6200
.pdfкорней.
9. Сделать вывод о сравнительной эффективности использованных
методов.
Контрольные вопросы
1.Какой вид системы линейных уравнений называют нормальным (см.
[1]стр. 79)?
2.Сформулируйте достаточные условия сходимости итерационных методов решения СЛАУ. Проверьте выполнение всех трѐх достаточных условий сходимости (см. [1] стр. 83).
3.Чем отличается метод простой итерации от метода Зейделя (см. [1] стр.
87)?
Лабораторная работа №4 Тема: Решение системы нелинейных уравнений
Задание: Решить систему нелинейных уравнений методом Ньютона.
f1 (x1 , x2 ) 0
f 2 (x1 , x2 ) 0
Систему взять в соответствии со своим вариантом из таблицы 3 заданий к расчѐтным работам.
Порядок выполнения работы
1.Вычислить графически начальное приближение корней для решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона. График привести в отчѐте.
2.Найти вручную одно (по выбору студента) решение заданной системы нелинейных уравнений методом Ньютона с точностью =0.1 (описание метода -
см. [1] на стр. 113-118, примеры решения задач - см. [1] на стр. 361-362).
3.Найти на ПК все решения системы с точностью =0.1; =0.01; =0.0001.
спомощью программы (см. [1] программу 9 на стр. 116).
Используемые в тексте программы идентификаторы имеют следующий
смысл:
10
F(1), F(2) – левые части уравнений системы, записанной в общем виде,
т.е. функции f1(x1,x2), f2(x1,x2) в системе
f1 (x1 , x2 ) 0
f 2 (x1 , x2 ) 0
С(1,1), С(1,2), с(2,1), С(2,2) – частные производные функций:
С1,1 = |
f1 |
С1,2 = |
f1 |
x |
x |
||
|
1 |
|
2 |
С2,1 = |
f2 |
С2,2 = |
f2 |
x |
x |
||
|
1 |
|
2 |
11
Максимальное число итераций рекомендуется вводить равным 300. 3. Результаты поиска каждого корня, полученные на ПК, записать в
отчетную таблицу 7.
Таблица 7 - Результаты вычислений 1-го(2-го…) корня системы уравнений
Переменные |
Начальн. |
=0,1 |
|
=0,01 |
=0,0001 |
|
f(x1,x2) |
|
приближ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число итераций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Правильность полученных |
результатов |
проверить |
в табличном |
||||
процессоре Excel, используя надстройку «Поиск решения».
Контрольные вопросы
1.Сколько решений могут иметь системы линейных (см. [1] стр. 64-65) и
нелинейных уравнений (см. [1] стр. 101-102) уравнений?
2.Для чего в программу вводится величина М по запросу «Число итераций» (см. [1] стр. 116)?
Лабораторная работа №5
Тема: Одномерная интерполяция
Задание: Пользуясь таблицей экспериментальных точек (x,y), выполнить
x |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
|
|
|
y |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
|
|
|
|
|
интерполирование в заданной промежуточной точке двумя методами:
1.По формуле линейной интерполяции;
2.По формуле Лагранжа.
Значения для своего варианта взять из таблицы 4 заданий к расчѐтным
работам.
Порядок выполнения работы
1.Найти вручную промежуточное значение у при заданном х по формуле линейной интерполяции.
2.Решить ту же задачу на ПК, используя программу Р10 ([1] стр.126).
12
Замечание: результаты в п. 1, 2 должны совпадать.
3.Решить ту же задачу вручную по формуле Лагранжа.
4.Решить ту же задачу на ПК, используя программу Р11 ([1] стр.129).
Замечание: результаты в п. 3, 4 должны практически совпадать.
Результаты вычислений занести вотчетную таблицу8.
Таблица 8 - Результаты интерполяции
Метод |
Ручнойсчѐт |
На ПК |
Линейная интерполяция
Формула Лагранжа
Абсолютная погрешность
5. Результаты линейного и нелинейного интерполирования представить графиком, гдеэкспериментальные точки на участке интерполяции отметить маркером (кружок), а результаты интерполирования отметить маркером (крестик).
y
yi-1
yi
x
xi-1 |
x |
xi |
Контрольные вопросы
1.Что такое интерполяция?
2.Почему при линейной и нелинейной интерполяции были получены разные результаты в заданной точке?
3.Укажите наибольшую степень интерполяционного многочлена в вашем варианте.
13
Лабораторная работа №6 Тема: Двумерная интерполяция
Задание: Пользуясь таблицей значений функции , зависящей от двух переменных S и T (см. таблицу 9), вычислить промежуточные значения функции для заданных S и T.
Четыре задания для каждого варианта заданы в таблице 5 заданий к
расчѐтным работам.
Таблица 9 - Значения функции (S,Т)
Т |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
8,29 |
8,96 |
9,49 |
9,9 |
|
10,32 |
11,11 |
12,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
8,09 |
8,75 |
9,26 |
9,69 |
|
10,07 |
10,84 |
11,81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
7,82 |
8,47 |
8,96 |
9,38 |
|
9,75 |
10,49 |
11,42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
7,5 |
8,14 |
8,62 |
9,02 |
|
9,37 |
10,09 |
10,99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
7,18 |
7,76 |
8,22 |
8,60 |
|
8,94 |
9,62 |
10,48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
6,8 |
7,39 |
7,82 |
8,18 |
|
8,50 |
9,15 |
9,97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
6,8 |
6,9 |
7,31 |
7,64 |
|
7,95 |
8,5 |
9,31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
5,91 |
6,39 |
6,76 |
7,08 |
|
7,36 |
7,92 |
8,62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Порядок выполнения работы
1. Найти вручную промежуточные значения функции для заданных S и
T(см. [1] пример на стр. 141-142).
2.Выполнить расчѐты на ПК (программа 12, [1] стр.142). Результаты привести в отчѐте.
Контрольные вопросы
1.Что называется интерполяцией?
2.Применяется ли формула линейного интерполирования и сколько раз для получения значения функции двух переменных в промежуточной точке?
3.Изменится ли результат вычислений, если изменить порядок вычисления результата?
14
Лабораторная работа №7
Тема: Аппроксимация
Задание: Пользуясь таблицей экспериментальных точек (x,y) выполнить
x |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
|
|
|
y |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
|
|
|
|
|
аппроксимацию методом наименьших квадратов:
1.Линейную;
2.Квадратичную.
Значения для своего варианта взять из таблицы 4 заданий к расчѐтным работам.
Порядок выполнения работы
1. Найти вручную линейную аппроксимирующую функцию и квадратичную аппроксимирующую функцию. Для этого заполнить таблицу 10
и решить соответствующие СЛАУ относительно коэффициентов.
Таблица10
xi |
yi |
xi 2 |
yi xi |
xi 3 |
yi xi 2 |
xi 4 |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
y1 |
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
y3 |
|
|
|
|
|
x4 |
y4 |
|
|
|
|
|
xi |
yi |
xi 2 |
yi xi |
xi 3 |
yi xi 2 |
xi4 |
|
|
na0 |
a1 |
xi |
yi |
|
p |
a a x |
||
|
|
|||||||||
a |
x |
a |
x2 |
y x |
1 |
0 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
||
0 |
i |
|
1 |
i |
|
i |
|
|||
15
|
|
na a x a x2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
1 |
i 2 |
2 |
i 3 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
xi |
a1 |
xi |
a2 |
xi |
|
yi xi |
|
p1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
a |
a |
a |
x 2 |
||||||||||||
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
2 |
0 1 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
x |
a |
x a |
x |
y x |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
i |
1 i |
2 i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Решить ту же задачу на ПК, используя программу Р13 ([1] стр.150).
Результат поместить в отчетные таблицы 11 и 12.
Таблица 11 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
xi |
yi |
Ручной счѐт |
Счѐт на ПК |
Линии тренда |
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р1 |
|
LTR1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р2 |
|
LTR2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LTR3 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 12
|
|
|
yi1 |
|
yi2 |
yi |
1 |
2 |
|
xi |
|
yi |
(линейная) |
|
(квадратичная) |
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
y4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( yi1) |
( yi2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Построить в EXCEL |
для точек (xi,yi) линии |
тренда, выводя |
||||||
соответствующие уравнения полиномов. Результаты поместить в отчетную
таблицу 11.
16
|
Линии тренда |
|
y = а2x2 + а1x + а0 |
8 |
|
7 |
|
6 |
y = а3x3 + а2x2 + а1x + а0 |
5
y = а1x +а0
4
3
2
1
0
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
4. Нанести заданные точки на график и по рассчитанным в программе значениям функций в заданных точках xi (отчетная таблица 11) построить кривые линейной и квадратичной аппроксимации. Отметить отклонения заданных точек от точек на построенных кривых разными цветами.
Контрольные вопросы
1.В чѐм заключается аппроксимация?
2.Чем аппроксимация отличается от интерполяции?
3.Оценивая результаты в отчетной таблице 11, укажите, как изменилась точность аппроксимации в узлах с увеличением порядка аппроксимирующей кривой?
Лабораторная работа №8
Тема: Численное интегрирование функций,
имеющих табличное представление
Задание: Пользуясь таблицей зависимостей y от xвычислить
x |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
y5 |
y6 |
y7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
определѐнный интеграл двумя методами
17
1.По формуле трапеций;
2.По формуле Симпсона.
Значения для своего варианта взять из таблицы 6 заданий к расчѐтным
работам.
Порядок выполнения работы
1.Вычислить интеграл вручную по формуле трапеций ([1] формулы (2),
(3)на стр. 167, а=x1, b=x7).
2.Решить ту же задачу на ПК (программа Р14, [1] стр. 167).
3.Решить вручную ту же задачу, используя формулу Симпсона (формула
(9), [1] стр. 168).
4.Решить ту же задачу на ПК (программа Р15, [1] стр. 169).
5.Результаты вычислений занести в отчетную таблицу 13. Таблица 13 - Результаты численного интегрирования
|
Формулы |
Трапеций |
Симпсона |
Вручную
На ПК
Контрольные вопросы
1.По каким формулам можно было бы вычислить интеграл, если бы было задано восемь точек и x8 = 4,5?
2.По каким формулам можно было бы вычислить интеграл, если бы было задано восемь точек и x8 = 5?
3.Каким должно быть число точек деления на [a, b], чтобы можно было применить формулу Симпсона?
4.Какой алгебраический порядок точности имеют формулы трапеций и Симпсона? (см. [1] стр. 171). Что это означает?
18
Лабораторная работа №9
Тема: Численное интегрирование функций,
имеющих аналитическое представление
b
Задание: Вычислить определѐнный интеграл f ( x )dx для функции f(x)
a
на отрезке [a,b] двумя методами:
1.По формуле трапеций;
2.По формуле Симпсона.
Функцию f(x), значения a, b взять для своего варианта из таблицы 7
заданий к расчѐтным работам.
Порядок выполнения работы
1. Вычислить на ПК приближѐнное значение интеграла с помощью формул трапеций. Для этого использовать алгоритмпрограммы 14 ([1] стр. 167).
Внести изменения в текст программы:
- предусмотреть ввод величин А и В и вычисление шага табулирования
H=(B-A)/(N-1)
после 4-ой строки программы.
-ввод X(I), Y(I) (5-ая и 6-ая строки программы) заменить на вычисление этих величин по формулам
X(I) = A+H*(I-1), Y(I) = f(X(I)),
где f – функция из задания.
Решение выполнить при N=7, N=15 и N=71.
Результаты занести в таблицу 14.
19