1] стр. 43).

6

Лабораторная работа №2

Тема: Точные методы решения систем линейных уравнений

Задание: Решить систему линейных уравнений

Значения коэффициентов и свободных членов взять в соответствии со своим вариантом из таблицы 2 заданий к расчѐтным работам.

Порядок выполнения работы

1. Решить вручную систему уравнений методами Гаусса и Крамера.

Результаты занести в таблицу 2.

Таблица 2

2. Решить ту же задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу 5

на стр. 76). Результаты поместить в отчетную таблицу 2.

3.Сделать письменное заключение о близости полученных решений.

4.Правильность полученных результатов проверить в табличном процессоре Excel, используя надстройку «Поиск решения».

7

Контрольные вопросы

1.К классу точных или итерационных методов принадлежит метод Гаусса (см. [1] стр. 66)?

2.Сделайте сравнение эффективности метода Гаусса с методом решения системы линейных уравнений по формулам Крамера (см. [1] стр.77-78).

3.Укажите, сколько требуется выполнить операций умножения и деления по каждому из этих методов для Вашей системы уравнений (см. [1] стр. 77-78)?

4.Каковы пределы применимости метода Гаусса? Отчего они зависят (см. [1] стр. 78-79)?

Лабораторная работа № 3

Тема: Итерационные методы решения систем линейных уравнений

Задание: Решить систему уравнений, заданную в расчѐтной работе №2,

двумя методами:

1.Методом простой итерации;

2.Методом Зейделя.

Порядок выполнения работы

1.Проверить для заданной системы уравнений условие сходимости итерационного процесса.

2.Решить вручную систему уравнений методом простой итерации с точностью =0.1(описание метода см. [1] на стр. 79-87). Результаты занести в таблицу 3, где k – число приближений.

Таблица 3 - Результаты метода итерации

3. Решить ту же задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу 6 на стр. 86) при различных значениях . Результаты поместить в отчетную

8

таблицу 3.

4. Решить вручную систему уравнений методом Зейделя с точностью

=0.1(описание метода см. на стр. 87-91). Результаты занести в таблицу 4. Таблица 4 - Результаты метода Зейделя

5. Решить ту же задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу

7 на стр. 88) при различных значениях . Результаты поместить в отчетную

таблицу 4.

6. Заполнить сравнительную таблицу 5 для итерационных методов, куда записать число приближений, понадобившихся для достижения заданной

точности.

Таблица 5 - Числа приближений для достижения заданной точности

7. Сравнить результаты решения заданной системы точным и приближѐнными методами, заполнив отчетную таблицу 6 (для приближѐнных методов взять значения при = 0.0001).

Таблица 6

8. Рассчитать абсолютную погрешность( ) вычисления корней приближѐнными методами по сравнению с точными методами. В отчетную

таблицу 6 занести наибольшее значение среди абсолютных погрешностей

9