книги / Электронные цифровые приборы

и, следовательно, спектр 5! (/) получается из первичного путем пропускания через дополнительный фильтр с модулем з т я /0/я /0 и сдвигом фазы (—я /0). Линейный сдвиг по фазе, как правило, мало тревожит — восстановленный сигнал окажется сдвинутым во вре­ мени. Что касается искажения модуля спектра, то имеется возмож-

уВыход

а

Рис. 1.5, К объяснению дискретизации сигнала с некомпактным спектром

носгь эту погрешность компенсировать, например, путем умноже­ ния дискретных значений спектра на величину я/О/зш я /0 в процессе обработки; другой известный способ компенсации искажения спект­ ра связан с обработкой соседних отсчетов.

Дискретизация сигналов с некомпактным спектром. На практике сталкиваются часто с сигналами подобного типа. Так, спектр радио­ импульса (рис. 1.5,[б) отличен от нуля на интервалах [—/•'х, — (^х +

4- Рн)\ и'[^1, (^14 ри)]. Было бы ошибочным при выборе частоты дис­ кретизации ориентироваться на максимальную частоту спектра (Р-у 4 Рм), в особенности, учитывая, что часто Рх 'р Ри. Не следует забывать, что при выводе уравнения (1.3) под Рк понималась ширина компактного спектра, что в рассматриваемом примере соответствует ширине Ри/2. Все станет на свои места, если сдвинуть спектр так, чтобы он соответствовал рис. 1.5, г. С этой целью входной сигнал (радиоимпульс) умножается раздельно на синус и косинус вспомога­ тельного комплексного сигнала ехр 1/2я (Рг 4 ^ м/2) Д (рис. 1.5, а, в). На выходе получен комплексный сигнал (действительная часть

нутый в начало координат. Применение фильтра для устра­

Ря ^ Ри> но так как с этой частотой приходится обрабатывать два выходных сигнала, то фактически Ря > 2РЫ. Рассматривая рис. 1.5, б, можно заметить, что при мультиплицировании частот­ ной характеристики сигнала шириной Ры середина одного из ле­ пестков совпадает с нулем шкалы частот, можно дискретизовать сигнал с частотой РЛ> Рмбез вспомогательного гетеродина и умно­ жителей; используется лишь фильтр для пропускания нужного участка мультиплицированного спектра. Этот прием, называемый субдискретизацией, рассмотрен в работе [42].

Второй характерный пример, сходный с субдискретизацией — стробоскопическое преобразование сигнала. На рис. 1.6, а показан спектр периодического входного сигнала с основной частотой Рг, включающий...пять, гармоник, на рис. 1.6, б — спектр узких стробимпульсов, представляющий собой Ш-функцию с частотой 4 а ,(§Ье

составляющие нормализованы). Образующиеся в стробоскопе ком­ бинационные частоты [(^71 + Г2); 2 (Р1 + Р2) ... (Рг — Р2)-, 2 (Рх—

Выходной сигнал, как и входной, содержит пять гармоник. Про­ изошел лишь перенос спектра в низкочастотную область. Получи­ лось, что частота дискретизации (частота повторения стробоскопи­ ческого импульса) близка к частоте основной гармоники исследу­ емого сигнала (в принципе может быть и в целое число раз меньше Рх) и не связана с высшей составляющей спектра. Не следует усмат­ ривать в этом противоречие с положением теоремы восстановления, которая относится к сигналам с компактным спектром шириной Ри. Линейчатый спектр, строго говоря, не имеет ширины.

Неравномерная дискретизация. В рассмотренных выше примерах можно было убедиться, что равномерная дискретизация сохраняет обратимость при довольно разнообразных априорных данных о сигнале при условии, что спектр сигнала хорошо упорядочен и иск­ лючено перекрытие мультиплицированных копий спектра до допус­ тимых пределов. Между тем часто отсутствуют сведения об истинной ширине спектра даже при использовании входного фильтра нижних частот, поскольку полоса изменяется в результате дискретизации, квантования и интерполяции. В этом смысле (не требуется полная характеристика спектра сигнала) известное преимущество имеет неравномерная дискретизация.

Генератор тактовых импульсов формирует последовательность импульсов со случайным (стохастическим ) распределением интер­ валов {чежду импульсами. Если, например, неравномерной дискре­ тизации подвергается периодический (хотя и широкополосный) сиг­ нал, то эта процедура похожа на стробоскопическое преобразование. Действительно, простая перестановка множества полученных от­ счетов по правилу

^1 — I 1/ТОI * Т’о»

где I— текущий момент дискретизации; Т0— период сигнала; ] - [ — целая часть отношения, приводит их внутрь одного периода.

Если неравномерная последовательность стробимпульсов будет организована определенным образом, то за какое-то время будут накоплены отсчеты, покрывающие период сигнала и, следовательно, получено достаточно информации для восстановления сигнала или вычисления его интегральных характеристик без ограничений на отношение Рд/Ры. Для произвольного сигнала доказательство несмещенности оценок, полученных после неравномерной дис­ кретизации, согласно работе [23], представляется следующим об­ разом.

Пусть сигнал X (/) после функционального преобразования ф (X (0 ) был неравномерно дискретизован; требуется установить, можно ли произвести оценки характеристик сигнала по его дискрет­ ным значениям, равносильно аналогичным оценкам непрерывногб сигнала. Так, например, допустимо ли провести Оценку среднего

значения преобразованного сигнала путем усреднения отсчетов

где т х — средняя длительность интервала между соседними точка­ ми дискретизации, получим, что правая часть выражения (1.7) независимо от вида функционального преобразования сигнала будет тождественна правой части уравнения (1.6) и математическое ожи­ дание оценки (1.5), определенной путем соответствующей обработки отсчетов {Хй} сигнала, равно среднему значению функционально преобразованного сигнала.

Определим вероятность попадания импульса дискретизации в любую точку сигнала. Выберем произвольно малый интервал вре­ мени А/, начало которого совпадает с моментом V. Вероятность по­ падания к-й точки дискретизации в этот интервал

Ра(*')а/ = | р*(0Л ;

V

вероятность попадания в этот интервал любой точки дискретизации определяется выражением

«''+Д' 00

Соотношение (1.8) указывает, что вероятность попадания в любую точку временной оси не зависит от выбора точки (Г); требуется лишь, чтобы средняя длительность т хво всем интервале наблюдения Т ~ = Мпх была постоянной. Средняя частота дискретизации РА не связана с шириной полосы частот исследуемого сигнала, т. е. основ­ ная теорема (1.3) здесь неприменима. Средняя частота дискретиза­ ции Ря выбирается, исходя из заданной погрешности оценки, допус­ тимого времени наблюдения Т или возможного числа отсчетов N.

Сформулируем подход к решению обратимой задачи при нерав­ номерной дискретизации в следующих случаях. Пусть сигнал пред­ ставляет собой смесь заданного числа М спектральных составля­ ющих, расставленных в общем неравномерно, но в известных точках частотной оси. Задача состоит в том, чтобы определить амплитуды и фазы составляющих при минимальном числе дискретных отсчетов. Применим программируемую неравномерную дискретизацию (чис­ ло отсчетов должно быть не менее, чем 2М). Если носитель спектра сигнала известен, то каждый отсчет такого сигнала дает линейное уравнение, в которое входят неизвестные амплитуды четных и не­ четных составляющих всех спектральных компонент, при этом точки дискретизации выбираются с осторожностью, чтобы исключить син­ хронизацию с периодами отдельных составляющих спектра сигнала.

при этом свойство ортогональности, т. е. отсутствие проекции на другие базисные функции, в общем случае, не сохраняется и, следо­ вательно,

Ш (/) 4*<р, (0 = 4» Л аыЧ>к (*)• А=0

Следовательно, при спектральном анализе такого дискретизованного сигнала вместо единственного ненулевого коэффициента й( при орте (р, будет вычислен набор ненулевых коэффициентов йсаы при ортах ФА. Этот результат обобщается на случай, когда сигнал равен сумме взвешенных базисных функций; вычисленный коэффициент при орте Фй равен сумме взвешенных истинных коэффициентов:

доо

Лк = 2 Лры,

(=0

или в матричной форме

5 = АО,

л

где С — вектор-столбец вычисленных коэффициентов; й — векторстолбец истинных коэффициентов; А — матрица коэффициентов разложения дискретизованных базисных функций по и с х о д ны м непрерывным базисным функциям.

Матрица А определяется только свойствами ДО-функции и бази­ са; каждая строка этой матрицы представляет собой спектр одной из дискретизованных функций. Если заранее известно расположение ненулевых строк вектора П, то в матрице А можно оставить только соответствующие столбцы. Если образованная таким образом конеч­ ная матрица А не вырождена, то она обратима. Итак, в принципе, по дискретным отсчетам можно оценить спектр непрерывного сиг­ нала (амплитуды и фазы составляющих) с произвольным, но из­ вестным расположением конечного числа спектральных составля­ ющих.

Рис. 1.7. Обобщенная структурна/. _хема устройства для дискрети­ зации, восстановления и определения интегральных оценок сигнала

При отсутствий сведений о расположении конечного числа со­ ставляющих спектра можно использовать следующий подход к определению числа отсчетов неравномерной дискретизации. Восполь­ зуемся обобщенной структурой устройства для дискретизации, ин­ терполяции (восстановления) исходной функции и (или) вычисления интегральной оценки сигнала (рис. 1.7). В умножителе У входной, сигнал умножается на опорный сигнал ОС (при спектральном ана­ лизе — набор базисных функций); далее, с выхода У сигнал дискре­ тизуется Д и поступает на интерполятор И, в котором осуществля­ ется восстановление сигнала, например, путем вычисления проме­ жуточных значений. Восстановленный в И сигнал поступает на Выход 1. Если необходима какая-либо интегральная оценка (сред­ нее, среднеквадратичное значение и др.), то сигнал с И подается на вычислительное устройство ВУ. Возможности получения интегра­ льных оценок без восстановления сигнала по дискретным отсчетам, а также без дискретизации показаны штриховыми линиями.

Пользуясь схемой (рис. 1.7), определяем спектральный состав! сигнала. Исследуемый сигнал подаем на Вход 1, а на Вход 2 (ОС) — набор синусоид и косинусоид; через N тактов с Выхода 2 считывает­ ся результат и цикл повторяется. На первый взгляд кажется, что чём больше гармоник удается определить, тем точнее будет произ­ веден спектральный анализ. В действительности вычисление слиш­ ком большого числа составляющих сигнала по его дискретным отсчетам и восстановление его обратным Фурье-преобразованием приведёт к ... восстановлению решетки, промодулйрованной перво­ начальным сигналом X (/), чего, конечно, не добивались.

При равномерной дискретизаций N отсчетов в цикле достаточно для определения предельного числа М. = N12 гармоник. При

неравномерной дискретизации необходимое число отсчетов N для по­ лучения тех же М гармоник определяется на основании таких рассуждений. Выполним мысленный эксперимент для случая, когда ис­ следуемый сигнал, подаваемый на Вход 1 (рис. 1.7), представляет со­ бой константу величиной 1. При последовательном поступлении на Вход 2 базисных синусоид и косинусоид амплитудой 2 В У накопят оценку нулевой гармоники, равную N и, следовательно, оценку энергетического эквивалента, равную ЛР; квадрат оценки любой гармоники составляет 2УУ (в отличие от равномерной дискретиза­ ции, когда эта оценка равна нулю). Если ограничиться при восста­ новлении сигнала первыми N/2 гармониками, то суммарная энергия будет пропорциональна Ы2 + N12 • 2N = 2Ы2, т. е. дисперсия пе­ ременной составляющей (в данном случае помеха) составляет 100 % от постоянной составляющей — полезного сигнала. Отсюда следует, что при неравномерной дискретизации требуется иное соотношение между количеством отсчетов и числом определяемых гармоник. Так, задавшись погрешностью восстановления М -гармоник по энергии, равной б2, получим

взгляд делает неравномерную дискретизацию невыгодной по сравне­ нию с равномерной. Не забудем, однако, что неравномерную ди­ скретизацию можно применить там, где равномерная просто не при­ годна ввиду отсутствия сведения о характере спектра сигнала. В ка­ честве иллюстрации на рис. 1.8, а показан спектр неравномерной Ш-функции. Если интенсивность центрального гребня принять за 1, то на остальных частотах при N отсчетах она, в преобладающем большинстве, будет близка к На рис. 1.8, б показан спектр какого-то тестового сигнала, состоящего из М существенных по уров­ ню гармоник, произвольно расположенных. Спектр дискретизован­ ного сигнала (рис. 1.8, в) содержит наряду с упомянутыми М гармо­

никами, уровень которых близок к величине 1/У~М, еще и множество привнесенных дискретизацией компонент с фоновым уровнем поряд­

ка 1Д /Ж Очевидно, в дальнейшем целесообразно использовать только те гармоники, уровень которых выше фонового.

В рассмотренных примерах решался вопрос о выборе средней частоты дискретизации Едх. В ответственных случаях необходимо принять дополнительные меры контроля точности восстановления и влияния выбранного способа интерполяции (экспериментальновычислительные, например); простой перенос квадратурных фор­ мул численного интегрирования для определения погрешности восстановления при равномерной дискретизации [39] неприемлем. Здесь не была рассмотрена адаптивная дискретизация, при которой интервалы между отсчетами определяются заданной разностью между уровнем сигнала и его последним дискретным значением. Д ля некоторых типов сигналов подобная обработка оказывается эффек­ тивной.

Определение интегральных характеристик сигнала. В измери­ тельной практике часто решается задача определения каких-либо интегральных оценок по дискретным отсчетам или недискретизованного аналогового сигнала, что в частности, отражено на струк­ турной схеме (рис. 1.7). Типичную интегральную оценку отрезка непрерывного сигнала х (/) определяют в соответствии с выражением

Рис. 1.8. Спектральный состав: неравномерной Ш-функции (о); тес­ тового сигнала с М существенными гармониками (б); дискретизован­ ного сигнала (в)

где ф (1) — опорный сигнал; И7 (1— т) — весовая функция; совме­ щается, например, с вычислительным устройством (рис. 1.7).

При определении корреляционной функции или среднеквадра­ тичного значения (мощности) в качестве опорного сигнала исполь­ зуем исследуемый входной сигнал; при спектральном анализе опор­ ным сигналом является одна из базисных функций; при определении средневыпрямленного — знаковая функция; при определении сред­ него значения — константа и т. д.

Интегральные оценки по дискретным отсчетам можно вычислить после восстановления исходного сигнала с помощью интерполятора и далее, в соответствии с процедурой (1.9). Практически всегда удается избежать лишней операции, связанной с восстановлением промежуточных отсчетов (на рис. 1.7 показано штриховой линией, связывающей дискретизатор с ВУ). Более того, бывает, что условия обратимой дискретизации нарушены, форму сигнала восстановить нельзя, но некоторые интегральные оценки можно вычислить с

высокой точностью. Основываясь на применении равномерной дискре­ тизации, в каждом из рассматриваемых ниже примеров определим эффективную ширину спектра, связанную с необходимой частотой дискретизации. В выражениях для интегральной оценки по диск­ ретным отсчетам интегралы заменяют суммами.

Среднее значение сигнала определяется выражением

оо

ся величина. В спектральном представлении занимает узкую полосу

Рис. 1.9. Спектр дискретизованного (а) н усредненного (б) сигналов

в непосредственной близости к нулю на оси частот, которая выделя­ ется ФНЧ с импульсной характеристикой И7 (/). Копии спектров при дискретизации могут перекрываться всюду, кроме окрестности ну­

применяется в так называемых интегрирующих цифровых приборах (вариант отражен штриховой линией на рис. 1.7). Так, например, при измерении постоянного напряжения низкого уровня (ТЭДСтер­ мопар и др.) в присутствии наводок от сетевого напряжения необхо­ димо принять меры для устранения влияния этих наводок на резуль­ тат измерения. Использование фильтров нинших частот является малоэффективным средством подавления помех, что видно из следую­ щих показателей цифрового вольтметра фирмы Соляртрон типа ЬМ1867: при пороге чувствительности 10 мкВ фильтр подавляет ■сетевые помехи на 60—90 дБ, а измерительный цикл затягивается до 0,4—2,5 с.

Используя интегрирование, при котором усреднение проводится в течение интервала, равного или кратного периоду сетевого напря­ жения (основного источника помех), по-существу, используют пря­ моугольную весовую функцию (/) в выражении (1.10). Интегри­ рование сигнала, умноженного на прямоугольную весовую функцию длительностью Т у равносильно тому, что входной сигнал проходит через фильтр, АЧХ которого показано на рис. 1. 10, где