книги / Гидравлика.-1

Рвак = Рат), то жидкость в этой трубке поднимется на большую высоту, величину которой можно установить путем следующих рассуждений.

po/p-gr = рат/g р

Рис. 28. Физический смысл основного уравнения гидростатики

Из условия равновесия, обозначая высоту столба жидкости в запаянной трубке Ап, можно записать

р = 0 + g-p Ап = g p Ап.

Следовательно, полное гидростатическое давление в точке соответствует высоте столба жидкости /гп, которая называется приведенной высотой. Разность уровней в открытом и запаянном пьезометрах соответствует атмосферному давлению или высоте столба воды h = 10,33 м.

Итак, пьезометрическая высота соответствует величине манометрического давления, приведенная высота - величине полного гидростатического давления.

Если внешнее давление на свободной поверхности в сосуде больше атмосферного р 0 > р ат, то в открытом пьезометре жидкость поднимется выше уровня в сосуде (рис. 29) на высоту столба жидкости, уравновешивающего разность давлений (р0 - p aT)/(g p)- Следовательно, эта высота соответствует манометрическому давлению на свободной поверхности в сосуде, а пьезометрическая высота pd(g-p) - манометрическому давлению в точке А.

Проведем произвольную горизонтальную плоскость сравнения 0-0 и будем производить все вертикальные отсчеты от нее, считая положительным направление вверх.

Положение точки А определяется вертикальной координатой z. Величина g-z выражает потенциальную энергию жидкости массой 1 кг, поднятой от плоскости 0-0 на высоту z. Кроме того, в рассматриваемой точке жидкость испытывает полное гидростатическое давление, под действием которого жидкость массой 1 кг может подняться еще на высоту p/g-p. Т.е. полная потенциальная энергия, приходящаяся на единицу массы жидкости (полная удельная потенциальная энергия жидкости), складывается из двух величин: (g-z) - удельной потенциальной энергии положения и (р/р) - удельной потенциальной энергии давления. Если единица энергии Джоуль, то удельная энергия измеряется в Дж/кг.

Из основного уравнения гидростатики следует, что с физической точки зрения полная удельная потенциальная энергия для всех частиц жидкости, находящихся в покое, есть величина постоянная.

Разделив все члены уравнения g-p-z + р = const на произведение gp, получим выражение

z+ p/(g-р) = const,

вкотором каждый член имеет единицу измерения Дж/(кг м/с2) = Дж/Н и представляет собой удельную энергию на 1 Н силы веса протекающей жидкости. Но Дж/Н = Н-м/Н = м единица измерения напора.

Вгидравлике принято использовать этот удобный вид уравнения, который позволяет дать геометрическую и энергетическую трактовку удельной энергии жидкости.

Величина #п = z + /?/(g-p) (см. рис. 29) называется полным гидростатическим напором. Все частицы в рассматриваемом объеме жидкости обладают одной и той же полной удельной потенциальной энергией g-#n- Горизонтальная плоскость, проведенная на уровне #п, называется плоскостью полного гидростатического напора.

Величина H = + p J(g aР) называется гидростатическим (или пьезо-метрическим) напором. Здесь h = р м /(g p) - пьезометрическая высота. Пьезометрический напор отличается от полного гидростатического напора на высоту столба жидкости, соответствующую атмосферному давлению рат /(gp). Горизонтальная

будет одинаковой, хотя сила веса жидкости в сосудах различная. Т.е. сила давления не зависит от объема, занимаемого жидкостью, а зависит только от площади дна и уровня жидкости в нем. В этом заключается так называемый гидростатический парадокс.

Сила давления жидкости на плоскую стенку

Рассмотрим стенку, наклоненную под углом а к горизонту, (рис. 32) и определим силу давления со стороны жидкости, действующую на некоторый участок стенки, ограниченной контуром с площадью S.

Выберем дополнительную систему координат, в которой ось ОУ направлена вдоль стенки, а начало координат лежит в точке пересечения свободной поверхности жидкости и проекции площадки, воспринимающей давление. Спроецируем рассматриваемую площадку на выбранную систему координат.

Элементарная сила давления, действующая на элементарно малую площадку площадью dS, равна

dF = dp S = dS • Ср0+ P’g • h) = p 0-dS + p - g •h-dS.

Для определения полной силы, действующей на всю площадку, проинтегрируем это выражение по площади S

F = p 0 jdS + p g j h d S .

В последнем выражении h = y-since. Подставив значение h в

предыдущее выражение, будем иметь

F = р0• S+p-g-sina Jy■dS.

s

Из теоретической механики известно, что интеграл \ у ^

представляет собой статический момент площади S относительно оси ОХ. Он равен произведению этой площади на координату её центра тяжести, т.е. можно записать

S

где ус - координата центра тяжести площадки, м.

Подставив статический момент площади в выражение силы, получим

____ ^изб____

F = p0-S+p-g-yc smaS.

he

Выражение >vsina - это глубина положения центра тяжести площадки, а p*g*X ,sina - избыточное давление жидкости в центре

тяжести площадки.

С учетом этого можно записать

F = (p0 +p g h c) S,

Pc

где hc - глубина погружения центра тяжести площадки, м.

Сумма в скобках в последнем выражении является абсолютным давлением в центре тяжести рассматриваемой площадки. Таким образом, можно сделать вывод: полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению её площади на величину гидростатического давления в центре тяжести этой площадки и направлена по внутренней нормали к площадке, воспринимающей давление.

Однако необходимо учесть, что эта сила не сконцентрирована в точке, а распределена по площади. И распределение это неравномерно, поскольку давление изменяется по гидростатическому закону, т.е. увеличивается с глубиной погружения. По этой причине для расчётов, кроме величины силы действующей на наклонную площадку, необходимо знать точку приложения равнодействующей. Для наклонной стенки центр тяжести не совпадает с этой точкой, называемой центром давления.

Центр давления - это точка пересечения равнодействующей сил давления со стороны жидкости с поверхностью, воспринимающей давление. Положение центра давления определяется двумя координатами. Но в гидротехнической практике используются сооружения симметричной формы. Поэтому обычно задача состоит в определении вертикальной координаты центра давления.

Координата центра давления у» определяется следующим образом

Ус- S

где 1()Х' - момент инерции площадки относительно оси ОХ’ параллельной оси ОХ и проходящей через центр тяжести площадки, м4

Таким образом, разница в положениях центра тяжести площадки (т. С) и центра давления (т. D) составляет

Д= 2 »£_

Витоге можно сделать следующие выводы. Если внешнее давление действует на стенку с обеих сторон, то найденная точка D (см. рис. 32) будет являться центром давления. Если внешнее давление со стороны жидкости выше давления с противоположной стороны (например, атмосферного), то центр давления находится по правилам механики как точка приложения равнодействующей двух сил: силы, создаваемой внешним давлением, и силы, создаваемой весом жидкости. При этом, чем больше внешнее давление, тем ближе располагается центр давления к центру тяжести.

вертикальный щит прямоугольного сечения с размерами b х h (рис. 33). Необходимо определить положение центра давления.

Рис. 33. Сила давления жидкости на прямоугольную стенку

Координата центра тяжести площадки определится как

УсV = /у2 -

Момент инерции площадки прямоугольного сечения относительно оси ОХ’, параллельной оси ОХ и проходящей через центр тяжести площадки, будет равен

b h 3

^ох ~ " 12

Площадь щита определится следующим образом

S = b h .

Координата центра давления рассматриваемой прямоугольной

Сила давления жидкости на криволинейную стенку

Чаще всего необходимо определить силу, действующую на цилиндрическую поверхность, имеющую вертикальную ось симметрии. Возможны два варианта. Первый вариант - жидкость воздействует на стенку изнутри.

Во втором варианте жидкость действует на стенку снаружи. Рассмотрим оба этих варианта.

Зная Fr и FB, определим полную силу F, действующую на цилиндрическую поверхность:

F = № + / ?

Во втором случае, когда жидкость воздействует на цилиндрическую поверхность снаружи, величина гидростатического давления во всех точках поверхности АВ имеет те же значения, что и в первом случае, так как определяется такой же глубиной. Силы, действующие на поверхность в горизонтальном и вертикальном направлениях, определяются по тем же формулам, но имеют противоположное направление. При этом под величиной G надо понимать тот же объём жидкости ABCD, несмотря на то, что на самом деле он, в данном случае и не заполнен жидкостью.

Положение центра давления на цилиндрической стенке легко можно найти, если известны силы Fr и FBи определены центр давления на вертикальной проекции стенки и центр тяжести рассматриваемого объёма ABCD. Задача упрощается, если рассматриваемая поверхность является круговой, так как равнодействующая сила при этом пересекает ось поверхности. Это происходит из-за того, что силы давления всегда перпендикулярны поверхности, а перпендикуляр к окружности всегда проходит через её центр.

Расчет тонкостенных цилиндрических сосудов, подверженных действию гидростатического давления

В гидравлических системах технологического назначения жидкость в основном передаётся по трубам круглого сечения. В водопроводах, канализационных и многих других трубопроводных системах, гидротехнических сооружениях широко используются трубы и различные резервуары круглого сечения. По этой причине задача определения нагрузки на трубу является весьма распространённой.

Проанализируем три наиболее распространенных случая.

1. Рассмотрим трубу (рис. 35) длиной / с внутренним диаметром D и толщиной стенки 5, находящуюся под действием избыточного давления р. Это давление порождает разрывающее усилие F, которое представляет собой силу давления, действующую на полуцилиндричекую поверхность, имеющую проекцию на любую из основных плоскостей площадью D I: