смотренном выше примере г\= 4, в случае шарнирного закрепле­

ния rj = 1 и т. д.); P Q = O i^ F — максимальная величина осевой растягивающей силы (при любом нечетном значении п). В слу­ чае, если перед потерей устойчивости осуществляется симмет­ ричный цикл, то Ро = Р.

Из (49.15) определим Гскр:

1/а

Совершенно другая картина наблюдается для стержней из цик­ лически упрочняющихся материалов. Для таких стержней с ро­ стом числа циклических нагружений происходит увеличение упрочнения, а значит, и увеличение сответствующих критиче­ ских нагрузок.

Обсуждаемые здесь вопросы рассмотрены, например, в рабо­ тах [67, 219, 333 и др.].

§ 50. Постановка задачи устойчивости упругопластических систем при наличии начальных напряжений

Как уже отмечалось, наличие начальных напряжений, вы­ званных, например, предшествующим пластическим деформиро­ ванием (остаточные напряжения), может существенным образом изменить величины внешних нагрузок, при которых наблюдает­ ся потеря устойчивости.

В этом параграфе будут рассмотрены уравнения докритпческого состояния пластин и оболочек при наличии начальных напряжений и уравнения устойчивости. Постановка сответствую­ щих задач для случая стержней совершенно аналогична.

Рассматривается обобщенное плоское напряженное состоя­ ние, характеризуемое компонентами тензора напряжений ои, Oi-2, 022 и компонентами тензора малых деформаций еи, е12, ,е2, е33. При этом координатные оси выбраны так, что xt и х2 рас­ положены в касательной плоскости к срединной поверхности элемента оболочки; ось х3= z направлена по нормали к средин­ ной поверхности.

Обозначим через о% компоненты начальных напряжений, через Ои — интенсивность начальных напряжений. Компонен­ ты начальных деформаций e?j предполагаются равными нулю, хотя их наличие может быть учтено без особого труда.

При наличии начальных напряжении а°;- соотношение меж­ ду напряжениями и деформациями в упругой области запишется в виде

Для связи напряжений и деформаций в пластической обла­ сти используем уравнения теории малых упругопластических де­ формаций, сохранив для Оц~ га соотношение (50.3),

2(У

Sij = Sij, аи = Ф (еи), Он = а°ц + ЗКен. (50.4)

Интенсивности au = V3/2a и eu= V2/3э связаны с компонентами напряжений и деформаций в случае обобщенного плоского на­ пряженного состояния следующими соотношениями:

причем выражение для еи написано для случая несжимаемого материала.

Выпишем теперь условия на границе зон упругих и пласти­ ческих деформаций. Приравнивая на этой границе напряжения sn (напряжения а„ совпадают тождественно), определяемые фор­ мулами (50.3) и (50.4), получим выражения для соответствую­ щих деформаций:

границе указанных зон в случае отсутствия начальных напря­ жений.

Запишем соотношения (50.5) в инвариантной форме

Здесь сохранен знак «минус», поскольку на границе зон упругих и пластических деформаций при наличии начальных напряже­

нагружепии в случае сг52= 0, и берется знак «минус» в против­ ном случае. Это правило можно распространить и на общий, по конкретный случай. Если это затруднительно, то условие сопря­ жения следует брать в форме (50.5).

Запишем теперь условие (50.6) для случая линейного упроч­ нения

При этом из (50.6) находим значение еи на границе зон упругих и пластических деформаций:

Учитывая (50.11), уравнение (50.16) преобразуем к виду

где функция напряжений F введена соотношениями типа

Ш8Tl1 = р <22‘

Уравнения равновесия элемента

рей устойчивости) вместе с соотношениями (50.12) приводятся к уравнению относительно прогиба w ( x 1?х 2) пластины:

Наконец, из (50.11) легко получить соотношение, которое свя­ зывает вариации усилий бТц с величинами е п х:

Примеры решения конкретных задач приведены в § 51.

§51. Приложения

1.Устойчивость стержня кругового поперечного сечения.

Пусть осевые начальные напряжения о?з= о0 заданы форму­ лой [40]

где г — текущий радиус, R — радиус граничного круга; функ­ ция /(р) должна удовлетворять условию

ющей зоны упругих и пластических деформаций. Из (51.3) сле­ дует

Другое соотношение, связывающее р, и е, получим, составляя вы­ ражение для Р

j j j r = о . j/ ( p ) p d p + ^ (1 - р!) + f Р?. (51.5)

о

Вследствие потери устойчивости, согласно гипотезе плоских сечений, можем записать

где у9— граница зоны догрузки и разгрузки.

Распределение дополнительных напряжений 6а по поперечно­ му сечению стержня удовлетворяет очевидному условию

J 8adF = 0,

F

Запишем выражение для суммарного момента дополнитель­

есть критическая сила, при которой рассматриваемый стержень

ская нагрузка стержня, свободного от начальных напряжений. Из сравнения следует, что при наличии начальных напряжений крн-

деформации е из (51.14) и (51.15):

(51.22)

В итоге, как видим, К есть функция давления q.

Уравнение (51.20) совпадает с соответствующим уравнением упругой устойчивости (7£=1), поэтому аналогично (51.11)

(7кр = ((7кр),

где <7кр — критическая нагрузка, которая вызывает упругую по­ терю устойчивости пластины, свободной от начальных напря­ жений.

График, иллюстрирующий влияние начальных напряжений на критическую нагрузку, приведен на рис. IX.4.

Г Л А В А X

Д ЛИ ТЕЛЬН АЯ ПРОЧНОСТЬ

§ 52. Малоцикловая усталость. Критерий Коффина — Мэйсона

Как отмечалось, под малоцикловой усталостью (или цикличе­ ской долговечностью) принято понимать наступление предельно­ го состояния (нарушение сплошности) при циклическом измене­ нии пластической деформации. Не приводя здесь полный исто­ рический обзор, мы ограничимся лишь формулировкой некото­ рых, вошедших в литературу аналитических соотношений. С. Мэнсон, анализируя литературные данные, предложил следующую эмпирическую формулу для циклической долговечности N [173, 316]:

материала величины. (В случае симметричного цикла с амплиту­ дой пластической деформации еР имеет ер = — ер = — ер, Дер =

=2ер.) В частности, для одного алюминиевого сплава было при­ нято значение а = 1/3.

Систематические эксперименты по исследованию малоцикло­ вой усталости некоторых чистых металлов и сплавов были про­ ведены Л. Коффином и его сотрудниками [116, 294]. В опытах осуществлялись симметричные циклы по деформациям. Резуль­

причем значение константы а = 1/2 предполагается универсаль­ ным, применимым ко всем материалам. Для определения постоян­ ной С используются опыты на разрушение при монотонном на­ гружении, чему по мнению Коффипа соответствует АеР = еь, N = = 1/4, где еь — деформация, при которой наступает разрушение. При этом С = еь/2. Соотношение (52.2) известно в литературе как формула Коффина, она получила широкое распространение бла­ годаря своей простоте, заключающейся в том, что в случае С = = еь/2 в формуле отсутствуют какие-либо константы, характери-

При Wk= W = const это соотношение принимает вид

( W - B ) N = A.

Отсюда следует, что константа А характеризует предельную ве­ личину энергии, затраченной на разрушение, а постоянная В оп­ ределяет величину энергии, идущей на восстановление (умень­ шение степени накопленных повреждений). В [343] приведены экспериментальные результаты (мягкая сталь и алюминиевый сплав при повышенной температуре), которые обрабатывались по соотношению Ганстока; хорошего результата не было полу­ чено.

Энергетическому обоснованию условия (52.1) в случае боль­ ших деформаций и конкретизации входящих в это соотношение параметров посвящена работа [309]. Используются следующие да­ леко идущие гипотезы: а) суммарная энергия диссипации к мо­ менту разрушения пропорциональна Np; б) отношение суммарной энергии диссипации к соответствующей величине при первом нагружении (N = 1/4) пропорциональна Nq. Величины р и q — постоянные. При этих предположениях имеет место следующее соотношение, справедливое и при асимметричных циклах:

рии цикла по деформациям, т — показатель степени при степен­ ной аппроксимации зависимости напряжения от пластической де­ формации.

Эксперименты, проведенные авторами с циклическим круче­ нием образцов из мягкой стали, удовлетворительно подтвердили зависимость (52.4) для различных значений R и больших дефор­ маций, таких, что число циклов до разрушения не превышало 100' При симметричных циклах (R = —1) значение а по формуле (52.5) изменяется в зависимости от т в широких пределах, а именно от 0,397 до 0,794 при уменьшении гм от 1 до 0. Как видим, эти значения а отличаются от а = 1/2, предложенного Коффином, в ту и другую сторону. Соотношение типа (52.1) в дальнейшем будет использовано при исследовании прочности в

случае нестационарных нагружений.

Мы начали этот параграф с приведения формулы Мэпсона (52.1). Впоследствии автор обобщил это соотношение, предпола­ гая, что определенный вклад в накопление повреждений вносит и циклическое изменение упругой составляющей деформации. Ес­

ли размах упругой деформации Де« = А о/Е связан с долговеч­ ностью N степенной зависимостью

то так как Де = Де„ + Дее, из (52.1) и (52.6) получаем

Эта формула может оказаться полезной в случае, когда вели­ чины ДгР и Дев соизмеримы; кроме того, она дает возможность определить конечную долговечность N при пренебрежимо малых значениях пластической деформации по сравнению с полной де­ формацией.

Постоянная Сt в соотношении (52.6) может быть определена, если известен предел усталости о- h определенный, как принято на базе в 107 циклов. В этом случае C t = 107P2G- I/Z? и (52.7) пре­ образуется к виду

жера [311].

Выше были рассмотрены эксперименты на циклическое на­ гружение при заданных амплитудах деформации. Аналогичным образом может быть исследована циклическая долговечность на основании опытов на переменное нагружение при заданной амп­ литуде напряжений. Среди таких исследований отметим работу [304]. Предполагается, что предельное состояние возникает в том случае, когда суммарная энергия пластического гистерезиса до­ стигает значения полной энергии W * разрушения при монотон­ ном нагружении. Если при этом воспользоваться аппроксимацией

Использование этого соотношения для описания усталостного раз­ рушения образцов из авиационной стали марки SAE4340 дало удовлетворительный результат (б = 0,1), при этом величина оа не превышала предел упругости материала (А > 1 0 3). Констан­ ты А и т в (52.9) находились из соотношения а ~ е в области пластических деформаций. Гистерезис же наблюдался и при та­ ких низких напряжениях, причем с увеличением числа циклов площадь петли гистерезиса увеличивалась. Открытым здесь оста­ ется вопрос определения константы W * в (52.10) из опытов на

монотонное нагружение, поскольку оказывается, что в действи­ тельности W * значительно превосходит величину энергии раз­ рушения при монотонном испытании. Кроме того, оказалось, что И%., вообще говоря, не постоянна, а растет с уменьшением ов.

Возвратимся к формуле (52.1), которую в настоящее время больше именуют формулой Коффина — Мэнсона, и запишем ее для случая объемного деформированного состояния. Если кон­ станты С и а в формуле (52.1) найдены из опытов на растяже­ ние — сжатие, то ее простейшим обобщением будет (несжимае­ мый материал)

(52.11)

Здесь

4 Р = A»?j = — *н> = 9ц — 2^, эн = еу —

Штрихом и двумя штрихами отмечены наибольшее и наимень­ шее значения в цикле.

материала.

Если же константы С и а в (52.1) найдены из опытов на чи­ стый сдвиг, т. е. в (52.1) под е понимается е42, то аналог фор­

чае чистого сдвига.

Условие циклической долговечности (52.1) следует считать экспериментально обоснованным, но только для частного вида нагружений, при котором размах пластической деформации Аер в течение всего опыта остается неизменным. Всякого рода пере­ счет соотношения (52.1) на другие случаи, например, на случай, когда в течение опыта остается неизменной амплитуда напряже­ ний, следует делать с должной осторожностью, поскольку даже малые изменения в диаграмме а ~ е от цикла к циклу могут привести к конечным изменениям за значительное число циклов.

§ 53. Об энергетическом критерии малоцикловой усталости

В предыдущем параграфе были рассмотрены некоторые под­ ходы, предпринятые с целью обоснования эмпирического крите­ рия Коффина — Мэнсона. В этом параграфе будет приведено до­ казательство этого критерия с использованием энергетических оценок для некоторого гипотетического материала.

Представим себе поликрысталлический образец, состоящий из множества элементов, причем элементы различаются между собой только пределом текучести; соответствующую величину дефор­ мации для /с-го элемента обозначим через г 8к. Пусть каждый эле­ мент обладает степенным упрочнением, так что

Предположим, что к рассматриваемому телу приложено одно­ родное поле деформации, изменяющееся по закону симметричных циклов с амплитудой е0. При этом в различных элементах воз­ никают, вообще говоря, различные напряжения о*. Вычислим площадь петли пластического гистерезиса &W за один цикл на­ гружения. В соответствии с формулой (37.7), учитывая (53.1), после интегрирования получим

Из этой формулы видно, что при заданном значении дефор­ мации е0 величина A Wh будет различной для различных элемен­ тов; более того, существует такое значение eeft = ,eem при котором A Wk будет иметь максимальное значение. Для определения эк­ стремального значения A Wh найдем производную

1 dAWh

где ап — масштабный коэффициент, для которого мы воспользу­ емся формулой (0.10).

При этом для суммарной площади пластического гистерезиса за N циклов получим формулу

Отсюда аналогично (53.3) определим e,m:

i=l

Подсчитаем приближенно входящие в эти соотношения конечные суммы для N > 1 и х < 1:

Формула (53.9) при г,к= е,т с учетом (53.10) и (53.11) преоб­ разуется к виду

что при условии Wm = W * приводит к соотношению (53.5), где

лического деформирования не изменил структуры формул долго­ вечности (53.5); практически не изменилась и константа С0, по­ скольку, как это видно из табл. I, к < 1, а при этом постоянная к исчезает из формулы (53.12), и мы приходим к (53.8). Этот результат в какой-то степени объясняет тот факт, что критерий Коффина оказывается справедливым для материалов различной структуры.

Формула (53.5), вообще говоря, не может быть сведена к со­ отношению (52.2), поскольку однородному распределению дефор­ мации соответствует в нашей модели неоднородное по элементам тела распределение напряжений, и поэтому в различных элемен­ тах будут различающиеся между собой пластические слагаемые деформации. Однако, например, для элемента к = т с наиболь­ шей площадью пластического гистерезиса такое преобразование может быть выполнено. В самом деле, для любого к-то элемента

пластическая деформация при условии (53.1) равна

откуда для элемента к = т, используя (53.3), найдем

Формула (53.14) так же, как и соотношение (53.5), опреде­ ляет условие нарушения прочности в самом «неблагоприятном» элементе тела, иначе говоря, они могут рассматриваться как ус­ ловие зарождения микротрещины.

§ 54. Малоцикловая усталость при нестационарных нагружениях

Приведенные выше условия наступления предельных состоя­ ний справедливы лишь в тех случаях, когда в процессе цикли­ ческого нагружения амплитуды напряжений или амплитуды де­ формаций остаются неизменными. Рассмотрим теперь общий слу­ чай переменных нагружений и с этой целью введем сначала не­ прерывно изменяющийся параметр нагружения Я, за который

ляют границы участков с монотонным изменением напряженного состояния, при этом соответствующим критерием может быть, например, введенная ранее инвариантная величина о*. Такое разбиение всегда возможно, поскольку в рассматриваемой задаче об определении предельного состояния изменение напряженного состояния с параметром Я в каждой точке тела считается из­

и соответственно

<Jk — \ s ij SH / ? s ij — “з- f i l l •

В соотношении (54.1) под o^J1 понимаются зафиксированные-

компоненты напряжений в точке Ял—i, а под 0 |;- — текущие на­

нения будем считать, что скорость накопления повреждений за­ висит от со, о* и температуры Т(Х). Влияние Hadco/dA,, сгь и Т(Х)

учтем путем введения следующего нелинейного функционала:

к

предполагая при этом независимое влияние на dco/dA величин со и Q. Введением функционала (54.3) учитывается, что на скорость накопления повреждений в момент X оказывают влияние не толь­

Воспользуемся следующими представлениями функции влия­ ния:

При этом соотношение (54.5) с учетом второго условия (54.2) перепишется в виде

1 ==*J-NdX Xf {X — р)_рф2 (at, Т) dp,

оо

1 =» j dX f exp ( — y(X — p)) ф2 (at, T) dp,

оо

Напомним, что две формы записи критерия малоцикловой усталости (54.14) и (54.15) соответствуют двум различным функ­ циям влияния (54.6).

В приведенных выше предельных условиях остаются неизвест­ ными постоянные а и т (или 'у). Величина а была введена ус­ ловиями (54.10), которые накладывают ограничения на функции

скольку константа б находится в результате обработки экспери­ ментов с помощью формулы (54.16).

Что же касается постоянной ттг, то она определяется из до­ полнительного опыта на циклическую долговечность, о чем не­ сколько ниже.

Сделаем теперь одно существенное замечание, которое позво­ лит значительно упростить соотношения (54.14) и (54.15). В са­ мом деле, выше для определения функций ф и г|э были исполь­ зованы результаты экспериментов, содержащих информацию о

В этом случае из (54.8) следует

N

заменяющее собой (54.17). При этом предельные условия (54.20) перепишутся в окончательной форме

ния, как отмечалось выше, необходимо провести дополнительный опыт. Пусть, в частности, известна величина Хя из опыта, когда

при Nt первых нагружениях со скоростью о* поддерживалась уд­ военная амплитуда напряжений а1э а при последующих нагру­ жениях с той же скоростью о* вплоть до разрушения — удвоен­

ная амплитуда а*.

Применив здесь ту же процедуру, что и выше при получении соотношений (54.12), находим (ограничимся соотношением

В это уравнение входит единственная неизвестная величина т.

что скорость накопления повреждений определяется напряжен­ ным состоянием. Совершенно аналогичным образом могут быть выведены формулы нестационарной малоцикловой усталости, ес­ ли предположить, что изменение деформаций с увеличением чис­

Здесь, как и в аналогичной формуле (54.1), при к-м нагружении текущими компонентами будут ejj и е**, а е^г1— зафиксирован­ ные величины, они определяют поле деформаций в конце (к — 1)-го нагружения.

Не повторяя здесь всех выкладок, запишем окончательные со­ отношения, являющиеся аналогами критериев малоцикловой уста­

N **

V(XJV—м.) dp

Y(l + a)

(54.30)

( v т) - 1

Здесь сохранены все введенные выше обозначения; в частно­ сти, постоянную q введем соотношением, аналогичным (54.22),

где эо — удвоенная амплитуда деформаций в опытах на мало­ цикловую усталость. Если, в частности, воспользоваться форму­

лой (53.5), то следует принять q = 2, В = Л 0С1, где Л0= Лл —Хк- {. Уравнения для определения констант тп и к, входящих в со­ ответствующие соотношения (54.29) и (54.30), строятся, как и в

предшествующем случае (54.27):

(р = 1 + m).

Все замечания, сделанные выше относительно качественных особенностей предельных условий (54.24) и (54.25), сохраняются и в случае (54.29) и (54.30), поэтому мы их здесь не приводим.

Рассмотрим теперь другую методику построения критерия малоцикловой усталости при нестационарных нагружениях, а именно — примем за независимую переменную не параметр Л, как это было сделано выше, а число нагружений п. В этом слу­ чае можно также воспользоваться кинетическим уравнением и учесть влияние предыстории на скорость накопления поврежде­ ний. В самом деле, представим кинетическое уравнение в следую­ щем виде:

понимаются не текущие напряжения при к-м нагружении, а на­ пряжения в конце к-го нагружения. Иначе говоря, скорость на­ копления повреждений, согласно (54.32), определяется амплитуд­ ными значениями напряжений.

Аналогом соотношений (54.7) в нашем случае будут следу­ ющие:

1 = j [1 — exp (— у (N — А))] гр (а* (к)) dks

О

где N — искомое число нагружений до наступления предельного состояния.

Для определения функций ф(о*) и г|э(о*) воспользуемся ре­ зультатами опытов, представленными соотношениями

ний в случае переменных нагружений по закону симметричных циклов по напряжениям. При условии (54.35) из (54.34) следует

Неизвестные константы т, определяются из дополнитель­ ных экспериментов на малоцикловую усталость. Пусть, напри­ мер, известно число нагружений iV*, при котором наступает раз­ рушение в случае циклического нагружения при пропорциональ­ но увеличивающейся амплитуде напряжений: о*Цс) = Ак {А = = const).

для определения неизвестных т и f соответственно:

Аналогичным образом для определения постоянных тп и у могут быть использованы результаты других экспериментов.

Заметим, что при m = 0 и у = оо из предельных условий (55.10) и (55.11) следует известный критерий длительной проч­ ности Бейли

Рассмотрим теперь различные частные случаи закона долго­

вечности (55.3). Пусть сначала U и а® связаны широко исполь­ зуемой степенной зависимостью

причем для некоторых материалов параметр а слабо зависит от температуры Т0. При этом формулы (55.10) и (55.11) преобразу­ ются к следующему виду:

у, принимают вид, например,

t*

или, после преобразования с учетом соотношения Оь = *11**«

В1+т

1 —f—/72. т1+я» f(m, а).

J11

= а(1 + 771) равен единице. При этом это соотношение после интегрирования можно преобразовать к виду

А. А. Ильюшина [87] для случая одноосного напряженного со­ стояния

Таким образом, при определенном значении параметра m = = —1 + 1/а (а — параметр долговечности (55.15)) из соотношения (55.16) следует условие длительной прочности (55.19).

Пусть теперь долговечность (55.3) определяется известным со­

Здесь Uо — энергия активации, т0— коэффициент, численно рав­ ный периоду тепловых колебаний атомов (10“ ‘2— 10-13 с), *ув — структурно-чувствительный коэффициент, к — постоянная Больц­ мана. Все константы в (55.21) являются физическими величина­ ми, исключение составляет постоянная которая практически определяется опытами на долговечность.

В случае (55.21) формула (55.10) принимает вид

о

.а уравнение для определения постоянной т будет

о

или

Рассмотрим, наконец, некоторые особенности условий дли­ тельной прочности (55.10) и (55.11) при частных видах нагружения.

Пусть сначала напряжение о э изменяется со временем по закону

ния, причем отклонение от (55.23) может быть в ту и другую сторону и зависит от того, происходит ли при t = t{ увеличение или уменьшение напряжений.

Предположим теперь, что напряжение сь изменяется со вре­

Определим при этом изменение со временем степени накоплен­

График функции (55.25) представлен на рис. Х.1. Как видим, при т = 0 повреждения, накопившиеся к моменту снятия на­

это следует из рис. Х.1, повреждения будут продолжать накап­ ливаться и после снятия нагрузки, хотя и значительно медленнее, чем при наличии напряжения о°э.

§ 56. Критерий малоцикловой усталости реономных тел при нестационарных нагружениях

Имея целью рассмотреть вопрос о предельном состоянии, на­ пример, металлов при повышенных температурах, подверженных Нестационарным циклическим нагружениям, мы должны будем учесть возможность накопления повреждений за счет цикличе­ ского изменения пластических деформаций и за счет временных свойств прочности. В первом случае за определяющий параметр,

как мы видим, может быть принята величина а* при А:-м нагру­ жении, в случае же длительной прочности определяющими при данной температуре являются текущие напряжения. Поэтому, если процесс нагружения рассмотреть во времени и записать

Отсюда находится функция <p(a*, Т).

Внося найденное выражение для ф в (56.6) и учитывая (56.8), запишем окончательный результат

§ 57. Термическая усталость

При циклических температурных воздействиях вследствие не­ однородного распределения температуры по объему свободного тела возникают изменяющиеся со временем температурные на­ пряжения, которые с увеличением числа циклов могут, вообще говоря, привести к появлению усталостных трещин, к разруше­ нию. Если же тело не свободно, то температурные напряжения возникают, как известно, и при однородном поле температуры, которое осуществляется (приближенно) при очень медленных на­ греваниях и охлаждениях.

С увеличением числа циклических теплосмен возможно на­ правленное необратимое изменение формы и размеров тела [61J, причем это явление наблюдается не только у металлов и сплавов, имеющих различные коэффициенты теплового линейного расши­ рения в зависимости от кристаллографического направления (уран, кадмий, цинк и др.), но и у некоторых изотропных материалов,