книги / Численное моделирование нестационарных переходных процессов в активных и реактивных двигателях

применение для решения газодинамических задач, в том числе и для решения задач двигателестроения. К недостаткам всех этих методов следует отнести необходимость применения искус­ ственной вязкости. Использование искусственной вязкости характерно для идеологии численных методов 1950-х годов (например, искусственная вязкость Landshoffa 1955 года), когда ещё не была разработана нелинейная теория разностных схем и не было известно о существовании аппроксимационной (схемной) вязкости. В методе Мак-Кормака, например, структура искус­ ственной вязкости нефизична (как обычно и в других методах), что в ряде случаев может быть решающим фактором, существенно ограничивающим применение этого метода. Второй порядок точности схем метода Мак-Кормака позволил его примененять для решения ряда задач о течении идеального и вязкого газа. Применение этого метода особенно оправдано при решении задач,

вкоторых отсутствуют какие-либо разрывы по параметрам.

ВИнституте прикладной математики АН СССР Ю.П. Поповым и А.А. Самарским было предложено семейство полностью консервативных конечно-разностных схем [258, 276, 279, и др.]. Наиболее эффективными из них являются неявные схемы, разностные уравнения для которых решаются различными вариантами метода прогонки (скалярной, матричной, потоковой и др.). Данные схемы используются при решении задач магнитной гидродинамики, теории горения конденсированных систем и в других областях. К недостаткам схем следует отнести высокую трудоёмкость при решении пространственных задач. Кроме того, следует отметить плохую адаптацию данных неявных схем к архитектуре современных ЭВМ.

М.А. Ильгамовым, В.А. Ивановым и Б.В. Гулиным был предложен ряд явных и неявных конечно-разностных схем для решения задач механики деформированного твёрдого тела [163, 164]. Данные схемы, в частности, при решении задач динамики оболочек с упругим заполнителем обладают достаточно высокой точностью и вычислительной устойчивостью в широком диапазоне значений коэффициента Пуассона материала запол­ нителя. Это свойство является особенно важным, так как определяет выбор конечно-разностной схемы для рассматри­ ваемого класса задач.

Метод конечных элементов. Ряд задач в нелинейной механике сплошных сред решено методом конечных элементов

[67, 191, 234, 298 и др.]. Исходные уравнения и динамические краевые условия удовлетворяются здесь только в некотором осреднённом смысле для выбранного типового конечного объёма («элемента») среды. При этом аппроксимация различных полей производится на конечном элементе локально и независимо от его положения в общей модели. Основная сфера приложения указанного подхода - это механика твёрдого деформируемого тела [234, 298]. Имеются публикации с применением метода конечных и граничных элементов в газовой динамике [67, 191]. Однако данные публикации посвящены расчёту течений газа только с малыми скоростями движения.

Методики этого типа имеют свою область применения и свои характерные трудности. По способу представления приближённого решения такие подходы более приспособлены для нахождения решения задач эллиптического и параболического типов. При решении гиперболических задач метод конечных элементов нельзя считать достаточно эффективным. Основная причина заключается в том, что здесь полностью отсутствует использование такого фундаментального свойства гиперболи­ ческих задач, как конечность области влияния. Это приводит к неестественному «завязыванию» всех узлов расчётной области, следствием чего являются неоправданно высокие требования к объёму используемой памяти ЭВМ.

Метод распада разрыва. В начале 1950-годов С.К. Годуновым был предложен численный метод [50, 52-54 и др.], базирующийся на формулах распада произвольного разрыва, полученных Н.Е. Кочиным [196, 351]. Этот метод не представляет собой генерального направления в вычислительной гидро­ динамике (он даже не упомянут ни в одном издании Мате­ матического энциклопедического словаря). Метод был создан в то время, когда ещё не существовала современная нелинейная теория разностных схем. Поэтому данный метод обладает многими недостатками, и представляет интерес, в основном, в исто­ рическом планеv . Период «расцвета» этого метода - 1960-е годы. Основная область его применения - внутрикамерная и внешняя газовая динамика. Суть метода состоит в построении

л>Годунов С.К. Воспоминания о разностных схемах. - Новосибирск: Научная книга, 1997.-40 с.

24 Глава L Анализ и постановка задач

консервативной конечно-разностной схемы, учитывающей физи­ ческие закономерности исследуемого процесса. Так, при расчёте газодинамических задач конечно-разностная аппроксимация дивергентных членов дифференциальных уравнений сохранения выполняется с учётом решения задачи о распаде произвольного разрыва газодинамических параметров.

Использование дополнительных физических посылок обеспечивает возможность применения метода для решения некоторых других классов задач. Однако у метода есть существенные недостатки и ограничения на использование. Так, использование алгоритмов такого типа при расчёте течений вязкого газа приводит к накоплению ошибок. Не удаётся единым алгоритмом выполнить расчёт двухфазного и тем более многофазного течения. В ряде случаев метод распада разрыва даёт не только количественно большие ошибки (десятки процентов), но приводит к принципиально (качественно!) неправильному решению (например, в задачах по обжатию конуса). Время счёта задачи методом распада разрыва существенно превышает время счёта по другим методам (например, более, чем в 10 раз по сравнению с методом крупных частиц).

Методы расщепления. Идея расщепления сложных исходных операторов на совокупность более простых сос­ тавляющих получила распространение во 2-й половине XX века. В настоящее время широко развиваются методы, основанные на однородных и неоднородных аппроксимациях. В случае неодно­ родной аппроксимации каждая из вспомогательных (проме­ жуточных) задач может и не аппроксимировать исходную задачу, но в совокупности и в специальных нормах такая аппроксимация имеет место. Эти методы называются методами расщепления (или методами дробных шагов) [215,218,219, 339].

По существу расщепление сложного исходного дифферен­ циального (или интегрального) оператора может осуществляться либо по времени, либо по пространственным координатам, либо по физическим процессам, либо совместно и по времени и по пространству и т.д. Методы расщепления развиты в работах Ю.М. Давыдова [78], Е.Г. Дьяконова [126, 127], Г.И. Марчука [218, 357], Ю.П. Попова [279], А.А. Самарского [276], В.К. Саульева [282], Н.Н. Яненко [336,337] и др.

Методы расщепления нашли широкое применение для разнообразных по своему характеру задач и стимулировали

формирование более общего подхода к решению задач математической физики на основе метода слабой аппроксимации, разработанного Н.Н. Яненко [335, 337], А.А.Самарским [276]. Метод расщепления можно трактовать как метод слабой аппроксимации исходного уравнения некоторым другим, более простым. Метод слабой аппроксимации нашёл естественное применение в задачах гидродинамики, метеорологии, теории переноса излучения и в ряде других прикладных задач.

Метод крупных частиц. В конце 1960-х годов Ю.М. Давыдов предложил метод крупных частиц [69, 71, 72 и др.]. Первой работой по методу крупных частиц является написанный Ю.М. Давыдовым в 1968 году отчёт Вычислительного центра АН

СССР и Московского физико-технического института [69]. Этому методу были посвящены дипломная работа Ю.М. Давыдова (1969) [70], его кандидатская диссертация (1970) [71] и его докторская диссертация (1981). В дальнейшем Ю.М. Давыдов и ученики его школы глубоко развили [73-76, 78-82, 85-98, 100-107, 109-116 и др.] метод крупных частиц - метод численного эксперимента нового поколения.

Дадим, следуя [71, 81], формальное описание метода крупных частиц для задач газовой динамики. Основная идея метода состоит в расщеплении по физическим процессам исходной нестационарной системы дифференциальных уравнений (например, системы уравнений Эйлера), записанной в форме законов сохранения. Среда здесь моделируется системой из жидких (или газообразных) элементов - крупных частиц, по форме совпадающих в данный момент времени с ячейкой эйлеровой сетки. Стационарное решение задачи, если оно существует (если оно не существует физически - в расчётах реализуется устойчивое нестационарное решение, адекватное физике (механике) ис­ следуемого процесса), получается в результате установления, поэтому весь процесс вычислений состоит из многократного повторения шагов по времени. Расчёт каждого временного шага (вычислительного цикла) в свою очередь разбивается на три этапа: эйлеров, лагранжев и заключительный. Рассмотрим каждый из этих этапов в отдельности:

•эйлеров этап, когда пренебрегаем всеми эффектами, связанными с перемещением элементарной ячейки (потока массы через границы ячеек нет), и учитываем эффекты ускорения жидкости лишь за счёт сил давления; здесь для

крупной частицы определяются промежуточные значения искомых параметров потока («эйлеровы» скорость и энергия);

•лагранжев этап, где при движении жидкости вычисляются потоки массы через границы эйлеровых ячеек;

•заключительный этап - определяются в новый момент времени окончательные значения всех газодинамических параметров потока на основе законов сохранения массы, импульса и энергии для каждой ячейки и всей системы в целом на фиксированной расчётной сетке.

По существу на первом этапе метода проводится чисто лагранжев расчёт - рассматривается изменение за время At импульса и энергии лагранжева элементарного объёма жидкости (крупной частицы), заключённого внутри данной эйлеровой ячейки (при этом граница объёма смещается относительно начального расположения). Второй этап характеризует пере­ мещение расчётных ячеек относительно жидкости - здесь вычисляются эффекты переноса, учитывающие обмен между ячейками при их перестройке на прежнюю эйлерову сетку (моделируется движение потока массы через границы эйлеровых ячеек и находятся смещения расчётных точек). На третьем этапе метода происходит соответствующее перераспределение массы, импульса и энергии по пространству, что позволяет определить новое распределение гидродинамических параметров на перво­ начальной эйлеровой сетке (находятся изменения за время At параметров потока в элементарной эйлеровой ячейке, полученной возвращением лагранжева объёма в исходное положение).

Указанный процесс построения разностных схем метода крупных частиц можно использовать и для других моделей среды (для уравнений Навье-Стокса, уравнений Больцмана, уравнений радиационной газовой динамики, задач физики плазмы, задач теории твёрдого деформируемого тела, теории сыпучих сред и др.). Метод позволяет проводить численный эксперимент в наиболее общей постановке: пространственно — трёхмерном нестационарном случае. При этом может учитываться многофазность и многокомпонентность, а также любая физико-химия исследуемого процесса (горение, излучение и т.п.).

В методе крупных частиц успешно могут использоваться элементы других методов (например, метода интегральных соотношений [71], метода распада разрыва [116] и др.).

Современное понимание метода крупных частиц состоит в рассмотрении многопараметрических классов разностных схем расщепления с широкой оптимизацией их по параметрам [78, 88, 92 и др.]. Алгоритмы метода конструируются в том числе и с учётом архитектуры высокопроизводительных супер - ЭВМ [100, 117-121]. Исследованию и оптимизации многопараметрических классов разностных схем метода крупных частиц посвящены многие работы Ю.М. Давыдова и его учеников [78, 88, 92, 189, 190

идр.]. Значительное развитие получило исследование диф­ ференциальных приближений и представлений разностных схем метода крупных частиц, анализ устойчивости, изучение групповых

идругих глубоко нелинейных свойств разностных схем метода (диссипации, дисперсии, бивязкости, бидисперсии, тривязкости и т.п., солитонных эффектов, полной консервативности, К-свойства, сильного К-свойства, М-свойства и т.п.) [7, 80, 82, 92, 102, 110, 111, 113, 323, 330 и др.].

Следует отметить широкий круг рассматриваемых с помощью метода крупных частиц физических процессов и явлений. К ним относятся задачи внешней и внутренней аэрогидродинамики (струйные и срывные течения, распрост­ ранение и взаимодействие ударных волн, турбулентные течения, течения слабосжимаемых сред и пр.) [71, 75, 92, 114, 301 и др.], механики многофазных дисперсных сред [87, 92, 99, 108, 225 и др.], физики плазмы и электродинамики [86, 155, 194, 200], тепло­ обмена [91, 107], теории фильтрации [8, 322, 344 и др.], механики сыпучих сред (например, грунтов) [92] и др. Методом крупных частиц эффективно решаются задачи оптимизации [300 и др.], он успешно используется в системах автоматического проекти­ рования (САПР) [171 и др.]. Многие практические приложения метода относятся к решению актуальных проблем общего машиностроения, двигателестроения [37, 38, 95, 97, 137, 193 и др.], энергомашиностроения [104, 105], химического машиностроения [145 и др.], биологии, медицины, экологии и т.п.

Внастоящее время метод крупных частиц стал одним из наиболее мощных средств современного численного экспери­ мента. Метод стал в прямом смысле энциклопедическим. Он вошел во все современные математические энциклопедии [81, 85, 343 и др.]. Методу крупных частиц посвящены разделы и его описание содержится в учебниках по вычислительной математике

ив монографиях крупнейших отечественных учёных [55, 217, 218,

28 Глава L Анализ и постановка задач

308 и др.]. Его с успехом применяют многие исследователи у нас в стране и за рубежом. Результаты расчётов, полученные с помощью метода, содержатся в ряде фундаментальных монографий [5, 10, 68, 86,88, 89, 92, 101, 109, 125, 192, 198,205,231 идр.].

В заключение сформулируем тезисно сильные стороны данной численной технологии - метода крупных частиц, которые способствовали такому широкому его распространению:

метод крупных частиц относится к численным технологиям вычислительного эксперимента (здесь имеется в виду прямая аналогия с физическим экспериментом в подготовке, проведении и получении результата); метод базируется на эйлерово-лагранжевом (смешанном)

представлении пространства как наиболее выгодном с точки зрения получения точного и устойчивого решения при описании многомерных задач с существенной локальной деформацией среды;

вметоде крупных частиц используется процедура расщепления по физическим процессам (и не только по физическим процессам), что повышает вычислительную устойчивость решения и вносит в расчёт элементы физической аналогии, которые в ряде случаев помогают правильно трактовать получаемые результаты;

вметоде крупных частиц преимущественно используются однородные конечно-разностные схемы, позволяющие прово­ дить устойчивый сквозной счёт (в том числе и при расчёте в нерегулярных приграничных областях) без предварительного выделения особенностей течения; конечно-разностные схемы этого метода обладают наиболее

оптимальной схемной (аппроксимационной) вязкостью [83], адекватной реальной физической вязкости, влияние которой существенно в зонах больших деформаций среды (больших градиентов по параметрам) и практически не существенно в зонах незначительных изменений параметров среды; основные схемы метода крупных частиц обладают свойством

дивергентности или консервативности (в том числе и полной консервативности); использование таких схем позволяет повысить точность вычислений, так как для них выпоняются разностные законы сохранения; метод крупных частиц, в отличие от всех других численных

методов, допускающих только одностороннюю трактовку,

может рассматриваться со всех известных точек зрения: как эйлерова схема, лагранжева схема, схема расчёта в локальнолагранжевых координатах, схема расщепления, сеточный метод, метод сквозного счёта и т.д.; метод крупных частиц может базироваться как на

дифференциальных уравнениях, так и на интегральных уравнениях; его разностная схема может быть получена сразу (без использования дифференциальных или интегральных уравнений) путём прямой разностной аппроксимации физических законов сохранения;

вметоде практически по единому алгоритму удаётся проводить расчёт многофазного и полидисперсного течения;

вметоде крупных частиц легко учитываются физико­ химические процессы (горение, излучение, химическое взаимодействие и др.);

врамках данной численной технологии для расчёта многомерных задач разработаны эффективные способы постановки граничных условий на сложной криволинейной образующей области интегрирования; сама процедура построения процесса вычисления и

используемые разностные схемы метода компактны, хорошо поддаются трансформированию (например, для адаптации к архитектуре ЭВМ) и могут быть ориентированы на применение в вычислительных системах любой мощности.

1.3. Проблематика рассматриваемых задач современного двигателестроения

1. Классическая теория внутренней баллистики артил­ лерийского орудия, сформировавшаяся благодаря трудам Вьеля [60], И.П. Граве [60, 63-65] \ Шарбонье [60], Н.Ф. Дроздова [42] и развитая в работах М.Е. Серебрякова [286], Б.Н. Окунева [235248], Б.В. Орлова [42, 250], М.С. Горохова [31] и других ис-

л>Граве И.П. Баллистика полузамкнутого пространства. 1940. (Книга, получившая Сталинскую премию 1-й степени в 1942 г.).

Граве Д.И. И.П. Граве - выдающийся учёный-артиллерист. - Военно­ исторический архив, 1997, вып. 1, с. 126-148 (Ч. 1, с. 126-128).

следователей, не потеряла своего значения вплоть до настоящего времени. Более того, она явилась совершенно необходимым этапом на пути развития более точных современных физикоматематических моделей.

Возникновение современного газодинамического направ­ ления здесь связано с именем С.А. Бетехтина [31], который впервые численно проинтегрировал с помощью метода характеристик систему уравнений внутренней баллистики орудия в частных производных.

Дальнейшее развитие этого направления шло по пути уточнения различных сторон процесса срабатывания артил­ лерийского выстрела: уточнялся процесс воспламенения порохового заряда [16, 272 и др.], учитывалось отставание пороховых элементов в процессе движения снаряда по стволу [273

идр.], модифицировалась модель горения пороха [157, 179, 232, 365 и др.] и т.д.

Необходимость учёта новой совокупности факторов, уточняющих представление о внутрибаллистическом процессе, потребовала создания принципиально нового подхода. Рамки гипотезы газо-пороховой смеси (равновесного приближения) [272

идр.], когда скорость несгоревших частиц пороха в камере сгорания равна скорости окружающих газов (продуктов сгорания), не позволяли в полной мере моделировать условия горения и движения пороха в камере сгорания. Основой такого подхода явилось использование во внутренней баллистике орудий элементов теории механики гетерогенных сред [230, 261,263, 273]. Суть его состоит в раздельном описании неустановившегося движения фаз (газообразных продуктов сгорания и не полностью сгоревших пороховых элементов), обладающих различными скоростями, температурами и плотностями. При этом уравнения баланса между фазами составлены так, что учитываются обменные взаимодействия между ними. Таким образом появляется естественная возможность моделирования процессов, связанных с воспламенением и горением порохового заряда при артил­ лерийском выстреле.

Следует подчеркнуть, что физико-математическое моде­ лирование необходимо рассматривать как одну из сильных сторон общей теории внутренней баллистики артиллерийского орудия, без которой правильная интерпретация экспериментальных данных представляет собой сложную задачу. В то же время

адекватное отображение объекта исследования невозможно без надёжных исходных данных и эмпирических закономерностей, необходимых для замыкания математических моделей. В связи с этим ставится задача ликвидировать определённый разрыв между возможностями новых моделей и их потребностями - экспери­ ментальным обеспечением. Наиболее серьёзными в этом плане являются проблемы, связанные с горением воспламенителя, нестационарным и турбулентным горением порохового заряда, определением момента страгивания снаряда и начала его движения, напряжённо-деформированным состоянием пороховых элементов заряда при выстреле и др. [58 и др.].

Повышение энерго-массовых и эксплуатационных харак­ теристик артиллерийского выстрела в настоящее время связано с использованием в качестве составов заряда высококалорийных баллиститных (двухосновных) модифицированных порохов и применением полузарядной схемы заряжания в сгораемых гильзах с большой степенью относительного удлинения полузарядов. По данным зарубежных источников научно-технической информации работы данного направления отнесены в США к так называемым «критическим» технологиям, то есть таким технологиям, которые предусматривают качественный скачок в характеристиках объекта

[9].

«Сильный» порох, сложная компоновочная схема заряжания артиллерийского выстрела предъявляют новые повышенные требования по обеспечению безотказной работы артиллерийской системы. Для их выполнения необходимо достоверно знать какие процессы протекают при выстреле, как и в какой степени они влияют на работоспособность орудия. Для этого нужны точные математические модели (замкнутые экспериментальными данными), позволяющие проводить численные эксперименты на ЭВМ, то есть модели, максимально приближённые к реальности и описывающие сложные нестационарные переходные и глубоко нелинейные процессы, протекающие в каморе и стволе орудия при выстреле.

Результаты натурных стендовых испытаний по отработке одной из перспективных типовых конструкций артиллерийского выстрела показали, что в ряде случаев при определённой компоновке полузарядов наблюдается аномальный подъём давления в каморе и стволе орудия и, как следствие его, разрушение элементов снаряда. Данный эффект зафиксирован при