книги / Сопротивление материалов.-1

Вращающееся кольцо (обод маховика)

Кольцо (рис. 16.3) нагружено при вращении с постоянной скоростью ω равномерно распределенной по окружности инерционной радиальной нагрузкой. Если в поперечном сечении кольцо имеет площадь А, а удельный вес материала равен γ, то вес единицы длины кольца будет равен А γ, а соответствующая центробежная сила инерции на единицу длины дуги

ин g

Рассматривая равновесие элемента кольца (рис. 16.4), можно увидеть, что для него справедливо единственное уравнение равновесия: сумма проекций всех сил на центральный радиус должна быть равна нулю. Ввиду того, что толщина кольца – величина малая, можно принять, что напряжения будут равномерно распределены по сечению. Учитывая это, получаем уравнение

Рис. 16.3. Рис. 16.4.

Из выражения (16.12), после некоторых сокращений, следует:

где v – окружная скорость, v = ωR .

Напряжение, как и в случае вращающегося стержня (16.11), не зависит от площади поперечного сечения.

331

Для обода маховика важно, чтобы от возникающих сил инерции, приводящих к растяжению дуги окружности кольца, приращение его радиуса не превышало величину технологического натяга, полученного при насадке обода на маховик.

Учитывая, что напряженное состояние в кольце (ободе маховика) линейное, можно записать: σ = εÅ .

С учетом выражения (16.14) получим

Определим относительную деформацию ε. При увеличении радиуса кольца R на величину u длина дуги его станет равной 2π(R +u) . Тогда относительная деформация

С учетом выражения (16.15) получим:

где [δ] – величина натяга при насадке обода на маховик.

Динамические системы, вращающиеся вокруг оси, лежащей в плоскости системы

Для заданного ломаного стержня (рис. 16.5, а), вращающегося вокруг оси АВ с постоянной угловой скоростью ω, требуется найти допускаемое число оборотов в минуту, если известны геометрические характеристики динамической системы, физические и механические характеристики материала.

Для решения задачи определим величины и распределение инерционной нагрузки во всех элементах ломаного стержня (см. рис. 16.5). В стержнях 1 и 5 инерционные силы принимаем равными нулю.

332

Рис. 16.5.

В стержнях 2, 4 выделим элемент длиной dz на расстоянии z от оси вращения, определим величину элементарной центробежной силы dFин, действующей на этот элемент.

Так как инерционная нагрузка направлена по радиусу от центра, то она создает только продольную составляющую силу, интенсивность которой составляет

где β = γAgω2 .

В стержнях 2 и 4 интенсивность инерционной нагрузки изменяется по линейному закону, достигая максимума в предельном удалении от оси вращения. В стержне 3 интенсивность инерционной нагрузки будет постоянной.

Эпюра инерционных нагрузок в стержнях приведена на рис. 16.5, б. Направление инерционной нагрузки показано стрелками.

Продольная сила в произвольном сечении стержней 2 и 4 имеет зависимость параболы второго порядка.

При расчете динамической системы собственным весом стержней обычно пренебрегают по причине, указанной выше.

Для определения реакций на опорах запишем уравнение статического равновесия системы.

Примем l = a , тогда:

∑M A = 12 β a a a +β a 2a 2a + 12 β a a 3a − RB 5a = 0,

RB = 65βaa3 =1, 2βa2 ,

334

∑M B = 0, RA 5a − 12 β a a 4a −βa 2a 3a − 12 β a a 2a = 0.

RA = 95βaa3 =1,8βa2.

Проверка:

∑Fy =0,

−RA − RB + 12 β a a 2 +β a 2a = 0,

βa2 (−1,8 −1, 2 +1+2) = 0.

Запишем выражения силовых факторов (N, Q, Mизг) на участках:

Определим экстремальное значение изгибающего момента на 3-м участке:

Q(z0 ) = −RA +βaz0 = 0, z0 = RβaA = 1,8ββaa2 =1,8a.

M (z0 ) = −RA(1,8b +l) + β2a a 1,8a +β a (1,82a)2 = 2,65βa3.

z2

0 ≤ z4 ≤ a, N (z4 ) = RB −β 24 , Q(z4 ) = 0, M (z4 ) = −RB 2l. 0 ≤ z5 ≤ 2l, N (z5 ) = 0, Q(z5 ) = RB =1,2β a2 , M (z5 ) = −RB z5.

335

Эпюры силовых факторов приведены на рис. 16.5, в, г, д. При определении опасного сечения из анализа эпюры сило-

вых факторов следует, что наиболее опасными сечениями могут быть два сечения: сечение I стержня 3 с наибольшим изгибающим моментом Мизг = 2,65βa2 и сечение II стержня 4 с момен-

том Мизг = 2,4βa2 и продольной силой N = 1,2βa2. Условие прочности для сечения I (сечение круглое):

Для определения предельного значения скорости вращения в формуле (16.21) вместо допускаемого напряжения [σ] необходимо подставить предел текучести σт.

Условие прочности для сечения II:

Из полученных двух значений чисел оборотов, рассчитанных по условиям прочности сечений I и II, в качестве допускаемой величины берем наименьшее.

336

Вопросы для самопроверки

1.Какие задачи в курсе сопротивления материалов относятся к задачам динамики?

2.Что учитывает динамический коэффициент?

3.Почему при вращательном движении не учитывают собственный вес системы?

4.Какие дополнительные задачи решаются в задачах динамики в сравнении с задачами статическими?

Для лучшего усвоения материала рекомендуется изучить источники [1] (гл. 13, § 91); [2] (гл. 16, § 49).

Контрольная работа № 16

Расчет динамических систем. Вращающийся ломаный стержень

Вал и жестко соединенная с ним рама того же поперечного сечения вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси вала (рис. 16.6, табл. 16.1).

Требуется:

1.Определить силы инерции, действующие на элементы конструкции. Построить эпюру сил инерции.

2.Построить эпюры силовых факторов (N, Q, M).

3.Определить возможные опасные сечения.

4.Вычислитьдопускаемоеипредельноечислооборотоввала.

Таблица 16.1

337

Рис. 16.6.

338

ГЛАВА 17. РАСЧЕТЫ НА УДАРНУЮ НАГРУЗКУ

Ударом обычно называют такое явление, при котором скорости ударяемого тела и ударяющего тела за короткий промежуток времени изменяются до конечной величины. Точная теория удара связана с изучением местных деформаций в окрестности контакта (контактная задача теории упругости), а также с явлением волнового распространения деформации в упругом теле и оказывается довольно сложной задачей.

В данном пособии рассматривается инженерная теория удара. Расчетные формулы получают, применив закон сохранения энергии. Эта теория является приближенной, она строится на следующих допущениях:

1)напряжения при ударе не превосходят предела пропорциональности, свойства материала не изменяются, поэтому закон Гука при ударе остается в силе;

2)соударяющиеся тела после удара не отделяются друг от

друга;

3)масса ударяемого тела считается пренебрежимо малой по сравнению с массой ударяющего тела;

4)вся энергия удара переходит в потенциальную энергию деформации ударяемого тела, потеря части энергии пренебрежимо мала.

17.1. Вертикальный удар

Обозначив кинетическую энергию падающего груза (рис. 17.1, 17.2) Q через Т и учитывая, что она равна изменению потенциальной энергии груза, запишем:

где Н – высота падения груза до соприкосновения с ударяемым телом; δд – динамическое перемещение точки соударения при

ударном приложении нагрузки Qд с высоты Н.

339

Рис. 17.1. Рис. 17.2.

Динамическая деформация может быть выражена через статическую формулой

где δст – статическое перемещение той же точки ударяемого тела при статическом приложении силы Q .

Потенциальная энергия деформации стержня, накопленная при ударе, может быть выражена формулой