книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы
..pdfта будет устойчивой, т. е. при небольших отклонениях электрона от траектории, описываемой уравнением (2.114), будет возникать сила, возвращающая электрон обратно на равновесную орбиту. Если электрон сместился в радиальном направлении от равновес ной орбиты на небольшую величину Дг, то, очевидно, возникнет радиальная сила, действующая на электрон, равная
йгг
т — —— — mrco2 — еЕг, (2.115) at2
где со и Ег— круговая частота и радиальная составляющая напря женности поля на неравновесной орбите г=г0+Аг.
Для малых значений Дг можем приближенно положить
Ег ж Ет0— = |
Его— |
- |
« |
Его ( 1 — — ) |
(2.116) |
|||
Используя известный из механики закон сохранения углового |
||||||||
момента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mr2(o = |
mrl wo, |
|
|
(2.117) |
|
представим со |
как г02(оо/(г0+Д г)2. Подставим полученное выраже |
|||||||
ние со, Ег из |
(2.116) |
и г= г0 + Аг в (2.115). Поскольку |
Дг — малая |
|||||
величина, членами второго порядка |
относительно |
Дг |
можно пре |
|||||
небречь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда уравнение (2.115) преобразуется к виду |
|
|
||||||
d!2 |
о |
2 |
|
& |
в |
Дг |
(2.118) |
|
— |
(Дг) = |
г0(о0 — 3©о Д г --------Его ------- Его— . |
||||||
at2 |
|
|
|
m |
m |
r0 |
|
|
Если теперь выразить Ег0 из |
(2.114) |
и подставить в (2.118), то |
||||||
последнее уравнение будет упрощено: |
|
|
|
|
||||
|
|
d2 |
|
2 |
|
0. |
|
(2.119) |
|
|
^ ( Д г ) + |
2(ооДг = |
|
||||
Решение этого уравнения с граничными условиями t= t0 Дг=0 |
||||||||
имеет вид |
|
|
A sin['|/2'(Oo(/ — /0)]. |
|
|
|||
|
|
Дг = |
|
(2.120) |
||||
Следовательно, электрон, сместившийся с равновесной орбиты, будет совершать колебания_около этой круговой траектории, пере секая ее через каждые я /] /2 радиан — 127°
Устойчивость движения электронов в цилиндрическом конден саторе вытекает также из следующих рассуждений. Поскольку в цилиндрическом конденсаторе распределение потенциала описыва ется логарифмическим законом,
e(Ul - U 2) 1_ |
£1 |
|
Го |
||
Го |
Последний член уравнения (2.114) можно представить в виде
2 |
|
tnR* |
Сг |
|
тсоо |
г0 — |
— — |
г3’ |
(2.122]j |
|
|
г3» |
о |
|
где А|, = r0v$ — .момент вращения.
С учетом (2.121) и (2.122) уравнение (2.114) можно записать таким образом:
£i ___ £2
(2.123)
го ~ г3о *
При смещении электрона от равновесной орбиты в сторону оси равенство (2.123) нарушается, причем правая его часть становит ся больше левой. Это означает, что электрическая (фокусирую щая) сила оказывается недостаточной для того, чтобы удержать
Рис. 2.32. Пучок, сформированный системой цент робежно-электростатической фокусировки
электрон на орбите с радиусом г<г0, т. е. электрон будет смещать ся от оси в сторону равновесной орбиты. Наоборот, при смещении электрона с равновесной орбиты в сторону от оси (г>г0) левая часть равенства (2.123) становится больше правой, т. е. возникает избыточная электрическая сила, направленная в сторону оси, за счет которой электрон будет смещаться опять к равновесной ор бите.
Таким образом, в поле цилиндрического конденсатора может существовать устойчивый электронный поток в виде соосного с электродами цилиндра. Если электроны, вводимые в поле цилинд рического конденсатора, кроме азимутальной скорости Оф, имеют отличную от нуля осевую скорость ог, то, очевидно, составляющая и, останется неизменной, поскольку между обкладками конденса тора Ег—0, и траектории электронов будут иметь вид спиралей, накручивающихся на цилиндр с радиусом г0, а сам пучок будет иметь вид тонкостенной трубы (рис. 2.32).
При рассмотрении центробежной фокусировки мы не учитывали действие пространственного заряда. При не очень малых первеан-
сах наличие пространственного заряда приводит к изменению рас пределения потенциала между электродами цилиндрического кон денсатора. До некоторых значений первеанса действие пространст венного заряда удается скомпенсировать увеличением |радиальной составляющей напряженности электрического поля. При увеличе нии первеанса жесткость центробежно-электростатической фоку сировки оказывается недостаточной, пучок становится неустойчи вым, токопрохождение нарушается. Анализ устойчивости центро бежно-сфокусированного трубчатого пучка показывает, что максимальное значение первеанса, при котором возможно сущест вование стабильного электронного потока в поле цилиндрического конденсатора,
Рт^ = ^ Гг=33-10~ва ~ , |
(2.124) |
|
г |
г |
|
где Uг— ускоряющее напряжение, определяющее осевую скорость электронов; AU=UI— U2\
1
(га и гь — радиусы внутренней и внешней границ пучка). Приведенные примеры фокусировки интенсивных электронных
пучков показывают, что при помощи электростатических полей можно сформировать электронные потоки практически любых кон фигураций. Однако для каждой конфигурации пучка существует предельное значение коэффициента пространственного заряда Ртах, превышение которого приводит к нарушению стабильности электронного потока.
§ 2.5. МАГНИТНАЯ ФОКУСИРОВКА ИНТЕНСИВНЫХ ПУЧКОВ
Как было указано, расталкивающее действие пространственного заряда интенсивного электронного пучка может быть скомпенсиро вано действием внешнего магнитного поля. Очевидно, если на гра нице пучка магнитная сила Лоренца равна по величине и противо положна по направлению электрической силе кулоновского рас талкивания, то пучок будет сохранять заданную форму. Иными словами, внешнее магнитное поле может быть использовано для поддержания стабильного электронного потока в пространстве, ограниченном поверхностью, в любой точке которой выполняется указанное граничное условие.
Сила Лоренца пропорциональна скорости электрона [см. (1.6)]. Поэтому при использовании магнитной фокусировки электроны
пучка до входа в магнитное поле должны иметь необходимую ско рость, т. е. должны быть предварительно ускорены электрическим полем. Можно сказать, что магнитное поле во многих практичес ких случаях используется для ограничения расширения пучка, предварительно сформированного электростатической системой. Ввиду этой особенности формирования пучков магнитными поля ми часто наряду с общим термином «магнитная фокусировка» пользуются более конкретным понятием — «ограничение» пучка магнитным полем.
Из (1.6) следует также, что в системах магнитной фокусировки электроны пучка должны иметь составляющие скорости, перпен дикулярные к направлению магнитной индукции, так как при v||B фокусирующая сила равна нулю. Магнитные поля могут слу жить для формирования (ограничения) электронных потоков прак тически любых конфигураций.
Рассмотрим осесимметричный электронный пучок. Как было показано в § 2.1, наличие пространственного заряда приводит к появлению силы, действующей на электроны в радиальном (от оси) направлении [ем. (2.8)]. Для компенсации этой расфокусирующей силы необходима радиальная, направленная к оси, магнитная фо кусирующая сила. В случае использования для фокусировки (огра ничения) пучка продольного магнитного поля радиальная фокуси рующая сила будет лишь при наличии у электронов пучка азиму
тальной скорости |
1^ =гф [это |
непосредственно следует |
из опреде |
||
ления силы Лоренца, см. (1.6)]. |
было |
показано |
в |
||
Азимутальное |
движение |
электронов, как |
|||
§ 1.6, описывается третьим уравнением системы |
(1.92): |
|
|
||
|
|
|
|
(2.125) |
|
Проинтегрируем это уравнение с учетом |
начальных условий: |
||||
при t= t0 r= rQф = фо, А$= А^: |
|
|
|
||
|
|
т |
|
(2.126) |
|
|
|
|
|
|
|
Для осесимметричного магнитного поля А =А <«, (Л2= Л г= 0) |
и |
||||
векторный потенциал может быть выражен через магнитный поток lF, пронизывающий часть плоскости, перпендикулярной к оси сим метрии (0Z), ограниченной окружностью радиуса г:
(2.127)
2яг
г
о
(2.129)
Это соотношение, называемое те о р е м ой Бу ша, показыва ет, что угловой момент, приобретаемый электроном при смещении с орбиты радиуса г0 на круговую траекторию радиуса г, пропор ционален разности магнитных потоков через соответствующие по перечные сечения, ограниченные окружностями радиусов г0 и г. Теорема Буша широко используется при расчетах магнитных сис тем, формирующих осесимметричные электронные пучки.
В некоторых случаях выражение (2.129) может быть упрощено. Так, например, если рассматривать траекторию электрона, выхо дящую с края круглого катода (г0= гк— радиус катода), прони зываемого потоком магнитной индукции Ч-,,. то при пренебрежении
начальными скоростями электронов (фк= 0 ) теорема Буша прини мает вид
е
Г2!]) = 2пт ( Ч - Ч „ ) . |
(2.130) |
||
Для параксиальной |
области |
можно приближенно положить |
|
В(г, г) « В(2, 0) = Во( |
2). Тогда |
|
|
Чг„ = ягк5„, |
Ч = яг2В0(г)‘, |
(2.131) |
|
где Вк— величина магнитной индукции на оси в плоскости катода. Подставив выражение магнитных потоков из (2.131) в (2.130),
получим теорему Буша для параксиальной области:
(2.132)
Если весь электронный поток, выходящий с катода, и сам катод находятся в однородном продольном магнитном поле
B0(z) =B K= const, то
Ч’ = 2^ |
в " [ 1- ( т |
)1 |
(2' Ш ) |
т. е. азимутальная скорость |
электронов |
определяется |
величиной |
магнитной индукции и отношением rjr. Для траекторий электро нов, удаленных от оси на расстояние, равное радиусу катода
(г = гк) , азимутальная скорость |
обращается в нуль, траектории на |
|||
цилиндрической поверхности с |
радиусом гк не |
«закручиваются». |
||
Если же в |
плоскости катода магнитная индукция равна |
нулю |
||
(£ к = 0), т. е. |
катод полностью экранирован от магнитного |
поля |
||
или является |
точечным источником электронов |
(гк= 0), то |
все |
|
электроны потока будут иметь одинаковую азимутальную ско
рость, однозначно определяемую величиной магнитной индукции [ср. с (1.94)]:
Ф = 2 ^ 5o(Z)- |
(2133а) |
Составим уравнение движения в радиальном направлении крайнего электрона осесимметричного пучка в параксиальной об ласти. Предположим, что электронный поток распространяется в эквипотенциальном пространстве. Действие пространственного за ряда, как было показано в § 2.1, приводит к появлению радиально направленной расфокусирующей силы — силы кулоновского рас талкивания [см. (2.8)]:
el
Fn =
2яео |
U а Г |
Эта сила должна быть добавлена в правую часть второго урав нения системы (1.91), описывающего радиальное движение элек трона в параксиальной области осесимметричного магнитного по ля. Таким образом, уравнение движения электрона в радиальном направлении с учетом действий пространственного заряда при нимает вид
т(г — гф2) — — еЩВ0 (z) -f- |
el |
(2.134) |
Л 2е 2зтео у — Uo г
’ т
Подставив в это уравнение ф из (2.132), после несложных пре образований получим
е2 |
2 |
|
тг -\------- В |
о [ |
(2.135) |
4 т |
Контур пучка определяется траекторией крайнего электрона. Уравнение траектории можно получить при переходе в (2.135) от дифференцирования по t к дифференцированию по z; при этом сле дует пользоваться соотношением (ем. § 1.6)
d2r е d2r dt2 т 0 dz2 ’
Таким образом, уравнение (2.135) преобразуется к виду
d2r 4 z2
|
= 0. |
(2.136) |
-\l2e_ W>r |
|
|
4яео ’ |
т |
|
Уравнение (2.136) является |
уравнением траектории |
крайнего |
электрона интенсивного осесимметричного пучка в параксиальной области осесимметричного магнитного поля в проекции на меридио нальную плоскость, поворачивающуюся вокруг оси с азимуталь ной скоростью, определяемой теоремой Буша (2.132).
В общем случае решение уравнения (2.136) представляет зна чительные трудности. Если предположить, что в области распро странения электронного потока магнитное поле однородно, то, не решая уравнения, можно сделать важный вывод о возможности существования равновесного радиуса пучка, при котором суммар ная радиальная сила на границе пучка будет равна нулю. В самом деле, при определенных величинах магнитной индукции и первеанса пучка можно найти такое значение г = г0, при котором второй и третий члены уравнения (2.136) станут равными по абсолютной величине. Очевидно, в этом случае d2r/dz2 = 0 и, следовательно, d2r/dt2 = 0, т. е. на границе пучка электроны не испытывают ради альное ускорение. Таким образом, в продольном однородном маг нитном поле возможно существование стабильного интенсивного осесимметричного пучка с постоянным радиусом г0, т. е. пучка ци линдрической формы. Из (2.136) также следует, что величина маг нитной индукции, обеспечивающей существование стабильного пучка, будет минимальной в случае Вк = 0, т. е. при полностью эк
ранированном от магнитного поля катоде. |
представляет особый |
ин |
||||||
Последний случай |
(£ к = 0, B0=const) |
|||||||
терес и называется |
б р и л л ю э н о в с к о й |
ф о к у с и р о в к о й , |
а |
|||||
стабильный |
пучок |
в |
однородном |
продольном |
магнитном поле — |
|||
п о т о к о м |
Б р и л л ю э н а . Рассмотрим |
этот |
случай |
более под |
||||
робно. |
|
|
описывается |
уравнением |
(2.136) |
при Вк —0, |
||
Поток Бриллюэна |
||||||||
5o = const: |
|
е |
_ 22 |
/ |
|
|
|
|
|
|
= 0 , |
|
(2.137) |
||||
|
|
— В0 г0---------------------- |
|
|||||
тт / 2е
яео V — Uо
' т
где го — равновесный радиус пучка.
Кроме того, согласно (1.94) азимутальная скорость электронов не зависит от г, т. е. весь поток вращается вокруг оси как единое целое с азимутальной скоростью, определяемой уравнением (1.94).
В уравнении (2.136) величина U0, определяющая продольную скорость электронов, отождествляется с постоянным потенциалом пространства, в котором распространяется электронный поток. Такая замена возможна лишь при малых первеансах, поскольку, как было показано в § 2.1 [см. (2.57)], в интенсивном пучке дейст вие пространственного заряда приводит к снижению потенциала в пучке, т. е. имеет место радиальное распределение потен циала. Изменение потенциала по радиусу пучка можно рассчи
тать, представив последний член уравнения (2.136) «ак — — - £ г =
2UQ
1 |
dV |
[см. (2.7)]. Тогда |
при |
Вк= 0, B0=const |
уравнение |
||
2ТГ0 ' |
dr |
||||||
|
|
|
|
|
|||
принимает вид |
dU |
е |
г |
|
|
||
|
|
|
(2.138) |
||||
|
|
dr |
= - — В0 г. |
||||
|
|
Am |
|
|
|||
Интегрирование этого уравнения |
с граничным |
условием |
|||||
и\т=0= и 0 (потенциал на оси) |
приводит к следующему выражению |
||||||
для радиального распределения потенциала: |
|
||||||
|
|
U(г) = |
Ua + |
г— |
Вог2. |
(2.139) |
|
Таким образом, потенциал имеет на оси минимум (U=U0) и возрастает при удалении от оси по квадратичному закону. Пока жем теперь, что в бриллюэновском потоке продольная составляю щая скорости всех электронов одинакова и определяется величи ной потенциала на оси. Для любого электрона пучка согласно за кону сохранения энергии полная скорость однозначно определяется потенциалом точки пространства, в которой находится электрон:
|
2е |
|
|
^полн |
У — |
U. |
(2.140) |
Подставив (в (2.1140) -ф из (1.94) и \U из (2.139), получим про дольную составляющую скорости
V z |
У пг |
(2.141) |
Физически этот результат показывает, что часть энергии про дольного движения электронов преобразуется в энергию вращения вокруг оси, причем величина этой энергии такова, что продольная составляющая скорости электронов оказывается не зависящей от удаления электрона от оси.
В бриллюэновском потоке постоянна также плотность про странственного заряда. Подставим в уравнение Пуассона (2.55) выражение распределения потенциала (2Л39):
дЮ |
1 |
dU |
_Р_ |
(2.142) |
|
~дг* |
г |
дг |
ео |
||
|
откуда плотность пространственного заряда
р = — е0 2т Во, |
(2.143) |
т. е. она постоянна и однозначно определяется величиной магнит ной индукции.
Постоянство продольной составляющей скорости и плотности пространственного заряда приводит к постоянству плотности тока:
'■= - ро* = -^5 |
( — ) |
кв? £/'/,. |
(2.144) |
~\/2 |
' т ' |
0 |
|
Определим теперь величину равновесного (бриллюэновского) радиуса /о. Согласно (2.137) бриллюэновский радиус однозначно определяется тремя величинами — током пучка, осевым потенциа лом и магнитной индукцией:
(2.145)
яео' е
Аналогично для величин тока и магнитной индукции получим выражения
j __ яео |Г в |
VA |
а |
|
г |
2 |
(2.146) |
|
, |
- |
|
В0 иЧо = |
1,45 -10 -2Во |
V'hr\, |
||
' |
m |
|
|
0 |
|
о |
|
Во = |
Г |
( |
) |
_ |
= 6 9 __ |
|
(2.147) |
|
яео |
' |
е > |
yt/0r2 |
|
|
|
В формулах (2.145) — (2.147) величины имеют следующие раз мерности: /[a], t/0[e], Въ[гс], г0[м].
Выражение (2.139) показывает, что потенциал на границе бриллюэновского потока должен быть выше осевого потенциала:
U |
■Го |
Uo |
е DV |
(2.148) |
8т £>0Го. |
||||
Определим ток пучка |
через |
потенциал на границе |
пучка |
|
U\r=r =Ua>совпадающий с |
потенциалом проводящей трубки, за- |
|||
полненной пучком:
j __ пео |
Г |
(2.149) |
8т |
||
------Во го |
|
и найдем максимально возможное значение тока. Дифференцируя (2.149) по В и приравнивая производную нулю, получим условие максимального тока
д 2 2 16 |
т |
(2.150) |
в 0 Го— —-•— |
||
3 |
е |
|
Подставив полученное выражение в (2.149), получим макси мальное значение тока:
|
|
|
16 |
/ е |
\ |
|
(2.151) |
|
/max = -----zzJiZo I — |
| |
а |
||||
|
|
Зуб |
' т • |
|
|||
или максимальный первеанс: |
|
|
|
|
|
||
Ртах = |
= |
- Д = яе0 ( — ) Ы= 2 5,4 -1 0 -®а/в3/,. (2.152) |
|||||
|
Г/*/* |
3V6з у б |
|
" Vт ' |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Оптимальная величина магнитной индукции, при которой обес |
|||||||
печивается максимальный ток пучка |
|
|
|
||||
|
|
|
|
V . |
|
|
|
Во |
= - 4 |
( - У |
’ |
= |
5,5-10-: |
(2.153) |
|
|
УЗ |
' е |
' |
г0 |
|
Го |
|
(здесь величины имеют такие размерности: В[гс\ £/а[в], го[м]). |
|||||||
Интересно |
отметить, |
что |
в |
режиме |
максимального |
первеанса |
|
потенциал на оси пучка существенно |
отличается от |
потенциала |
|||||
£/а проводящей трубки, заполненной пучком. Подставив в (2.139)
значение В02г02, соответствующее максимальному току, из |
(2.150), |
получим |
|
</о = >о а , |
(2.154) |
т. е. потенциал на оси, определяющий продольную составляющую скорости электронов, в три раза ниже потенциала на границе пуч* ка. Этот результат показывает, что пренебрежение радиальным падением потенциала возможно лишь при небольших значениях микропервеанса (р<1 мка/в*/*). В общем же случае в расчетные формулы для бриллюэновского потока следует подставлять осевое значение потенциала <70, определяемое формулой (2.139).
В бриллюэновском осесимметричном потоке сила кулоновского расталкивания полностью скомпенсирована радиально направлен* ной силой Лоренца. Как было указано, для возникновения рад1ь альной силы в продольном магнитном поле необходимо наличие азимутальной скорости электронов. Физически появление азиму* тальной скорости у электронов пучка, вводимого в однородное