4005
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образо-
вания «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
О.Л.Любимцева
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лабораторным работам по дисциплине: «Моделирование процессов», для обучающихся по направлению подготовки 27.03.01 «Стандартизация и метрология», направленность (профиль) Стандартизация и сертификация
Нижний Новгород ННГАСУ
2022
УДК
Любимцева О.Л. Моделирование процессов: учебно-методическое пособие / О.Л. Любимцева; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. – Нижний Новгород: ННГАСУ, 2022. – 14 с. : ил. – Текст : электронный.
В учебно-методическом пособии приводятся основные характеристики курса « Моделирование процессов», темы лабораторных работ по разделам с указаниями типовых задании и пример оформления задачи.
Предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине: «Моделирование процессов», направления подготовки 27.03.01: Стандартизация и метрология, направленность (профиль) Стандартизация и сертификация.
© О. Л. Любимцева, 2022
© ННГАСУ, 2022.
Содержание |
|
Характеристика содержания курса........................................................................ |
4 |
Темы лабораторных работ по разделу 2: ........................................................... |
4 |
Темы лабораторных работ по разделу 3: ........................................................... |
5 |
Темы лабораторных работ по разделу 4: ........................................................... |
5 |
Темы лабораторных работ по разделу 5: ........................................................... |
5 |
Вопросы для самоконтроля .................................................................................... |
7 |
Список рекомендованной литературы .................................................................. |
8 |
Приложение ............................................................................................................. |
9 |
Целью освоения дисциплины «Моделирование процессов» является формирование основных понятий теории моделирования, теоретических зна-
ний относительно классификации моделей и практических навыков построе-
ния регрессионных моделей на основе статистических исследований.
Для освоения дисциплине необходимо знать основные понятия математики,
статистического контроля и наиболее часто востребованные математические модели.
Лабораторная работа: практическое учебное занятие, проводимое для изу-
чения и исследования характеристик заданного объекта и организуемое по правилам научно - экспериментального исследования (опыта, наблюдения,
моделирования).
Характеристика содержания курса
Материал курса разделен на пять разделов. Курс начинается с введения основ-
ных понятий и определений. Формулируются цели и принципы моделирова-
ния, виды моделей. Этот материал формирует у студентов структуру курса.
Во втором разделе «Алгоритм построения модели» студенту предложены ал-
горитм построения аналитической модели, алгоритм построения эмпириче-
ской модели, а так же краткая характеристика основных этапов алгоритмов построения аналитических и эмпирических моделей.
Темы лабораторных работ по разделу 2:
1.Решение задач линейного программирования (ЗЛП). Двойственная ЗЛП.
2.Выборочный коэффициент корреляции
Третий раздел «Линейные и нелинейные регрессионные модели» формирует у студентов теоретические основы моделирования процессов. На основе МНК вычисляется оценка параметров линейной регрессии, анализируется точность оценок коэффициентов регрессии и проводится проверка гипотез относи-
тельно коэффициентов линейного уравнения регрессии. В этом же разделе
формулируется понятие коэффициента детерминации. Особое место отведено
нелинейным регрессионным моделям и их линеаризация.
Темы лабораторных работ по разделу 3:
1.Определение параметров выборочного уравнения прямой линии регрес-
сии. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравне-
ния регрессии.
2.Интервальные оценки относительно коэффициентов линейного уравне-
ния регрессии и функции регрессии. Коэффициент детерминации.
Практическое применение моделирования рассматривается в четвертом раз-
деле. Внимание студентов обращено на мультиколлинеарность, её причины и методы устранения; гетероскедастичность, её суть и последствия, а так же ее обнаружение и устранение; автокорреляцию, ее причины, методы обнаруже-
ние и устранения.
Темы лабораторных работ по разделу 4:
1. Выбор уровней факторов. Полный факторный эксперимент.
На основе статистических данных студентам поясняется как производить от-
бор наиболее существенных факторов в регрессионной модели. С выше ука-
занным разделом неразрывно связана тема Планирования и проведения экспе-
римента. В этой части лекций студенту предлагается освоить полный фактор-
ный эксперимент. Его ступени от формулировки задачи и выбора факторов исследования до выводов и рекомендаций по формулировке задачи.
Темы лабораторных работ по разделу 5:
1. Полный факторный эксперимент
Типовые задания
1) Для зависимости Y от X, заданной корреляционной таблицей
x i |
53 |
57 |
60 |
63 |
64 |
66 |
63 |
62 |
62 |
66 |
69 |
67 |
y i |
51 |
54 |
57 |
59 |
63 |
58 |
60 |
59 |
58 |
63 |
65 |
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где X,Y – измерения двух приборов одной детали.
a.вычислить коэффициент корреляции и оценить его статистическую значимость;
b.оценить по МНК коэффициенты линейной регрессии Y = α +βX + U;
c.построить 95 % - ные доверительные интервалы для коэффициентов α и β;
d.сделать прогноз при какомлибо X = x 0 ;
e.рассчитать границы интервала в котором будет сосредоточено не менее
95 % значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и вы-
бранном значении X=х0.
2) Двумя методами проведены измерения одной и той же физической вели-
чины. Получены следующие результаты:
а) в первом случае: x1=9,6; x2=10,0; x3=9,8; x4=10,2; x5=10,6;
б) во втором случае: y1=10,4; y2=9,7; y3=10,0; y4=10,3.
Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность изме-
рений, если принять уровень значимости α=0,1? Предполагается, что резуль-
таты измерений распределены нормально и выборки независимы.
3) На заводе установлены четыре линии по выпуску облицовочной плитки. С
каждой линии случайным образом в течении смены отобрано по пять плиток и сделаны замеры толщины (мм). Отклонения от номинального размера даны в таблице
Номер линии |
Отклонение от номинала |
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
0,6 |
0,2 |
0,8 |
0,5 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0,2 |
0,2 |
0,8 |
0,3 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
0,8 |
0,6 |
0,4 |
0,4 |
0,9 |
|
|
|
|
|
|
4 |
0,7 |
0,7 |
0,6 |
0,3 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
Требуется на уровне значимости в 0,05 установить существует ли зависи-
мость качества плиток от линии.
Оценить математическое ожидание общего среднего и эффектов обработок.
Сделать вывод относительно наиболее выгодной линии производства плитки.
Вопросы для самоконтроля
1.Что такое модель?
2.Что такое объект?
3.Что такое процесс?
4.Что такое гипотеза?
5.Что такое моделирование?
6.Обозначьте цели моделирования.
7.Назовите принципы моделирования.
8.Перечислите аксиомы моделирования.
9.Какие виды моделей существуют?
10. Какие виды моделирования существуют?
11. Что такое фактор, уровень фактора?
12.Что такое аналитическая модель?
13.Что такое эмпирическая модель?
14.Обозначьте преимущества математического моделирования.
15.Перечислите требования, предъявляемые к математической модели.
16.Расскажите о различиях в алгоритмах построения аналитической
и эмпирической моделей.
17.Какие требования предъявляются к входным и выходным факторам?
18.Что такое эксперимент?
19.Что такое планирование эксперимента?
20.Обозначьте цели планирования эксперимента.
21.Что такое полный факторный эксперимент?
22.Что такое рандомизация? Какова цель проведения рандомизации?
Список рекомендованной литературы
1. Ашихмин В. Н.. Введение в математическое моделирование : Учебное пособие. / Ашихмин В. Н., Гитман М. Б., Келлер И. Э. ; Ашихмин В. Н.. –
Москва : Логос, 2004. – 439 с. – URL: URL: http://www.iprbookshop.ru/9063.html. – ISBN ISBN 5-94010-272-7.
2. Беликова Н. А.. Математическое моделирование. Часть 2 : Учебное по-
собие. / Беликова Н. А., Горелова В. В., Юсупова О. В. ; Беликова Н. А.. –
Самара : Самарский государственный архитектурно-строительный уни-
верситет, ЭБС АСВ, 2009. – 64 с. – URL: URL: https://www.iprbookshop.ru/20477.html. – ISBN ISBN 978-5-9585-0359-9.
3. Солдатенко Л. В.. Введение в математическое моделирование строи-
тельно-технологических задач : Учебное пособие. / Солдатенко Л. В. ;
Солдатенко Л. В.. – Оренбург : Оренбургский государственный универси-
тет, ЭБС АСВ, 2009. – 161 с. – URL: URL: http://www.iprbookshop.ru/21566.html.
Методические материалы по дисциплине
1. Любимцев Олег Владимирович. Математические методы и модели в экономике : учеб.-метод. пособие по подгот. к лекциям, практ. занятиям
(включая рекомендации по орг. самостоят. работы) для обучающихся по дисциплине "Мат. методы и модели в экономике" по направлению подгот.
38.03.02 Менеджмент, направленность (профиль) Менеджмент недвижи-
мости. / Любимцев Олег Владимирович ; Нижегор. гос. архит.-строит. ун-
т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2016. – 1 CD ROM. – URL: URL: http://catalog.nngasu.ru/MarcWeb2/.
Приложение
Пример решения задач
Для исследования зависимости годового объема производства Y от основных фондов X получены данные по 20-ти предприятиям.
X |
12,5 |
17,5 |
17,5 |
17,5 |
|
22,5 |
22,5 |
22,5 |
22,5 |
22,5 |
|
27,5 |
27,5 |
||||||||
Y |
20,5 |
21,5 |
21,5 |
22,5 |
|
22,5 |
22,5 |
23,5 |
23,5 |
23,5 |
|
23,5 |
23,5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
27,5 |
27,5 |
|
27,5 |
|
27,5 |
|
27,5 |
27,5 |
27,5 |
27,5 |
|
27,5 |
|
|
||||||
|
23,5 |
24,5 |
|
24,5 |
|
24,5 |
|
24,5 |
24,5 |
24,5 |
24,5 |
|
24,5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты решения данной задачи с помощью функции Регрессия представлены на рис. 1 ‒ 3.
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R |
0,923584 |
R-квадрат |
0,853006 |
Нормированный R-квад- |
|
рат |
0,84484 |
Стандартная ошибка |
0,47647 |
Наблюдения |
20 |
Рис. 1. Результаты расчета: регрессионная статистика
На рис. 1 представлены результаты расчета регрессионной статистики. Эти результаты соответствуют следующим статистическим показателям:
• Множественный R ‒ коэффициент корреляции R;
• R-квадрат ‒ коэффициент детерминации |
R |
2 |
; |
|
|||
|
|
• Нормированный R ‒ нормированное значение коэффициента корреляции;
• Стандартная ошибка ‒ стандартное отклонение для остатков;
• Наблюдения ‒ число исходных наблюдений.
На рис. 2 представлены результаты расчета дисперсионного анализа, которые используются для проверки значимости коэффициента детерминации R 2 .
Дисперсионный анализ
|
|
|
|
|
Значимость |
|
df |
SS |
MS |
F |
F |
Регрессия |
1 |
23,71358 |
23,71358 |
104,4544 |
6,38E-09 |
Остаток |
18 |
4,08642 |
0,227023 |
|
|
Итого |
19 |
27,8 |
|
|
|
Рис. 2. Результаты расчета: дисперсионный анализ
Значения в столбцах на рис. 2 имеют следующую интерпретацию.
• Столбец df ‒ число степеней свободы. Для строки Регрессия число степе-
ней свободы определяется количеством факторных признаков m, для строки
Остаток ‒ числом наблюдений n и количеством переменных в уравнении регрессии m + 1: n ‒ (m + 1), а для строки Итого ‒ суммой степеней свободы для строк Регрессия и Остаток и, следовательно, равно n ‒ 1.
• Столбец SS ‒ сумма квадратов отклонений. Для строки Регрессия значе-
ние определяется как сумма квадратов отклонений расчетных данных от сред-
него:
|
n |
− y ) |
2 |
|
2 |
ˆ |
. |
||
SS1 |
= (yi |
|
||
|
i=1 |
|
|
|
Для строки Остаток это сумма квадратов отклонений фактических данных от теоретических:
|
n |
|
|
2 |
|
2 |
= (yi |
ˆ |
) |
. |
|
SS2 |
− yi |
|
|||
|
i=1 |
|
|
|
|
Для строки Итого это сумма квадратов отклонений расчетных данных от среднего:
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
= (yi |
− y ) |
или |
2 |
2 |
2 |
|
SS3 |
|
SS2 |
= SS1 |
+ SS2 . |
|||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
• Столбец формуле:
Для строки
Для строки
МS содержит значения дисперсии, которые рассчитываются по
MS = |
SS |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
− y ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(yˆi |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Регрессия это факторная дисперсия |
ф |
= |
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
− yi |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(yi |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
Остаток это остаточная дисперсия |
ост2 |
|
= |
i=1 |
|
|
|
|
. |
|||
. |
n − (m +1) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• Столбец F содержит расчетное значение F-критерия Фишера Fр, вычисляемое по формуле:
= MS (Регрессия) . Fp MS (Остатки)