22.25

М82

УД К 539.3

Вкниге излагаются вопросы исследования напряжений, деформаций

ипрочности твердых деформируемых тел при циклических изменениях си­ ловых и температурных параметров.

Рассматриваются упругопластические тела, среды с реономными меха­ ническими свойствами, вязкопластические материалы. Большее внимание

уделено уравнениям состояния, постановкам соответствующих задач, све­ дению их, там, где это возможно, к задачам о нагружении из естественного состояния, методам решения. Включены некоторые вопросы длительной прочности, устойчивости с учетом предыстории и др. Приведены решения частных задач.

Для научных работников в области прочности, инженеров, студентов старших курсов и аспирантов университетов п технических высших учеб­ ных заведений.

Табл. 2, плл. 54, библ. 349.

Виктор Васильевич Москвитин

ЦИКЛИЧЕСКИЕ НАГРУЖ ЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

Редактор Н. П. Рябенькая

Технический редактор С. Я. Шкляр

Корректор М. Л. Медведская

ИБ Ы 11361

Сдано в набор 12.12.80. Подписано к печати 05.08.81. Т-23490. Формат 60Х901/,в. Бумага тип. № 1. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. УсловНпеч. л. 21,5. Уч.-нзд. л. 22,48. Тираж 2950 экз. Заказ Jti 392. Цена 3 р. 60 к.

Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

4-я типография издательства «Н аука». 630077, Новосибирск, 77, ул. Станиславского, 25.

ПРЕДИСЛОВИЕ

При оценке работы несущих элементов конструкций в услови­ ях циклического изменения силовых и температурных параметров возникают специфические проблемы. Они, в первую очередь, свя­ заны с определением соответствующих напряжений и деформаций и формулированием условий возникновения предельных состоя­ ний — нарушение прочности, появление недопустимых перемеще­ ний и т. п.

В настоящей монографии рассматриваются упругопластические тела, среды с реономными свойствами, вязкопластические материа­ лы. При циклических нагружениях упругопластпческих тел, в частности, вследствие изменения механических характеристик материала происходит перераспределение напряжений и деформа­ ций. Введенная в свое время классификация пластических мате­ риалов: материалы циклически упрочняющиеся, циклически разупрочняющиеся и циклически идеальные (впоследствии их иногда стали называть циклически стабильными)— оказалась весьма по­ лезной, она позволила разграничить многообразие упругопласти­ ческих свойств, проявляемых при переменных нагружепиях; эта классификация прочно вошла в литературу.

Характерной особенностью циклических деформаций упругопластических и вязкоупругих тел, в отличие от упругих, является влияние предыстории па состояние в данный момент времени; от­ метим также трудности описания существенно нестационарных процессов нагружений. Вязкопластические тела (например, метал­ лы при высоких температурах) при циклических нагружениях проявляют свойства упругопластических и вязкоупругих сред; по­ этому их исследование сопряжено со значительными трудностями.

В книге большее внимание уделено уравнениям механического состояния, постановкам соответствующих задач, сведению их, там, где это возможно, к задачам о нагружении из естественного состо­ яния методам решения. Кроме того, рассмотрены некоторые воп-

росы длительной прочности при переменных нагружениях, спе­ цифические вопросы устойчивости с учетом предыстории, вопросы теплообразования при циклических деформациях и другие. Вместе с тем здесь почти не нашли отражения исследования упругой ус­ талости, внутреннего трения (с введением известных гипотез) и другие, каждое из которых заслуживает самостоятельных публи­ каций.

Рассмотренным в книге вопросам посвящена многочисленная литература, и хотя приведенный список публикаций содержит 349 наименований, он не отражает в полной мере всех исследова­ ний, результаты которых опубликованы в нашей стране и особен­ но за рубежом.

ВВЕДЕНИЕ

Под циклическими (или переменными) нагружениями тел ни­ же понимаются такие изменения во времени силовых или темпе­ ратурных (или тех и других) внешних параметров, когда во всем теле или в его конечных областях происходит чередование нагру­ жения и разгрузки.

И еще об одном определении, которое будет использоваться,— «нагружение тела из естественного (исходного) состояния». Под естественным понимается такое состояние, при котором в иссле­ дуемом теле отсутствуют какие-либо напряжения и деформации и относительно тела известно, что оно не подвергалось предшест­ вующему деформированию.

Мы будем рассматривать твердые тела с различными механи­ ческими, реологическими и прочностными свойствами. При­ ведем кратко некоторые из этих характерных свойств, причем те из них, которые являются наиболее существенными для оценки напряженно-деформированного состояния и несущей способности элементов конструкций при циклических нагружениях и которые будут ниже использованы.

Упругие тела. Если при деформации твердого тела некоторое условное напряжение не превосходит предел упругости, то после удаления внешних сил тело возвратится в исходное недеформироваиное состояние и при любом последующем нагружении будет вести себя так же, как если бы не было предшествующего нагру­ жения. Классическая теория упругости (включая и нелинейную упругость) не различает случаи первого или последующего нагру­ жения. Это, однако, не означает, что для упругих тел предшеству­ ющие циклические нагружения проходят бесследно. Практически все тела, хотя и в разной степени, обладают внутренним трением. Наличие упругого гистерезиса (который может существенно изме­ няться в процессе деформации (см. § 38)) приводит к тому, что каждый элемент циклически деформируемой среды становится своего рода источником тепла. Соответствующее теплообразование может быть существенным особенно для крупногабаритных конст­ рукций при высоких частотах колебаний. Повышение температуры приводит к появлению температурных напряжений и может вы­ звать в телах изменение упругих констант.

Использование основных законов термодинамики применитель­ но к упругим телам показывает, что в таких телах диссипация энергии равна нулю (§§ 34, 36). Поэтому в этом случае приходит­ ся вводить определенные гипотезы об оценке площади петли упру­ гого гистерезиса с последующей постановкой задачи теплопровод­ ности. Одна из таких гипотез состоит во введении понятия коэф­ фициентов диссипации (§ 35), зависящих, вообще говоря, от тем­ пературы, числа циклов и частоты нагружения.

Наличие в упругих телах всякого рода несовершенств приво­ дит к тому, что в процессе циклических нагружений происходит накопление повреждений, приводящее, в свою очередь, к появле­ нию микротрещин, к разрушению. Явление усталости в металлах известно давно. Кривые Велера (диаграммы циклической долговеч­ ности) для данного материала стали той его характеристикой, ко­ торая может быть использована при оценке этого материала как элемента циклически деформируемой конструкции.

Другой важной характеристикой усталостной прочности мате­ риала являются кривые распределения долговечностей, которые могут быть использованы для оценки работоспособности с по­ мощью теории случайных процессов. С позиций механики такие прочностные характеристики, как диаграммы циклической долго­ вечности, построенные по напряжениям или по деформации, счи­ таются известными и являются основой для построения критерия усталостной долговечности при нестационарных нагружениях. Од­ ной из таких возможностей является использование так называе­ мых кинетических уравнений, которые получили широкое распро­ странение. Путем определенного выбора параметров кинетического уравнения представляется возможность учесть некоторые качест­ венные особенности длительной прочности. В гл. X соответствую­ щие подходы приведены для случая упругопластических тел, од­ нако они могут быть распространены и на случай циклических деформаций в пределах упругости, если известны предельные ус­ ловия типа диаграмм циклической долговечности при стационар­ ных нагружениях.

Склерономные упругопластическис тела. При циклических из­ менениях пластических деформаций наблюдается ряд специфиче­ ских особенностей, которые являются весьма существенными для оценки несущей способности упругопластических тел.

а. Схематические диаграммы циклического деформирования об­ разцов с изменением пластической деформации при постоянных амплитудах напряжения или деформации представлены на рис. 0.1. Здесь по осям отложены некоторое условное напряжение а и деформация э. Как видим, для материалов а с увеличением числа нагружений при неизменной амплитуде напряжений соот­ ветствующие деформации уменьшаются, а в опытах с заданной амплитудой деформации соответствующие напряжения от цинла к

циклу растут. Такие материалы называют циклически упрочняю­ щимися. Для циклически разупрочняющихся материалов б карти­ на прямо противоположная, а для циклически идеальных (ста­ бильных) материалов в диаграммы деформаций повторяются от

цикла к циклу. Имеются и так называемые циклически анизотроп­ ные материалы г с односторонним накоплением деформаций.

Наибольшее изменение диаграмм деформирования происходит при первых циклах, более того, как правило, с увеличением числа циклических нагружений нестабильных материалов наступает ста­ ционарное состояние, такое, что при любом последующем нагру­ жении происходит повторение диаграмм деформирования, т. е. ма­ териал становится циклически идеальным (стабильным). Приве­ денная классификация является очень важной, хотя сейчас ста­ новится ясным, что, вероятно, правильнее было бы называть, например, не циклически упрочняющиеся материалы, а цикличе­ ски упрочняющееся состояние, поскольку для пекоторых материа­ лов могут иметь место схемы или а, или б, пли в в зависимости от числа нагружений (что уже отмечалось), от величины ампли­ туды напряжения или деформации, от температуры и т. п.

Для аналитического описания диаграмм циклического дефор­ мирования могут быть использованы различные подходы, мы огра­ ничимся здесь только двумя, позволяющими получить соотноше­ ние напряжение — деформация для данного нагружения, если из­ вестны соответствующее соотношение при нагружении из естественного состояния и еще одна констапта материала.

Обозначим через о1и эп некоторые условные напряжение и де­ формацию при п-м полуцикле, и пусть соотношение о7~ э' при

Тогда согласно обобщенному принципу (обобщенной гипотезе) Мазинга [163]

(0.2)

И в общем случае, если о8 и э3— напряжение и деформация, характеризующие предел текучести при нагружении из естествен­ ного состояния, то соответствующие величины на плоскости сгп ~ ~ эп будут равны

Легко видеть, что циклически упрочняющимся материадам со­ ответствуют со(га) > 0, циклически разупрочняющимся материалам соответствуют а(п) < 0, для циклически идеальных материалов

а(п) = 0 (точкой отмечено приращение по п). Сюда следует при­ соединить условие <Хг > 2 для упрочняющегося материала, а 2 < 2 для разупрочняющегося и а2 = 2 для идеального материала, если потребовать соответственно упрочнения и разупрочнения (по мо­ дулю) уже начиная с п = 2. При этом для циклически упрочняю­ щихся материалов следует принять а„ > 2, для разупрочняющихся On < 2, для циклически идеальных материалов а„ *= 2 (случай а2 = 2 соответствует принципу (гипотезе) Мазинга [163, 319, 3201). С помощью обобщенного принципа Мазинга можно описать также упругопластические свойства циклически анизотропных материа­

лов: в этом случае значения On при четных и нечетных п будут различны; например, для случая г рис. 0.1 все ап при п нечет­ ных — меньше а п, соответствующих четным значениям гг.

Если вознпкают стационарные состояния, о которых говори­ лось выше, то соответствующие масштабные коэффициенты будут обладать свойством:

Обобщенный принцип Мазинга проверялся экспериментально (например, [57, 163, 2751) и в целом получил подтверждение, в том числе и в случае асимметричных нагружений. В приводимой ниже табл. I, заимствованной из [57], даны значения констант а2

и х при степенной аппроксимации функции оо(гг):

Отсюда следует, что алюминиевые сплавы В-96 и Д-16Т явля­ ются циклически упрочняющимися материалами, сплав В-95 — материал циклически идеальный, сталь ТС после первых 11 цик­ лов становится циклически разупрочпяющимся материалом.

Заметим еще, что с помощью обобщенного принципа Мазинга можно учесть изменение модуля сдвига G после любого (гг — 1)-го упругопластического деформирования. В этом случае соотношение (0.2) следует записать в виде

Р. М. Шнейдеровичем [59, 60] п названное ими обобщенной диаг­ раммой циклического деформирования, записывается следующим образом:

•ж 0 s ^ П

Здесь функция / определяется диаграммой исходного деформиро­ вания

(0.13)

Как видим, соотношение (0.12) содержит, как и (0.2), функцию а' ~ э' при нагружении из естественного состояния и еще одну константу А п.

Зависимости А п — Ain) построены на основании экспериментов для различных материалов и аппроксимированы соотношениями

причем величины а и р иногда принимаются зависящими от сте­ пени исходного деформирования.

Можно проверить, что циклически упрочняющимся материа­

лам соответствует А Ы) < 0, для циклически разупрочияющихся

материалов Ж гс)> 0 , в случае циклически идеальных материалов

Ain) = 0.

Значения констант 4 2 и а для некоторых материалов приведе­ ны в табл. II [581.

Применительно к материалам с линейным упрочнением (0.6)

Как видим, линейное упрочнение сохраняется при любом нагру­ жении, причем коэффициент упрочнения кп определяется констан­ той А п.

Если потребовать, чтобы при п = 2 выполнялось условие для

дом нагружении сохраняется идеальная пластичность (to же еле-

дует и из (0.7)). О некоторых отклонениях от этого результата свидетельствует рис. 0.2, заимствованный из работы [329].

Отметим еще, что с помощью соотношений типа (0.12) могут быть описаны свойства циклически анизотропных материалов [57].

б. Отмеченное изменение параметров ап или А п с числом на­ гружений п характеризует изменение упругопластических свойств

материала, что в свою очередь приводит к тому, что при цикличе­ ских нагружениях тел (с неоднородным распределением напряже­ ний) одной и той же системой внешних усилий будет наблюдать­ ся изменение напряженного и деформированного состояний от цикла к циклу.

в. При Циклических нагружениях упругопластических тел вследствие наличия пластического гистерезиса возникает интен­ сивное теплообразование (гл. V I).

г. При разгрузке тел после их упругопластического деформиро­ вания с неоднородным распределением напряжений могут возник­ нуть так называемые вторичные пластические деформации (§ 13), т. е. новое пластическое состояние, соответствующее знакоперемен­ ным нагружениям. В этом случае при изменении внешних сил по закону пульсирующих циклов будет происходить циклическое из­ менение пластических деформаций.

Д. При Циклических изменениях пластических деформаций воз­ никает малоцикловая усталость (§ 52), и возможно накопление пластических деформаций и прогрессирующее разрушение.

е. При вращении предварительно изогнутого упругопластиче­ ского бруса, в отличие от случая упругих деформаций, наблюда­ ется изменение кривизны оси бруса, причем его изгиб происходит в плоскости, отличной от плоскости действия изгибающего момеп-

та (гл. V II). При простом растяжении — сжатии прямых стерж­ ней и пластин наблюдается изгиб, если они испытали предвари­ тельно определенное циклическое упругопластическое деформиро­ вание. При кручении стержня после его пластического растяжения происходит увеличение осевой деформации, если осевая сила оста­ ется неизменной, и происходит падение осевых напряжений, если неизменной остается осевая деформация.

Эти и целый ряд других примеров показывают, сколь сложны­ ми являются процессы деформирования упругопластических си­ стем при наличии определенной предыстории.

ж. В упругопластических системах после некоторого числа цик­ лических нагружений может возникнуть конструкционная приспо­ собляемость, после наступления которой пластические деформации не будут изменяться в процессе последующих нагружений (гл. V III).

з. Циклические упругопластические деформации оказывают су­ щественное влияние на критические нагрузки, при которых про­ исходит потеря устойчивости вследствие возникновения началь­ ных напряжений; на измепепие параметров, определяющих критические силы; на повышения температуры из-за теплообразо­ вания, которое приводит к уменьшению упругих модулей (гл. IX).

Вязкоупругие среды, а. В линейных и нелинейных вязкоупру­ гих телах, в отличие от идеально упругих, при их циклических нагружениях происходит теплообразование, при этом, вообще го­ воря, возникает связанная* задача определения напряжений и де­ формаций и температурного поля (гл. IV ).

б. При удалении внешних нагрузок в вязкоупругих телах на­ блюдается так называемая обратная ползучесть (§ 24).

в. Имеет место затухание свободных колебаний вязкоупругих тел; в случае резонанса амплитуды перемещений остаются конеч­ ными (гл. V).

г. Имеет место явление виброползучести (§ 25).

Реономные упругопластические тела (вязкопластическиетела). Характерные свойства, приведенные выше для склерономных упругопластических тел и для вязкоупругих тел, сохраняются и для вязкопластических тел.

Г Л А В А 1

ТЕОРИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЦИКЛИЧЕСКИМ НАГРУЖ ЕНИЯМ

§ 1. Основы общей математической теории пластичности А. А. Ильюшина

В основе законов связи напряжений и деформаций в общем случае сложного нагружения лежат: условие однозначности, по­ стулат изотропии, принцип запаздывания векторных и скалярных свойств, гипотеза о разгрузке и постулат пластичности. Они сфор­ мулированы при следующих предположениях:

1.В исходном состоянии тело является изотропным.

2.Считается, что в достаточно малой окрестности любой точки

деформированного тела состояние является однородным; при этом процессы изменения во времени однородной деформации окрестно­ сти точки неоднородно деформируемого тела и однородной дефор­ мации образца конечных размеров при одинаковых напряжениях

ивнешних условиях протекают одинаково.

3.Деформации считаются настолько малыми, что их квадратом по сравнению с самими величинами можно пренебречь.

4.Исключаются из рассмотрения реономные свойства мате­ риала.

Приведем кратко основы общей математической теории плас­ тичности, сформулированные А. А. Ильюшиным [82—86].

Условие однозначности. Это условие формулируется следую­

щим образом: при заданном начальном состоянии, известном из­ менении во времени внешних параметров (температуры, дозы облучения и т. п.) и заданном процессе деформирования (т. е. изменении во времени тензора деформаций) тензор напряжений в каждый момент времени определяется однозначно.

Необходимость введения этого условия связана с тем, что не­ возможно, например, в двух опытах осуществить совершенно оди­ наковое изменение внешних параметров, одинаковые процессы деформаций, что в свою очередь приведет к отклонениям в значе­ ниях тензора напряжений. Условие же однозначности по суще­ ству означает, что отклонения в значениях тензора напряжений будут малы, если малы отклонения в значениях внешних пара­ метров и тензора деформаций.

Векторное представление процесса деформации и постулат изо­ тропии. Как известно, тензор деформаций е«, связанный с фикси­ рованной декартовой ортогональной системой координат

можно представить в виде суммы двух тензоров

е« = бфм/З + dij

шарового тензора и тензора девиатора, причем среди Эц лишь пять независимых, так как Эц = 0. Аналогичным образом представляет­ ся тензор напряжений

Оа = 6ij<W3 + s{j.

Считается, что задан процесс в напряжениях или в деформа­ циях, если заданы соответственно s{j(t), o{i(t) или э^И), s {{( t ) в лю­ бой момент времени t. В дальнейшем, однако, с целью установле­ ния связи напряжений и деформаций ограничимся заданием $tiU) и потому что, во-первых, Он и е« связаны между собой, на­ пример, простейшей зависимостью

для векторного представления девиатора деформаций ввести про­ странство пяти переменных эк, в котором определенным образом введена метрика (пятимерное евклидово пространство Эь). В этом пространстве выберем единичный ортогональный репер eh (еАе^ = = б**), в котором зададим пятимерный вектор деформации

тождественный девнатору эу, т. е. должно быть выполнено усло­

Очевидно, из соотношения (1.3) эк определяются через Эц неод­ нозначно. Рассмотрим одно из возможных определений. За вели­ чины э3, эК, эъудобно принять

Нетрудно проверить, что эти уравнения будут удовлетворены, если принять

У Эц = эг cos Р + э2sin р,

Входящую в эти соотношения величину {5 будем считать посто­ янной; при изменении параметра (} происходит вращение вектора

во времени и величины эк. При этом конец вектора деформации э описывает в пространстве деформаций кривую, которую будем на­ зывать траекторией деформации. Квадрат элемента длины дуги этой траектории будет

dsz = ddkddk = ddijddij,

Теперь мы можем вместо времени t ввести длину дуги s и рас­ сматривать вектор э как функцию s.

Внутренняя геометрия траектории деформации определяется движением по ней так называемого пятигранника Френе; для его построения введем в каждой точке траектории деформации свой

Эти пять векторов, вообще говоря, линейно независимы; построим но ним местный ортогональный репер qfc. За qt примем qt = dd/d$ — единичный вектор, направленный по касательной к тра­

ектории деформации. Последующий вектор представим в виде

й2э .

Ч2 = ^2 + « А .

причем величину at найдем из условия ортогональности q2 и q Продолжая аналогичным образом, определим q3, q4, q5. Нормируя найдем единичные векторы искомого сопровождающего пяти­

гранника Френе

%Чб

Из приведенного построения видно, что pfc есть лннейиые ком­ бинации векторов э*; в свою очередь, э* линейно выражаются че­ рез рн, причем коэффициенты в этих соотношениях зависят от

четырех скалярных величин

da* dak

(1.8)

y' hh dsh dsh '

Приведем теперь обобщенные формулы Френе, выражающие производные dph/ds через р*:

выражаются через скалярные величины xftk (1.8). Величины XiU), . . х4Ы являются характеристиками внутренней геометрии траектории деформации; иначе говоря, траектория деформации с точностью до положения в пространстве деформаций Эь определя­ ется однозначно заданием хДз), x2(s), х3($), х 4Ы .

Используя обобщенные формулы Френе, можно производную любого порядка вектора э($) по s и интеграл любой кратности от эЫ по s (траектории, для которых существует бесконечное число производных от э по s) выразить через р1? ..., р5.

Поэтому любой векторно-линейный оператор L (э) над э по s с коэффициентами, зависящими от xft и s, можно представить в виде

формации, т. е. оператор £(э) является инвариантом преобразова­ ния вращения и отражения в пространстве деформаций 35.

В силу большой общности оператора Ь (э) любой физический вектор, связанный траекторией деформации и представленный в форме (1.10), также будет определяться внутренней геометрией траекторий деформации.

Среди физических величин нас в первую очередь будет инте­ ресовать вектор напряжений о, который может быть построен со­ вершенно аналогично вектору деформаций э. При заданном дав­ лении р = — Сц/3 напряжения определяются пятью независимыми

Постулат изотропии проверялся экспериментально и к настоя­ щему времени получил весьма убедительное обоснование. Здесь в первую очередь следует отметить работы В. С. Ленского L131— 133] и других авторов [4, 30, 69, 71, 280]. Большей частью это были опыты с тонкостенными трубками, которые испытывали рас­ тяжение и кручение (в том числе с изменением направления на­ гружения) в любой последовательности.

При соответствующем выборе системы координат в рассматри­

Таким образом, в нашем случае только два компонента вектора

траектории Н \эд = э 1, э1= а 3)» являющейся отражением Траекто­ рии I относительно биссектрисы координатного угла, векторы на­ пряжений должны быть отражением соответствующего вектора траектории I. Из опытов обнаружено, что действительно в соответ­ ствующих точках траекторий / и I I векторы напряжений с высо­ кой степенью точности одинаково ориентированы относительно траекторий и совпадают по модулю.

Разнообразие исследованных при экспериментальной проверке постулата изотропии траекторий деформации, набор использован­ ных чистых металлов и сплавов позволили утверждать, г1то посту­ лат изотропии является общим законом поведения первоначально изотропного материала при произвольных нагружениях.

Принцип запаздывания векторных и скалярных свойств. Этот принцип формулируется следующим образом: ориентация и мо­ дуль вектора напряжений относительно траектории деформации определяются не всей историей процесса деформирования из на­ чального состояния, а лишь некоторым конечным участком траек­ тории деформации (след запаздывания), непосредственно предшест­ вующим рассматриваемому моменту. (Обстоятельный разбор воз­ можных уточнений этой формулировки и следствий из принципа приведены в [30].)

Обозначим величину следа запаздывания через А; величина А в зависимости от материалов колеблется в пределах (3— 10)ев(е,— предел текучести по деформации при чистом растяжении), причем рекомендуется определять величину А из опытов по анализу век­ торных свойств, поскольку свойство ограниченной «памяти» ска­ лярных свойств проявляется на меньших участках траектории де­ формации.

Факт запаздывания векторных свойств может быть обнаружен из эксперимента, например, когда траектория деформации, начи­ ная с некоторой точки Л/, становится прямой линией. При этом

Рис. 1.2. Изменение угла наклона вектора напряжения для траекторий двух­ звенных ломаных.

На рис. 1.2, я представлен результат экспериментов (сталь 38ХА) по определению зависимости угла наклона а(Д$) вектора напряжений о (As отсчитывается от точки излома А ) в случае траектории в виде двухзвеиных ломаных (рис. 1.2, б). Различные образцы деформировались до точки излома А так, что для всех образцов отрезок ОА составлял ОА = s0= 0,012, углы же излома а0 были различными. Как видим, действительно с увеличением

Дs угол а стремится к нулю и, во-вторых, отношение a(As)/a0 не зависит от угла а0 (дополнительными экспериментами установле­ но, что отношение a/a0 зависит от величины s0).

В случае переменных нагружений представляют интерес тра­ ектории с периодически меняющейся кривизной. Траектории, ис­ следованные Р. А. Васиным [301, имели в плоскости эх~ эг (1.14) форму сопряженных полуэллипсов с центрами, лежащими на оси эи т. е. осуществлялось монотонное растяжение образца с периодическим закручиванием в ту и другую сторону. Эти экс­ перименты подтвердили принцип запаздывания: наблюдалось пе­ риодическое изменение угла <хЫ наклона вектора напряжений к касательной к траектории деформации, что является следстви­ ем принципа, поскольку в этих опытах периодически менялась

С учетом принципа запаздывания векторных и скалярных

Выпишем еще интегральное представление а ~ э:

о

dW = рг Ы ) dsv

Это представление эквивалентно (1.12) в том случае, если траектория деформации такова, что эЫ имеет бесконечное число производных в каждой своей точке. В самом деле, разложим

P iU j в ряд Тейлора

вчем и следовало убедиться.

Всилу принципа запаздывания вектор напряжений о зависит не от всей траектории деформации, а лишь от участка длины h. Поэтому

8

Принцип запаздывания скалярных и векторных свойств явля­ ется особенно важным при исследовании циклических нагруже­ ний, поскольку в этом случае длина дуги траектории деформации, в отличие от самих деформаций, при большом числе циклов мо­ жет быть значительной, и учет всей предыстории был бы прак­ тически крайне затруднительным.

Приведем теперь определение траекторий простого и сложного нагружения. Траекториями простого нагружения (деформирова­ ния) будем называть траектории в пространстве деформаций, для которых единичный вектор э/э постоянен (не изменяется в процессе нагружения); это — прямые, проводящие через начало координат. Все другие траектории будем называть траекториями

т. е. вектор напряжений в течение всего времени деформирования направлен вдоль прямой линии. Это означает, что и в простран­ стве напряжений траектория есть прямая линия, проходящая че­ рез начало координат.

Гипотеза о разгрузке и деформационная анизотропия. Допус­ кается возможность представления тензора деформации в виде суммы упругой и пластической части

причем тензор упругих деформаций связан с тензором напря­ жений о« = s{i + бцОы/3 обобщенным законом Гука, который для изотропного материала записывается в виде

где G — модуль сдвига, К — модуль объемной деформации. Предположим, что среднее напряжение Оц/З пропорционально

относительному изменению объема (.1.1)

Сравнивая (1.21) и (1.22), заключаем, что &и = ви» а значит, от­

носительное изменение объема e?i за счет пластической части деформации в этом случае равно нулю. Поэтому соотношение (1.19) можно записать и для девиаторов

Будем говорить, что на некотором участке траектории дефор­ мации осуществляется разгрузка, если на этом участке вектор эр остается постоянным. Поэтому можно заключить, что при продол­ жении нагружения из некоторой точкн М траектории деформа­ ции (такой, что в этой точке dbvJds Ф 0) всевозможные траекто­ рии разобьются на два множества. Траектории одного множест­ ва обладают тем свойством, что при движении по ним вектор пластической деформации остается неизменным, т. е. происходит разгрузка. При движении вдоль траекторий другого множества изменяется и вектор пластической деформации эр, иначе говоря, осуществляется активное нагружение (активная деформация). Траектории активной деформации и разгрузки в пятимерном про­ странстве деформаций Э5 разделены пекоторой поверхностью F (э) = 0, проходящей через точку М. Эту поверхность будем на­ зывать поверхностью текучести; соответствующую поверхность в пространстве напряжений — поверхностью нагружений. Вид по­ верхности текучести и поверхности нагружений зависит от пред­ шествующего (до точки М) участка активного нагружения.

Слагаемое вектора деформации эе в общем случае анизотроп­ ного материала связано с вектором напряжений о соотношением

что, во-первых, дает возможность измерить пластические дефор­ мации и, во-вторых, указывает, что пластические деформации сов­ падают с остаточными деформациями при однородных состояниях.

Матрица коэффициентов упругости (Е ) зависит, вообще гово­ ря, от участков траектории активной деформации, поэтому из (1.25) следует

Дэе s (E -JA o - o M E -i).

Изменение коэффициентов упругости вследствие пластическо­ го деформирования (деформационная анизотропия) наблюдал еще Баушингер. Влияние активного нагружения на матрицу (Е ) ис­ следовали А. М. Жуков [70], О. А. Шишмарев и Е. Я. Кузьмин [281], А. А. Вакуленко [28], Р. А. Васин [15, 31] и другие авто­ ры. На важность учета изменения коэффициентов упругости в тео­ рии пластичности (особенно в теории течения) указал А. А. Иль­ юшин [84]. Количественно изменение коэффициентов упругости при пластическол! деформировании может достигать (15—20)%.

Постулат пластичности. Постулат пластичности отвечает на вопрос — существует ли на данной траектории участок активной деформации. Формулируется он следующим образом: работа век­ тора напряжений W0 по любой замкнутой в пространстве дефор­ маций траектории равна нулю, если на всей траектории не происходит изменения вектора пластической деформации эр, и по­ ложительна, если хотя бы на некоторых участках траектории вектор пластической деформации не остается постоянным. Иначе, работа вектора напряжений

(1.27)

на любом замкнутом в Э5 по деформациям процессе неотрица­ тельна.

Если рассмотреть процесс нагружения, замкнутый не по де­ формациям, а по напряжениям, и определить соответствующую

работу W at то окажется [85], что всегда W 3^ W d, т. е. из усло­ вия Wo > 0 следует и W ' > 0.

Полная работа напряжений, как известно, может быть пред­

где, как отмечалось, фh(t, т) — заданные линейно независимые функции.

С целью построения простейших соотношений и для опреде­ ленности ограничимся случаем представления функционалов

Bh= Bh (s') в следующем виде:

Здесь нижний предел интегрирования заменен па величину s0y которая определяет точку на траектории деформации, начиная с которой э' становится константой. Дополнительную информацию можно получить из опытов на простое нагружение, при

Bh == э j* Bh (at, эт) \|)ft (ax) dr.

о

Мы постулировали вид функционалов Вк в форме (2.5) без их аналитического исследования; возможно, что при этом не удастся удовлетворить всем экспериментальным наблюдениям; вместе с чем в (2.5) содержится определенный произвол для их описания.

отмечалось, справедливы соотношения (2.11).

Запишем теперь условия на границах Г 4, Г2, Г3 соответствую­

На границе Г2 начинается разгрузка из пластического состоя­ ния. При этом должно быть выполнено условие неизменности пластических слагаемых деформаций. Это условие запишем в диф­ ференциальной форме

На границе Г3 возникает новое пластическое состояние после предшествующей разгрузки. Соответствующее условие пластично­ сти определится уравнением мгновенной поверхности текучести,

записанным для состояния Sijj 3ij перед началом разгрузки. При­ мем, что в процессе активного нагруження из исходного естествен­ ного состояния поверхность текучести изотропно изменяет свои размеры, а ее центр э\$ смещается в соответствии с изменением пластических слагаемых деформации = a*j — s\j/(2G). Пусть

ЭИ ^ уsfj (у — безразмерная константа материала). При этом ус­ ловие пластичности будет

(4- - V*1} + Y*U/(2G)) (э'и - уэ[; + ysli/{2G)) = э?/4, (2.15)

где эе— диаметр гиперсферы в пространстве 35, измененный по отношению к начальному 2э9 вследствие указанного выше изот­

от точки начала разгрузки, t* — соответствующее время. В ядра Ль введен известный параметр s' (длина дуги траектории де­ формации до начала разгрузки) с целью возможности учета влия­

Это условие для слабоупрочняющихся материалов (^ < 1 ) уп­ рощается

Дифференциальные уравнения равновесия^ граничные условия и соотношения Коши в переменных Oij, Ьц , щ запишутся с учетом обозначений (2.18) и соответствующих соотношений (2.1), (2.2) для величин Oij, ejj, щ и (2.16), (2.17) для величин

Здесь предположено, что соответствующие части внешней гра­ ницы тела с заданными усилиями и перемещениями при нагру­ жении из исходного состояния и при переменном нагружении сов­

постановке близка к задаче нахождения величин &iji &iji Mi П р и нагружении из естественного состояния. Но есть и различия; ус­

с соответствующей коррекцией.

§ 3. Вариант связи в ~ э при переменных нагружениях упругопластических тел

В этом параграфе будут приведены уравнения состояния для одного класса переменных нагружений.

Пусть процесс нагружения первоначально изотропного одно­ родного тела (образца) описывается в пятимерном пространстве напряжений 25 с координатами а*, связанными с девиатором si5 тензора напряжений оу соотношением, аналогичным (1.3),

или, поскольку оки эк связаны соответственно с sц и эц линейны­

ми однородными соотношениями (1.3) и (3.1), то

S{j — 09{j/Э.

Эти уравнения являются исходными в теории малых упруго­ пластических деформаций [81]; запишем их для состояния О':

причем до появления пластических деформаций а7= 2Ga7.

Будем считать, что точке О' соответствует состояние вне на­ чальной поверхности текучести, которая в случае условия пла­

где оа— предел текучести при растяжении.

Пусть теперь из состояния О' осуществляется разгрузка и по­ следующее нагружение вдоль луча О 'О " ^ составляющего некото­ рый угол 0 ^ ф < я/2 с прямой О'О. Ограничение для угла свя­ зано с тем, что мы условились рассматривать переменные нагру­ жения как нагружения с промежуточной разгрузкой. Поэтому начальный участок луча О 'О " должен находится внутри мгно­ венной поверхности нагружения, построенной для точки 0\ что находится в соответствии с определением понятия разгрузки

Уравнения мгновенной поверхности нагружения мы запишем, предположив, как и в § 2, что поверхность изотропно изменяет свои размеры, так, что ее начальный диаметр 2о3 становится рав­

ным as, а центр гиперсферы перемещается в точку 0° с коорди­ натами сг°:

Заметим, что справедливы следующие соотношения:

которые следуют из (3.3), (3.4) и аналогичных соотношений для величин, отмеченных двумя штрихами. При этом

о* и э* с модулями о* и э*. Вектор о* за все время переменного нагружения направлен вдоль луча О'О " Соответствующий век­ тор ^деформаций э*, построенный в точках траектории на участке

ность нагружения (3.8), построенную для точки О'. Поэтому ус­

Преобразуем это условие. Поскольку поверхность (3.14) про­ ходит через точку О' с координатами ок, то имеет место соот­

Из (3 .2 1 ) при ср -*■ 0 следуют известные векторные соотноше­ ния теории малых упругонластпческих деформаций при перемен­

с использованием результатов соответствующих экспериментов. Здесь, прежде всего, следует воспользоваться соотношением о ~ э

Если результаты опытов обраба-

___ тывать с помощью обобщенного принципа Мазинга (см. Введение,

^(0 .2 )), то после определения за­ висимости o7os = Ф'{э'/эа) нахо­ дятся соотношения

При растяжении — сжатии несжимаемого стержня

поворота на участке длины £, Р — осевая сила, F — площадь по­ перечного сечения, AZ/Z — относительное удлинение.

на существенно сложные циклические нагружения по программе

О'О" Если проводятся опыты на совместное растяжение и цик­ лическое кручение тонкостенной трубки, то для несжимаемого

после разгрузки и при последующем нагружении из состояния Пх?п3 справедливы соотношения

жения определяется вектор э* путем нахождения его модуля э* и угла а* между векторами э* и о*. В точках траектории нагру­ жения находятся деформации э* = — э1, э3 = э3— э3, а иско­ мые функции г|)1 и х|)2 определяются из соотношений (3.24)

В любом случае функции^ (а*, а*) и а|)2 (о*, а*) должны удов­ летворять следующим условиям:

Мы рассмотрели выше процесс переменного нагружения в пространстве напряжений 25. Пусть теперь в пятимерном прост­ ранстве деформаций Эъ осуществляется нагружение по некоторо­ му лучу до состояния, характеризуемого вектором деформации э' с координатами зд. Предполагается справедливым условие пла­ стичности Губера — Мизеса в деформациях

(3 fe3ft)1/2 = э3.

При а > а, процесс нагружения описывается уравнениями (3.5). Из состояния а', о' осуществляется разгрузка и последую­ щее нагружение вдоль луча, начальный участок которого нахо­ дится внутри мгновенной поверхности текучести, построенной для точки э'. При этом до достижения нового пластического со­ стояния справедливы соотношения (3.13). Условие пластичности запишется в виде

ный вектор, направленный ортогонально к вектору э* и распо­ ложенный в плоскости начальной и последующей траекторий де­ формации. Очевидно

Чг = (э* cos у/а* — э7а') sin у,

при этом учтено, что отклонение вектора о* происходит в сторо­ ну, обратную направлению вектора э'

Учитывая это, преобразуем (3.30) к искомому виду

Функции pi и р2 определяются путем обработки соответству­ ющих экспериментов совершенно аналогично тому, как это опи­

которые по внешнему виду напоминают векторные соотношения теории малых упругопластических деформаций при переменных нагружениях (см. § 1 0 ), однако только по внешнему виду, по­

скольку в (3.36) скалярное соотношение содержит величину as, указывающую #а то, что, вообще говоря, соотношение а* ~ а*

зависит от взаимной ориентации траекторий (лучей) деформации при исходном и переменном нагружениях.

Сделаем еще замечание относительно применимости уравне­ ний (3.35). Хотя при выводе этих уравнений мы использовали предположение о том, что при переменном нагружении соответст­ вующие траектории есть отрезки прямых линий, практически они могут быть применены в несколько более общем случае. Здесь дело обстоит так же, как в деформационной теории пластичности, которая нашла широкое применение в практических расчетах, хотя и ограничена известными требованиями к траекториям на­ гружения.

§ 4. Постановка задачи. Единственность решения

1 . Воспользуемся введенными в § 3 уравнениями состояния и приведем постановку задачи о переменном нагружении упру­ гопластического тела.

Пусть некоторое первоначально изотропное твердое тело, не имеющее начальных напряжений, деформируется статически объ­ емными силами F i, поверхностными силами R\ па части Sa внешней границы тела; кроме того, на части Su границы тела заданы перемещения Щ\. При этом предполагается, что под дей­ ствием этих сил и граничных перемещений в теле появляются области пластических деформаций. Силы, граничные перемеще­ ния и положения точек исследуемого тела определены в некото­ рой произвольной системе прямолинейных ортогональных координат (#!, х2, х3), которые впредь будем обозначать сим­ волом X.

Возникающие при нагружении напряжения определяются в указанной системе координат симметричным тензором напряже­ ний j, деформации — тензором перемещения — компонен­

тами вектора перемещений щ.

Будем рассматривать только малые деформации, поэтому ком­ поненты тензора деформаций s-j связаны с перемещениями ли­ нейными соотношениями Коши

(4.1)

из которых следует шесть известных уравнений совместности де­ формаций

Компоненты тензора напряжений должны удовлетворять трем дифференциальным уравнениям равновесия

Должны удовлетворяться граничные условия

Выпишем теперь уравнения состояния. В области упругих деформаций напряжения и деформации связаны обобщенным за­ коном Гука

В области пластических деформаций мы воспользуемся соот­ ношениями (3.6) теории малых упругопластических деформаций

от вида напряженного состояния. При использовании соотношений (4.6) вводятся ограничения на внешние параметры с тем, чтобы в пространстве деформаций Э5 соответствующие траектории были прямыми или близкими к прямым в каждой точке деформируе­ мого тела (см. § 11).

На границе областей упругих и пластических деформаций должно выполняться условие пластичности

которое в пространстве Эъ определяет начальную поверхность те­ кучести.

Будем считать, что приведенная выше задача решена, т. е. известны деформации e*j и напряжения Oij в каждой точке тела.

Рассмотрим теперь процесс разгрузки и последующего пере­ менного нагружения объемными силами F i , поверхностными силами Ri на части границы Sa при перемещениях Щ% на части граничной поверхности Su. Пусть возникающие при этом напря-

Мы ограничимся здесь рассмотрением лишь локальных усло­

Таким образом, при выполнении условий типа (4.27) не могут существовать два решения поставленной выше задачи, отличаю­ щиеся на малую величину.