книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 2

Факторы соответствуют способам воздействия на объект исследования. Они определяют как сам объект исследования, так и его состояние.

Факторы бывают количественные и качественные.

Качественные факторы не выражаются именованными числами. К их числу можно отнести: конструктивный элемент исследуемого сооружения, способ организации производства, тип исследуемой машины, цвет объекта и т.д.

Мы ограничимся рассмотрением только количествен-

ных факторов.

Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких значений. Такие значения называются уровнями (всякий фактор имеет определенное число дискретных уровней).

Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний «черного ящика». Одновременно это есть условие проведения одного из возможных опытов.

При выборе факторов следует руководствоваться несколькими принципами [11]:

–Факторы должны быть управляемыми и непосредственно воздействовать на объект. Под этим подразумевается возможность установки и поддержки выбранного уровня фактора постоянным в течение всего опыта. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.

–Факторы должны быть совместимы. Это означает, что любые их комбинации осуществимы и безопасны.

–Факторы должны быть независимы. Это означает возможность установления значения фактора независимо от значений, которые принимают другие факторы.

111

Для каждого фактора существует своя область определения. У каждого фактора есть минимальное и максимальное возможные значения, между которыми он изменяется либо непрерывно, либо дискретно.

Если факторы совместимы, то границы образуют на плоскости некоторый «прямоугольник», внутри которого лежат точки, соответствующие состоянию «черного ящи-

ка» (рис. 10.3).

Рис. 10.3. Область определения факторов

Совокупность уровней всех факторов образует факторное пространство. Размерность факторного пространства зависит от числа факторов, в нашем случае n = 2.

Если перебрать все возможные сочетания уровней факторов, то мы получим множество различных состояний данного «черного ящика». Это и будет число возможных различных опытов N:

где k – число уровней; n – число факторов.

На практике реальные объекты являются достаточно сложными системами. И система с пятью факторами на трех уровнях имеет 243 состояния. В этих условиях перебор всех возможных состояний системы, т.е. опытов, очень велик и от таких экспериментов приходится оказыватся. И сразу возникает вопрос, сколько и каких опытов надо

112

включить в эксперимент, чтобы решить поставленную задачу. Здесь-то и приходит на помощь математическая теория планирования эксперимента.

Выбор экспериментальной области факторного пространства связан с тщательным анализом априорной информации.

10.2.2. Выбор математической модели функции отклика

Под математической моделью (т.е. под математическим описанием изучаемого процесса или явления) понимаем функцию отклика (10.1), т.е.

y f (z1, z2 ,...., zn ).

Ценность математической модели исследуемого про-

цесса заключается в том, что она:

–дает информацию о степени влиянии факторов;

–позволяет количественно определить значения функции отклика при заданном режиме ведения процесса (интерполяция) и вне его (экстраполяция);

–может служить основой для оптимизации изучаемого процесса.

Теория планирования эксперимента позволяет получить математическую модель исследуемого процесса даже при отсутствии сведений о его механизме, в некоторой локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности

выбранной точки М(0) , которую в дальнейшем будем назы-

вать центром плана.

Функция отклика (УР) в окрестности выбранной точки может быть записана в виде полинома:

113

гдеy – функцияотклика(зависимаяпеременная);

zi – факторы(управляемые независимые переменные); z0 – фиктивное переменное, равное единице; центр фак-

торногопространства(прихi = 0);

b0 – остаточный член, характеризующий среднее значение функции отклика в точке М(0), центре факторного пространства (прихi = 0);

bi – коэффициенты, называемые линейными эффектами факторов zi и показывающие степень влияния данного фактора на функцию отклик. Знак перед коэффициентом bi определяет, увеличивается (+) или уменьшается (–) отклик у

с ростом zi;

zi zj – эффект парного взаимодействия;

bij – коэффициент, характеризующий парное взаимодействие;

bii – коэффициент, называемый квадратичным эффектом фактора.

Коэффициенты УР (10.4) определяются на основе экспериментальных данных и несут на себе отпечаток погрешностей эксперимента. Поэтому математические модели, полученные с помощью МТПЭ, принято называть экс-

периментально-статистическими.

При выборе ММ, описывающей явление или процесс,

необходимо учитывать ее содержательность, простоту и адекватность.

Адекватность модели характеризует ее способность предсказывать поведение исследуемого объекта с требуемой для практики надежностью.

Наиболее простой является линейная ММ (линейная регрессия)

i 0

114

Формально целью эксперимента является определение численных значений коэффициентов уравнения регрессии.

Выбрав вид ММ, надо составить план эксперимента и приступить к его реализации.

10.2.3. Матрица планирования

Прежде чем приступить к планированию эксперимента, проводят предварительные исследования изучаемого процесса. Полученную априорную информацию используют для получения представления о параметре оптимизации, виде функции отклика, факторах и факторном пространстве [2].

Выбор основного уровня. Из анализа априорной ин-

формации выбирают наилучшие условия, которым соот-

ветствует комбинация уровней факторов. Каждая такая комбинация является многомерной точкой в факторном пространстве. Ее можно принять за исходную точку для построения плана эксперимента. Обычно ее называют ос-

новным (нулевым) уровнем.

Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричныхнулевомууровню.

Выбор интервала варьирования. Как правило, для ка-

ждого фактора выбирают 2–3 уровня, на которых он будет варьироваться в опытах. Выбрав нулевой уровень для i-го фактора, верхний и нижний уровни будут соответствовать минимальному и максимальному значениям этого фактора из

области его определения zimin , zimax симметричным относительно нулевогоуровня.

Интервал варьирования каждого фактора определяется из условия

115

Таким образом, построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.

Кодирование значений факторов. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных используются не натуральные значения факторов zi, а кодированные xi. Переход от натуральных значений факторов к кодированным и обратно осуществляется по формулам

где xi – кодированное значение i-го фактора;zi – интервал варьирования i-го фактора;

zi – натуральное значение i-го фактора.

При таком кодировании максимальные и минимальные значения факторов будут соответственно равны (+1) и (–1), нулевой уровень (0).

Для различных ММ существует некоторый минимум

необходимого числа опытов (экспериментальных точек).

Количество необходимых опытов зависит от сложности ММ (степени УР), количества факторов, уровней варьирования факторов (±1 или 0, ±1).

Согласно МТПЭ для построения линейной или непол-

ной квадратичной модели (bii = 0) достаточно, чтобы фак-

торы варьировались на двух уровнях (±1).

116

Для построения квадратичной регрессии факторы должны варьироваться на трех уровнях (±1 и 0).

Выбрав вид ММ, надо составить план эксперимента и приступить к его реализации.

10.2.4. Полный факторный эксперимент

Система опытов, содержащая все возможные неповторяющиеся комбинации уровней факторов, называется

полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Как правило, составление плана эксперимента начинается с планирования для линейной модели (варьирование факторов, на двух уровнях) [2].

Пример. Допустим, что исследуемый процесс определяется двумя факторами z1 и z2. Нулевой уровень и интервал варьирования для каждого фактора выбраны экспериментатором исходя из физической сущности задачи и приведены в табл. 10.1.

Число опытов N, необходимых для реализации ПФЭ, определяется формулой (10.2), т.е.

Nn kn 22 4,

где n = 2 – число факторов, k = 2 – число уровней.

В нашем случае нетрудно написать все возможные сочетания уровней в эксперименте с двумя факторами.

117

Условия эксперимента обычно записываются в виде табл. 10.2, в которой строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Такие таблицы называют матрицами планирования эксперимента.

Совокупность уровней факторов (матрица планирования) с отвечающими им опытными данными значений функции отклика называется планом эксперимента.

Таблица 1 0 . 2 . Матрица планирования и план эксперимента типа 22

матрица планирования

план эксперимента

Если число уровней каждого фактора равно двум, то полный факторный эксперимент называют экспериментом типа 2n, где n число факторов.

С геометрической точки зрения факторное пространство этого плана представляет собой квадрат, а геометрический образ функции отклика (линейной регрессии) – это поверхность отклика (рис. 10.4). Цифрами 1, 2, 3, 4 обозначены точки плана, т.е. номера опытов в табл. 10.2.

План эксперимента называется симметричным, если все факторы имеют одинаковое число уровней. План называется равномерным, если уровни любого фактора встречаются в плане одинаковое для данного фактора число раз.

118

Геометрической интерпретацией полного факторного эксперимента служит куб, координаты вершин которого задают условия опытов.

Если функция отклика зависит от четырех и более факторов, то факторное пространство представляет собой гиперкуб, который графически представить нельзя.

Такие планы называют планами на кубе В2, В3, ..., Вn. Эти планы обладают композиционностью, т.е. к планам для линейных ММ можно добавить некоторое количество специальных точек (содержащихнулевой уровень факторов).

При увеличении количества факторов резко возрастает число опытов ПФЭ. Поэтому, если число факторов больше трех (n > 3), используют другие, специальные планы с меньшим числом экспериментальных точек (например,

дробные факторные эксперименты [2]).

Свойства полного факторного эксперимента. Со-

гласно ТПЭ матрица планирования ПФЭ обладает следующими свойствами:

симметричность относительно центра эксперимента (все факторы имеют одинаковое число уровней, т.е.

i 1

где j – номер фактора; N – число опытов;

– нормированность – сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, или

i 1

–ортогональность матрицы планирования – сумма почленных произведений любых двух векторов-столбцов матрицы планирования равна нулю, или

120