книги / Численное моделирование нестационарных переходных процессов в активных и реактивных двигателях
..pdf72 |
|
|
Глава 2. Моделирование артиллерийского выстр*^ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.56) |
т Л+1 |
|
Pi,-Г |
|
. . |
( p .w . L . , - (P .W . L * |
|||
ч |
' ' p y - v r 1 |
“4‘ |
Ax |
р: ; ч и+1 |
||||
|
||||||||
|
4» |
. |
" ^ |
H+i |
^ |
T'<rzn. |
^ |
y/i+i ’ |
|
УЧкь, _r |
4ih,) |
ТГ//+1 |
i'i |
n«+i |
|||
|
|
|
Pa, |
*Vi |
|
г4, |
*/ |
|
|
|
P |
; *v;' |
|
(p5V75M))+05 |
(p5V75i<5 ),_0 5 |
||
Г/1+1 Til |
1 |
|
||||||
~ |
|
|
|
|
|
|||
|
5, |
|
|
|
|
Ax |
р Г - К " +‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(J |
-Gn |
|
|
Af |
|
|
|
|
5, |
ti, / |
|
|
|
|||
|
V /пг |
|
я», |
р Г - v r 1' |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнение сохранения полной удельной энергии смеси
■*л+1
и
V /'
P"/ • |
y //+ l |
|
h |
|
|
рГ1• / |
|
|
р Г . у 1"+1 |
17Л+1 |
- p " , • v ; |
' 4 |
||
|
р Г • |
y-H+1 |
|
|
|
P a ,+1 . y f,,+1 |
• E ; ; 1 |
- p ; • v ; |
|
p;;+1 • |
y n + l |
|
I |
|
(plVEiulL .3 |
(p№ «i)[,0. |
|
|
Ах |
|
«2, ’ |
|
Ax |
|
|
|
. (P№ 1+0.5 (p4^^41-0,5 |
||
|
|
Ax |
(P5^5«5L ,-(P5^5M5L ,
Ax
р Г |
. y |
',+1 |
T/l+1 |
■ v ; |
|
|
f ■^3, |
- p " , |
|||
|
|
|
|
y //+ l |
|
|
|
Р |
Г |
• 1 |
|
р Г |
. V " +I |
|
- P i |
• v j - |
|
|
/ |
|
|||
|
|
|
|
y //+ l |
|
|
|
p |
f |
• |
|
(2.57)
At
л+1 т/л+l p -v;
p:,+l • y."+l
At p;,+l • y.,,+1
Af p'l+l .y.M+1
l/,-G,'+(.] * ~ J l )' G l +J gw • G gWl’ + J pw ■
A?
p,;+l.v;,,+1 •
2.2. ФММ газовой динамики в каморе и стволе орудия |
73 |
I, Yi
Алгоритмически сначала вычисляются параметры пятой, четвёртой, третьей и второй фазы. Предварительно вычисляются также параметры, определяющие изменение геометрии камеры сгорания при артиллерийском выстреле с учётом движения снаряда. Затем вычисляются параметры первой фазы. Далее посредством пересчёта по уравнению состояния (2.32) и дополнительным соотношениям из (2.34) определяются остальные параметры течения многофазной смеси на новом временном слое f',+l. По вновь полученному распределению давления в камере сгорания вычисляется скорость движения снаряда.
На этом, выполнением третьего (заключительного) этапа, заканчивается вычислительный цикл метода крупных частиц.
3. Постановка граничных условий. Для рассматриваемой задачи на границах камеры сгорания (дно каморы и дно снаряда) реализуются следующие дифференциальные краевые условия:
левая граница (дно камеры сгорания)
и,, (2.58)
правая граница (дно снаряда)
м2, (2.59)
При конечно-разностной реализации граничных условий используются фиктивные ячейки. На подвижной границе применяется, предложенный Ю.М. Давыдовым, аппарат дробных ячеек [72, 112]*; . При постановке граничных условий исполь зуются зеркальные отображения (рис.2.2). Число фиктивных ячеек для каждой границы определяется порядком разностной схемы (для первого порядка - один слой ячеек и т.д.).
^Давыдов Ю.М. Метод дробных ячеек. - Авторское свидетельство на метод №2М/1968. / Приоритет от 1968. - М.: Сертификационный центр методов, алгоритмов и программ, 1993.
2.3. ФММ НДС и оиенка прочности порохового заряда |
75 |
результатов ряда тестовых расчётов были выбраны в качестве базовых следующие величины шагов интегрирования по пространственной координате и времени: Ах ~0,01л/; At * Ю ^с.
В заключение раздела отметим, что сформулированная выше физико-математическая модель газовой динамики в каморе и стволе орудия является активным граничным условием для задачи по определению напряжённо-деформированного состояния поро хового заряда артиллерийского выстрела.
2.3. Физико-математическая модель иапряжённодеФормированного состояния и оценка прочности порохового заряда
2.3.1.Физическая модель
Впроцессе срабатывания артиллерийского выстрела элементы его заряда (полузаряды, сгораемые гильзы, дополнительный заряд - см. рис.2.1) подвергаются резко выраженному динамическому нагружению переменным по пространству и времени давлением продуктов сгорания. Перепад давления по длине заряда составляет здесь ~ ЮОМПа, скорость распространения основной волны давления - звуковая ~ 1000м/с, время срабатывания артиллерийского выстрела ~ Юмлс. При таком виде интенсивного нагружения поведение материала элементов порохового заряда (твёрдого топлива) достоверно описывается упругой моделью [32,165,210,211].
Каждый полузаряд состоит из набора цилиндрических пороховых трубок различной длины. Дополнительный заряд и сгораемые гильзы выполнены в виде полых цилиндров конечной длины.
Нижний и верхний полузаряды перемещаются в основном
впакетном виде. Однако жестких связей между составляющими пакет пороховыми трубками нет. Отсутствует и соударение трубок
впакете. Поэтому в рамках определённого приближения можно рассматривать напряжённо-деформированное состояние одной пороховой трубки заряда - полого упругого цилиндра конечной длины.
76 |
Глава 2. Моделирование артиллерийского выстрепп |
2.3.2. Математическая модель
Проблемы исследования задач механики деформи рованного твёрдого тела являются весьма актуальными, они рассмотрены в ряде фундаментальных монографий [21-23, 32, 43, 44,66,174,210,211,227,228,313 и др.].
1. Рассмотрим динамическое поведение полого упругого цилиндра конечной длины (трубки порохового заряда), нагруженного по поверхности переменным по пространству и времени давлением (рис.2.3).
Рис.2.3. Расчётная схема нагружения элемента порохового заряда.
В условиях осевой симметрии уравнения движения для определения перемещений по осям координат могут быть представлены в следующем безразмерном виде [163]:
d2s„
э<?
d2sf
dt;
где
( d 2j„ |
1 |
Ч |
^ |
d2sn |
d2s. |
|
' ЭЧ |
i |
|
+ c, |
ч . |
||
Э р 2 |
p |
Э р |
p 2 |
ЭрЭ^ |
||
|
||||||
d2sE |
d2s, |
1 |
dSf |
О2Sn |
(2.62) |
|
1 d s ' |
||||||
|
|
|
+ C, |
|
||
' Э $2 |
Э р 2 |
p Э р |
Э рЭ £ |
p |
||
2 - ( l - v s ) |
C2 = |
1 |
|
|||
CI = |
|
|
1 - 2 - v . |
|
||
1 - 2 - v . |
|
|
|
|||
Переменные обезразмеривались по следующим зависимостям:
2.3. ФММ НДС и оиенка прочности порохового заряда |
77 |
Л = |
/ |
Р = ~ ' |
Ро=ТГ’ 1 = ~- |
||||
|
|
R |
|
R |
|
R |
R |
Условия для определения перемещений на границах |
|||||||
расчётной области запишутся в виде: |
|
|
|
||||
на внутренней (р = р0) |
и |
внешней |
(р = l) |
поверхностях |
|||
цилиндра заданы напряжения а рр ,о^ |
|
|
|||||
|
CjA +i + |
|
|
|
|||
|
|
Эр |
Р |
Э£ |
|
|
(2.63) |
|
|
ds„ |
ds§ _ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
as |
= 0; |
|
|
||
|
|
эр |
|
|
|
||
на левом |
(£ = 0) |
и правом |
(£ = /) торцах цилиндра заданы |
||||
напряжения |
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
f — + сз |
ds, |
~Р&1 |
|
||
|
р |
|
|
||||
|
Эр |
Р |
|
|
|
|
(2.64) |
|
|
dsa |
ds, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
—- -1- —- = 0; |
|
|
|||
|
|
Э$ |
Эр |
|
|
|
|
на левой |
(р=р0, £= 0) |
и правой |
(р=р0, £=l) внутренних и |
||||
левой (р = 1, £ = 0) и правой |
(р= 1, \ - 1) внешних окружных |
||||||
гранях цилиндра заданы напряжения |
сгрр,стй |
|
|||||
|
(l + с3) |
+ £р = ~p(&i} |
|
||||
|
|
Эр |
Р |
|
|
(2.65) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i+ c3) A + ^ = - p f e O , Э£ Р
где
v, |
2 -p0'C2-vs |
|
Полагаем, что до |
момента времени |
f, = 0 система |
находилась в состоянии покоя. Тогда начальные условия запишутся в виде:
sp =0; J 5 =0. |
(2.66) |
78 Глава 2. Моделирование артиллерийского выстрела
Таким образом, задача по определению перемещений полого упругого цилиндра конечной длины (см. рис.2.3) сводится к решению дифференциальных уравнений (2.62) в области р0<р<1, 0 < £ < 1 для > 0 при граничных условиях (2.63-2.65)
и начальных условиях (2.66).
Зная перемещения, можно определить напряжения и деформации. Согласно обобщённому закону Гука компоненты перемещений связаны с составляющими напряжениями и деформациями следующими зависимостями:
составляющие напряжения |
|
|
|
||
|
|
Эл |
|
Эл |
|
|
стрр = с з |
|
+ |
Э4' |
|
|
Эр |
р |
|||
|
Эл |
+ с, • — |
Эл |
||
|
°00 ~ Эр |
э?* |
|||
|
|
|
Р |
||
|
Эл |
|
|
|
(2.67) |
|
|
|
+ с, |
Э^ |
|
|
Эр |
|
р |
э г |
|
|
1 |
|
|
Эл |
|
|
2 - с , - V. |
[Эр |
Э§ |
||
составляющие деформации |
|
|
ds^ |
||
F |
Эл |
£ |
- |
i . |
|
= ---—• |
(2.68) |
||||
Р |
Эр' |
C |
G |
> |
|
|
|
Р |
6 ^ |
||
Безразмерные напряжения связаны с размерными соотношением:
ст|.(г,х)=2-р0 *с 2 -v, - G j{ p ,Q ;
i = (rr,ff,xx,rx);
y= (jрр,00,Ц*р О
2.Рассмотрим особенности модели поведения материала заряда артиллерийского выстрела. В рассматриваемой задаче это баллиститный модифицированный порох, который можно отнести
кклассу полимеров. При упругой постановке задачи поведение
такого материала может быть описано двумя основными физико механическими характеристиками - модулем упругости Es и
коэффициентом Пуассона vs. Эти параметры связаны между собой, согласно [165], следующей зависимостью:
2.3. ФММ НДС и опенка прочности порохового заряда |
79 |
(2.69)
где К - 1,077 • К0; К0 - модуль объёмного сжатия материала.
Модуль упругости, как и коэффициент Пуассона, в общем случае есть функция вида нагружения материала. Статическое (плавное, затянутое во времени) нагружение - статический модуль упругости. Динамическое нагружение (резкое, интенсивно изменяющееся во времени) - динамический модуль упругости. Причём, чем выше интенсивность нагружения материала, тем выше значение Es и ниже, согласно (2.69), значение .
При интенсивном динамическом нагружении, а именно такое нагружение характерно для рассматриваемой задачи, модуль упругости материала стремится к предельной своей величине - к
модулю объёмного сжатия |
ES—>K0 и коэффициент Пуассона - к |
|
1 |
„ |
упругая модель поведения материала |
V5 —> —. |
В этом смысле |
|
стремится к абсолютно-упругой модели. Это же справедливо и для прочностных характеристик материала пороха (имеются в виду предельные напряжения - напряжения разрушения).
3. |
Оценка прочности заряда твёрдого топлива. Проблема |
|||
хрупкого разрушения твёрдых тел, как известно, весьма сложна |
||||
[227, 284, 285].Определение прочностных характеристик заряда |
||||
твёрдого топлива (пороха) в данной монографии будем проводить |
||||
по методике [269]. |
|
|
|
|
Главные |
напряжения в |
материале заряда |
а ,,а ,,а 3 |
|
определяются из |
сопоставления |
величин а 1,а " ,а 111 так, чтобы |
||
выполнялось условие: |
CTj > ст, > а 3. |
|
||
|
|
|
||
Напряжения |
ст1,ст“,а И1 |
определяются |
следующим |
|
образом: |
|
|
|
|
(2.70)
80 Глава 2. Моделирование артиллерийского выстрела
|
_ ®гг+ Р„ |
G XV |
- а г г |
+ а " . |
|
|
|
|
|
|
|
Интенсивность напряжений определяется как: |
|
||||
СТ, = |
• д/(СТ1“ |
)' + (СТ2 - |
О, )! + (ст3 - О, )2 • |
(2.71) |
|
Среднее напряжение:
<1» = |'(о ,+ о ,+ с т 3)
Параметр Лоде-Надаи:
_ 2 - сг2 —ст, -ст3
В зависимости от величины параметра
_ 2 |
-д/з+ц* |
ст0 |
* = ■ |
3-Ц „ |
сг, |
|
определяются расчётные эквивалентные напряжения в пороховом заряде:
- если |
к > 0,33, то |
|
|
|
|
|
|
°L =°о + |
з - ц 0 |
7"<V |
|
||
|
|
|
з+д/з+ц^ |
|
||
если |
-2,67 <£<0,33, то |
\ |
|
|
||
|
а жре = а |
+- |
Ъ' |
3 -Ц а =-сг,.; |
(2.72) |
|
|
|
|||||
|
^ |
|к |
0,33| + с ^ 2-д/з + р,д? 1 |
|
||
если |
к < -2,67, то |
|
|
|
|
|
|
|
®зкв~“’ * |
3 ~ р а |
|
|
|
|
|
/------~ "СТГ |
|
|||
|
|
|
2*д/з+ц[ |
|
||
В (2.72) a ,b*,с ,d* - экспериментальные коэффициенты, отражающие специфические свойства пороха (твёрдого топлива), причём
d =а + Ъ'
3 + с* С учётом обобщённого коэффициента безопасности
эквивалентные напряжения определяются как
2.3. ФММ НДС и оиенка прочности порохового заряда |
81 |
|
(2.73) |
Условие прочности порохового заряда запишется в виде: |
|
л -а зк.< [а Л |
. |
(2-74) |
|
где п - коэффициент запаса прочности, [а6 ]- предел прочности материала порохового заряда при растяжении.
2.3.3. Метод численного интегрирования
Для интегрирования исходной системы уравнений (2.62- 2.65) применим конечно-разностный метод сеток [163].
1. Предварительно введём следующие обозначения: т = Дг,; /гр = Др; /^=Д£.
Тогда сеточные аналоги перемещений по радиусу и длине цилиндрической пороховой трубки запишутся как
Разбив толщину цилиндра |
( l- p 0) на |
М частей и длину |
цилиндра L на N частей и |
используя |
для аппроксимации |
производных в (2.62) центральные разности, получим следующую явную трёхслойную конечно-разностную схему:
1
С, •
(2.75)