6067

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

"Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет"

Н.М.Коннов

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Учебно-методическое пособие

по подготовке к лекциям и практическим занятиям

(включая рекомендации по организации самостоятельной работы)

для обучающихся по дисциплине "Статистическая обработка результатов"

направлению подготовки 08.03.01 Строительство профиль "Производство и применение строительных материалов,

изделий и конструкций"

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

-3-

Введение

Статистический контроль качества в нашей стране стал применяться в начале

40-х годов XX в. на ряде предприятий автомобильной, подшипниковой и электротех-

нической промышленности. В послевоенные годы статистический контроль качества нашел широкое применение в машино- и приборостроении, электронной и радиотех-

нической промышленности С 1975 г. в строительстве внедряются статистические методы контроля проч-

ности бетона. С января 1982 г. введены в действие государственные стандарты ГОСТ 18105.0-80, ГОСТ 18105.1-80, ГОСТ 18105.2-80, а в январе 1987 г. —

ГОСТ 18105-86 Бетоны. Правила контроля прочности. Эти стандарты предусматрива-

ли контроль прочности бетона с применением статистических методов и были на-

правлены на существенное повышение качества и надежности железобетонных кон-

струкций. Поэтому каждый инженерно-технический работник лаборатории завода сборного железобетона был обязан обладать основами теории вероятности и матема-

тической статистики, без знания которых трудно было понять смысл данных стандар-

тов. Однако, вследствие недостаточности знаний в области математической статисти-

ки у персонала лабораторий, эти стандарты в скором времени, были отменены.

Задача настоящего учебного пособия - знакомство студентов специальности

270106 – " Производство строительных материалов, изделий и конструкций" с элемен-

тами теории вероятности и математической статистики, на которых базируется обра-

ботка результатов наблюдений и статистические методы управления качеством про-

дукции.

-4-

1.Элементы теории вероятностей

1.1.Краткая историческая справка

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятно-

стей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс,

Паскаль, Ферма и другие в XVI – XVII вв.).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бер-

нулли (1654 – 1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «За-

кон больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Гауссу, Лапласу, Муавру,

Пуассону и др.

Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П.Л.Чебышева (1821 –1894) и его учеников – А.М.Ляпунова (1857 –1918) и А.А.Маркова (1856 – 1922). В

этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Её по-

следующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам

(С.Н.Бернштейн, Б.В.Гнеденко, А.Н.Колмогоров, В.И.Романовский, Н.В.Смирнов,

А.Я.Хинчин, и др.). В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит российским математикам

1.2.Испытания и события. Характеристика результата эксперимента

как случайного события

Исходом любого наблюдения (опыта) является событие. События можно под-

разделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет при опреде-

ленной совокупности условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20 °С, то событие "вода в сосуде находится в жидком состоянии" есть достоверное.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие "вода в сосуде находит-

-5-

ся в твердом состоянии (лед)" заведомо не произойдет, если будет осуществлена со-

вокупность условий предыдущего примера.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти, либо не произойти. Например, если к образцу-кубу с ребром 10 см приложена фиксированная сжимающая нагрузка P, то образец может разрушиться или не разрушиться. Поэтому событие "разрушение образца" (или собы-

тие "не разрушение образца") случайное. Каждое случайное событие, в частности

"разрушение образца", есть следствие действия очень многих случайных причин (в

нашем примере – сжимающая нагрузка Р, отклонения геометрических размеров,

условия уплотнения бетонной смеси, условия твердения образца и многие другие).

Предсказать единичный исход опыта, проводимого при совокупности условий S, не-

возможно, поскольку неизвестны законы изменения множества действующих случай-

ных причин. Однако, если рассматриваются случайные события, которые могут на-

блюдаться при одних и тех же условиях S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях, то оказывается, что достаточно большое их число будет подчи-

няться определенным закономерностям. Знание закономерностей, которым подчиня-

ются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события могут протекать.

1.3. Понятие о случайной величине

Любое случайное событие может иметь качественную или количественную ха-

рактеристику. В приведенном выше примере факт разрушения (или не разрушения)

бетонного образца куба с ребром 10 см, подвергнутого действию сжимающей на-

грузки P, является качественной характеристикой события. Количественная характе-

ристика события в этом случае - величина действующей сжимающей нагрузки P или предел прочности при сжатии (для разрушившегося образца). Количественная харак-

теристика каждого элементарного события всегда имеет вполне конкретное, опреде-

ленное числовое значение. Если наблюдение повторяется N раз при соблюдении оди-

наковых условий его проведения, то будет получено N числовых значений,

-6-

которые могут отличаться одно от другого в результате действия при осуществлении опыта множества неучтенных причин (факторов), законы изменения которых не-

известны. Таким образом, каждый числовой результат наблюдения (количест-

венная характеристика события, опыта) является случайной величиной, значение ко-

торой зависит от действия случайных неучтенных факторов.

Случайной величиной называется количественная характеристика события

(наблюдения, опыта), принимающая различные числовые значения, заранее неизвест-

ные и зависящие от случайных причин, которые не могут быть учтены, т.к. законы их изменения неизвестны.

Таким образом:

-случайная величина обладает целым набором допустимых значений, но в результате каждого отдельного наблюдения принимает лишь какое-то одно из них;

-в отличие от неслучайных величин, меняющих свое значение лишь при из-

менении условий проведения опыта, случайная величина может принимать различ-

ные значения даже при неизменном комплексе условий наблюдения; - изменение случайной величины от наблюдения к наблюдению связано с

действием не учитываемых случайных факторов.

Примерами случайных величин являются все экспериментально определен-

ные показатели физико-механических свойств строительных материалов (предел прочности, твердость, вязкость, подвижность или жесткость бетонной смеси и т.д.).

Чтобы охарактеризовать случайную величину, нужно, прежде всего,

задать набор допустимых значений, которые она может принять.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Напри-

мер, N образцов в идентичных условиях подвергаются испытанию на дли-

тельную прочность. Испытания образца прекращают, если он не разру-

шился за базовое время (например, один год). В этом примере число не разрушившихся или разрушившихся за базовое время образцов является случайной дискретной величиной, которая может принимать все целые значения от 0 до N. Все возможные значения, которые может принять случайная дискретная величина, могут быть заранее перечислены (в

образца) является случайной непрерывной величиной. Случайная непрерывная вели-

чина может принимать все целые и дробные значения в бесконечном или конечном

(в нашем примере - в конечном) интервале. Возможные значения непрерывной слу-

чайной величины заранее перечислить невозможно. Следует отметить, что все экспе-

риментально определяемые характеристики физико-механических свойств строи-

тельных материалов являются непрерывными случайными величинами.

1.4.Понятие о вероятности появления значений случайной величины

Чтобы охарактеризовать случайную величину необходимо, прежде всего, за-

дать набор ее допустимых значений. Однако набор допустимых значений сам по себе слабо характеризует случайную величину. Чтобы полностью охарактеризовать слу-

чайную величину, надо не только указать, какие значения она может принимать, но и

-8-

в которых случайная величина X приняла значение xi, к общему достаточно большому числу проведенных опытов n.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства: 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход ис-

пытания благоприятствует событию. В этом случае m = n и, следовательно,

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из исходов испытания не благоприятствует событию. m = 0 и, следовательно,

nn

3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное

между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа исходов испытания. В этом случае 0 ≤ m / n ≤ 1и, следовательно,

i=1

так как тот факт, что случайная величина примет в результате опыта одно из своих значений, есть достоверное событие. Эта суммарная вероятность распределена опре-

деленным образом между отдельными значениями.

1.5. Законы распределения случайной величины

Как уже говорилось выше, чтобы полностью охарактеризовать случайную ве-

личину, необходимо не только указать, какие значения она может принимать, но и как часто будет появляться то или иное значение.

-9-

Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом

распределения.

Для дискретной случайной величины наиболее простым способом задания за-

кона распределения может быть вероятностный ряд или его графическое изображение

– полигон распределения.

Пример 1. При определении прочности произведенных за сутки железобе-

тонных изделий было испытано 100 образцов. Полученные значения случайной вели-

чины Х (предел прочности бетона R), а также соответствующие им вероятности их появления приведены в нижеследующей табл. 1.

Рис. 1. Полигон распределения случайной величины Xi = Ri