книги / Оптимальное проектирование конструкций.-1

силами при квазистатическом нагружении упругого тела. Этот функционал называют податливостью конструкции.

Пусть упругое тело закреплено на части границы Lu, а к другой части Lq приложены нагрузки q. Тогда податливость определяется интегралом по

Lq от скалярного произведения векторов упругих смещений u и внешних сил q.

При более общем определении под q и u следует понимать обобщенные силы и обобщенные перемещения.

Несмотря на широкое распространение этого критерия качества, обусловленное сравнительной простотой получения условий оптимальности, следует заметить, что в общем случае этот функционал не характеризует жесткостные свойства конструкции. Действительно, из малости I не следует малость u. Однако в некоторых частных задачах оптимального проектирования записанный функционал может приниматься в качестве критерия жесткости. Например, рассмотрим балку, изгибаемую сосредото-

ченной силой Р, действующей в сечении х0. Тогда критерий (1) запишется в виде

I= 1 Py(x0 ) , 2

иуменьшение податливости I при заданном P будет означать уменьшение прогиба y и увеличение жесткости балки.

Аналогично, если кручение консольного стержня обусловлено действием крутящего момента М, приложенного к свободному концу l, то

I= 1 Mϕ (l) 2

иминимизация податливости I (максимизация жесткости) заключается в минимизации ϕ (l) .

Или пусть мы имеем упругое тело, закрепленное на части контура Lu, в которое вдавливается абсолютно жесткий штамп (Lq – область контакта). Обозначая через u перемещение штампа, а через P равнодействующую сил, приложенных к штампу, будем иметь

11

и уменьшение I при заданном Р будет означать уменьшение глубины внедрения штампа.

Аналогично для длинной трубы круглого поперечного сечения, находящейся под действием внутреннего давления q,

где u – радиальные перемещения точек внутреннего контура, r – радиус внутреннего контура.

3. Важными характеристиками конструкций являются собственные частоты колебаний. Если частоты прикладываемых к конструкции внеш-

них возмущений лежат в интервале 0 < ω < p0 (p0 – низшая собственная

частота) или в интервале pi < ω < pi+1 (i – номер гармоники), то в конструкции не возникает резонансных явлений. В прикладных задачах часто требуется расширить безрезонансную полосу частот, т.е. максимизировать p0

или разность ∆ pi = pi+1 – pi. В этих случаях низшая собственная частота или комбинация нескольких собственных частот выступает в качестве критерия оптимальности.

Часто собственные частоты представляют в виде рэлеевских отношений

∫ П(h, u)dV p2 = V∫ Т(h, u)dV ,

V

где u – амплитуда упругих смещений; h – управляющая функция; П и Т – амплитудные значения потенциальной и кинетической энергии единицы объема.

Например, в случае продольных колебаний стержня с переменным сечением h(x)

=∂ u 2 2

Пh , Т = h u ,

∂ x

апри поперечных колебаниях упругой прямоугольной пластины

Т = h w2 ,

где w(x, y) – амплитудные значения прогиба пластины.

12

4. В теории оптимального проектирования, особенно тонкостенных конструкций, в качестве критерия оптимальности часто принимают критические значения параметров нагружения, при которых происходит потеря устойчивости. Например, если рассмотреть сжатие упругого прямолинейного стержня с переменным сечением h(x), то критическую нагрузку можно определить энергетическим методом из условия П – Т = 0, где П – потенциальная энергия изгиба, соответствующая изогнутой оси стержня,

а Т – работа заданных сжимающих сил на перемещениях, определяющая переход из основной формы равновесия в смежную форму равновесия,

Отсюда критерий оптимальности принимает вид

l

∫ EI ( y′′)2 dx

Наиболее типичными в теории оптимального проектирования сжатых конструкций являются задачи максимизации критического значения силы при заданном весе или задача минимизации веса при ограничении на сжимающую силу Р ≤ (заданное число).

5. До сих пор рассматривались критерии оптимальности, имеющие вид функционалов интегрального типа. Однако формулировка (постановка) многих важных задач приводит к критериям, которые зависят от значений функций в заранее неизвестных точках. Например, требуется определить такое распределение толщины балок или пластин, при котором максимальный прогиб был бы минимален. В этом случае критерий оптимальности имеет вид

I = minh I = minh (max u(x)) .

x S

Определенная таким образом характеристика конструкции будет жесткостной характеристикой, ибо конструкция сможет без разрушения выдержать максимальную нагрузку, если максимальный прогиб будет принимать минимальное значение.

13

Аналогичный локальный характер критерия мы имеем, например, и в задачах определения таких толщин стержней и пластин, при которых переход свойств материала в другое состояние (пластическое или какое-либо другое) происходил бы при наибольших нагрузках.

Рассмотрим упругое тело (стержень или пластину) площадью S, ограниченной контуром L. Пусть тело нагружено внешними силами и на-

пряженное состояние характеризуется функцией f(I1, I2, I3), Ii – инварианты тензора напряжений. Будем считать, что деформации являются упругими, если f < k2 (k – характеристика материала). Нарушение этого неравенства в зависимости от постановки задачи можно трактовать как появление зон текучести, областей неупругих деформаций, разрыв сплошности и других эффектов. В этом случае критерий оптимальности

I = minh I = minh (max f ) .

x S

Чем меньше I , тем при больших нагрузках появятся зоны перехода

материала из упругого состояния в пластическое.

6. В заключение отметим, что не все критерии эффективности, выражающие требования к проектируемым изделиям, могут быть формализованы. Такие критерии эффективности, как эстетичность, компактность, технологичность изготовления и прочие, анализируются путем качественной оценки проектируемого изделия экспертами в области эстетики, компоновки, технологии и т.д. В этом случае вводят понятие рационального проекта.

Действительно, если, например, требование технологичности не нашло количественной оценки и не было учтено при поиске оптимального проекта, то можно получить проект минимального веса, но нерациональный в силу технологичности. Более тяжелая конструкция, но удобная с технологической точки зрения, может оказаться более рациональной. Поэтому оптимизационные задачи являются, по сути своей, отдельными подзадачами в процессе разработки рационального проекта в целом.

Ограничения в задачах оптимизации. Любая конструкция должна удовлетворять определенным требованиям, которые приводят к ограничениям на управление и фазовые переменные. Эти ограничения записываются в форме равенств или неравенств и могут быть разных типов.

1. Ограничения на напряженное состояние – это обычно ограничения прочностного или иного характера, например,

max x σ ij − σ ij 0 < 0,

14

где σ ij – компоненты тензора напряжений, σ ij 0 – заданные положительные

константы, ограничивающие в отдельности допустимые значения каждой из компонент тензора напряжений. Подобные ограничения в виде

max x g(σ ij ) − k 2 ≤ 0

представляют собой критерий перехода материала в пластическое состояние (k – постоянная пластичности, g(σ ij ) в теории пластичности Мизеса –

второй инвариант девиатора напряжений). Подобный же вид будет при прочностном ограничении по энергетической гипотезе прочности.

2. Ограничения на параметры могут быть следствием математической модели, определяющей класс решаемых задач.

Известно, например, что для тонких оболочек вращения отношение толщины оболочки h к минимальному радиусу кривизны R ≤ 0,05.

Наконец, могут быть ограничения конструктивного характера, например на толщину, записанные либо в виде одного ограничения

δ 1 ≤ h(x) ≤ δ 2 ,

где δ 1, δ 2 – заданные константы, либо в виде системы неравенств

max x h − δ 2 ≤ 0, δ 1 − max x h ≤ 0 ,

либо в виде одного неравенства

max x (h − δ 1)(h − δ 2 ) ≤ 0 .

3. Ограничения на частоты собственных колебаний, которые можно записать как в локальной, так и в интегральной форме. В локальной форме ограничения имеют вид

max(ω i ) ≤ [ω ],

где ω i – частота i -й собственной формы.

Ограничение можно записать и в интегральной форме, используя подход Рэлея, как это было показано при формулировке соответствующего критерия оптимальности.

4.Ограничения на устойчивость системы. Устойчивость оценивается

спомощью критического параметра внешнего воздействия, при котором возможна потеря устойчивости форм равновесия рассматриваемой деформируемой системы. Ограничение может быть записано, например, в локальном виде:

Р≤ min Ркр,

15

или в интегральном виде, например, для балки

l

∫ EI ( y′′)2 dx

5. Ограничение на вес конструкции. На практике к конструкции часто предъявляется требование постоянства объема или веса. Это ограничение всегда интегрального вида. Например, для стержня требование постоянства объема можно записать в виде

l

V0 = ∫ hdx ,

0

где V0 – заданная величина.

В заключение отметим, что число ограничений, которые должны быть непротиворечивыми, может быть сколь угодно большим. Число критериев обычно намного меньше, оптимальный вариант один – критерий качества.

Большую роль в формулировке задачи оптимизации с учетом ограничений играет предварительная информация о свойствах решения, что позволяет при постановке задачи выделить существенные ограничения и отбросить второстепенные. Это иногда позволяет получить решение, например, в аналитической форме.

Рассмотрим одну из наиболее простых задач оптимального проектирования, допускающую различные возможные постановки.

Пример 1.1. Проектирование бака для горючего.

Пусть требуется спроектировать бак горючего в виде прямого кругового цилиндра объемом V, на изготовление которого будет затрачено наименьшее количество листовой стали.

Выберем в качестве параметров оптимизации радиус R и высоту цилиндра H. Тогда затраты материала на изготовление бака будет определять суммарная площадь его боковой поверхности и двух плоских днищ. Таким образом, необходимо найти такие R и H, чтобы

S = 2π RH + 2π R2 min

при ограничении π R2 H = V .

Задачу легко решить, исключив H из ограничения и подставив его в целевую функцию. Тогда задача с ограничением перейдет в задачу без ограничения:

16

PNRPU

S (R) = 2V + 2π R2 min ,

R

т.е. высота оптимального бака равна его диаметру.

Однако задачу можно поставить и по-другому, если учесть, что для заготовки круглого днища площадью π R2 придется взять квадратный лист

площадью 4R2 , причем после раскроя оставшуюся часть листа использовать практически невозможно. Поэтому более обоснованно в качестве це-

Если предстоит изготовить крупную партию баков, то раскрой листовой стали при заготовке днищ можно провести более рационально, располагая соседние центры днищ в вершинах правильных треугольников со стороной 2R . Тогда расход листа на каждое днище будет соответствовать

площади 2 3R2 правильного шестиугольника, описанного около окружности радиусом R. При этом следует минимизировать целевую функцию

S2 = 2π RH + 4 3R2 при том же ограничении. В итоге получим

Таким образом, при постановке задач оптимального проектирования важно, чтобы математическая модель задачи объекта оптимизации достаточно полно отражала именно те свойства, улучшение которых является целью оптимизации. Качество же модели во многом зависит от качества той информации, которую мы имеет о конструкции, в результате чего возможны разные формы представления модели.

Формы представления оптимизационной модели. На тип модели и способ ее оптимизации влияют качество имеющейся информации и степень понимания того, что происходит с системой, а это, в свою очередь, определяется сложностью самой системы. Обычно различают два класса

17

задач оптимизации: задачи с полной информацией и задачи в условиях неопределенности.

1.Задачи с полной информацией, или задачи в условиях определенности, встречаются, когда модель строится на основных технических принципах, например, на основе энергетического или материального баланса и других, и представляет собой систему уравнений (дифференциальных, интегральных или алгебраических) в виде равенств или неравенств. Для такой модели характерна функциональная зависимость между исходными предпосылками и результатом.

Модель, которую мы в этом случае имеем, называют аналитической. Ей обычно отдается предпочтение, так как можно использовать практически все известные методы оптимизации (методы математического программирования, оптимального управления, вариационные методы).

Другим, более сложным типом моделей, являются имитационные модели, состоящие из отдельных блоков, каждый из которых описывает работу, например, отдельных частей оборудования. Каждый из блоков независим друг от друга. В условиях полной информации это обычно модели, где есть уравнения с неявно заданными переменными, которые трудно решать, или системы, от состояния которых зависит выбор вычислительной процедуры или запись основных соотношений.

Можно сказать, что имитационная модель имеет иерархическую структуру, и сложность ее не только в том, что функционирование такой системы описывается более сложными операторами. Это принципиально многокритериальная система, ибо, как правило, каждый блок настроен на то, чтобы его критерий выполнялся.

2.Задачами с неполной информацией, или задачами в условиях неопределенности, являются те, в которых либо целевая функция не имеет аналитического выражения, либо значения определяющих величин заданы

скакой-то вероятностью или имеются в системе случайные помехи, либо какие-то параметры, влияющие на систему, не могут быть описаны в явной форме; либо наши желания не полностью определены и т.д.

Так как существуют различные формы описания неопределенности, то можно выделить ряд моделей [10]:

•стохастическая, когда факторы неопределенности имеют случайный, вероятностный характер, и известна их плотность вероятности. Такую задачу можно рассматривать, как детерминированную, ибо известен вектор математического ожидания и ковариационная матрица;

•статистическая, когда модель объекта определяется по результатам выборочных экспериментов в условиях действия случайных помех и ошибок (истинные значения вектора математического ожидания и ковариационной матрицы не известны, а известны лишь их оценки). Форма модели зависит от вида постулируемых законов распределения;

18

•интервальная, когда известен диапазон возможных значений переменных;

•нечеткая, когда информация записана в нечетких (с точки зрения математиков) терминах типа: много больше 10, около 100 и т.д.

Имитационные модели в задачах с неполной информацией содержат какие-то случайные величины и при этом могут встретиться два случая: исход (результат) получается с какой-то степенью достоверности (работа в условиях риска) или степень достоверности заранее неизвестна (работа в условиях неопределенности). Например, при конструировании космического аппарата в режиме посадки на Землю необходимо учитывать, что посадка возможна на воде, на мягком грунте и т.д. (работа в условиях риска). При конструировании же того же космического аппарата в режиме посадки на другой объект (например, Луну, другую планету и т.д.) необходимо учитывать, что свойства поверхности практически неизвестны.

В дальнейшем же будем рассматривать лишь вопросы оптимизации

вусловиях полной информации.

Универсальных методов решения оптимизационных задач нет, поэтому иногда полезно провести классификацию подобных задач, так как для отдельных классов задач разработаны эффективные методы решения.

1.3. Классификация оптимизационных задач

Деление оптимизационных задач на классы представляет значительный интерес, поскольку специфические особенности тех или иных задач играют важную роль при разработке методов их решения. Любую оптимизационную задачу можно поставить с учетом двух предположений относительно параметров управления (оптимизации): эти параметры являются либо скалярными величинами, либо функциями, например, времени или координат.

Наиболее часто встречающейся постановкой является следующая: найти такой n-мерный вектор параметров оптимизации х = (х1, х2 , ..., xn )т , чтобы критерий качества был минимален ( f (x) min ) при выполнении ограничений в форме равенств и неравенств:

Сформулированная таким образом задача относится к задачам математического программирования. Обратим внимание, что это, во-первых, однокритериальная задача, а во-вторых, задача на минимум. Чтобы перей-

19

ти от требования минимума к требованию максимума, достаточно умножить критерий качества на (–1).

Следует отметить, что ограничения (1.1) и (1.2) в оптимальном проектировании конструкций почти никогда не задаются явными аналитическими формулами, и для их построения необходимо вычислять напряжен- но-деформированное состояние, характеристики которого также будут входить в ограничения.

Задачи математического программирования можно классифицировать в зависимости от присутствия или отсутствия ограничений и вида всех определяющих функций. Если ограничения присутствуют, то такую задачу называют задачей условной оптимизации. Задачу, в которой нет ограничений, т.е. k = m = 0 , называют оптимизационной задачей без ограничений или задачей безусловной оптимизации.

Задачи условной оптимизации, в которых функции f, h, g – нелинейные, являются задачами нелинейного программирования. Если функции ограничений h, g – линейные, то задачи называются задачами с линейными ограничениями. В таких задачах функции критерия качества могут быть линейными или нелинейными. Если критерий качества – линейная функция, то будем иметь задачу линейного программирования, а если, кроме

того, переменные х = (х1, х2 , ..., xn )т принимают только целые значения, то

будем иметь задачу целочисленного программирования. Формулирование задачи оптимального проектирования элементов

конструкций в форме задач математического программирования возможно, если конструкцию с распределенными параметрами подвергнуть дискретизации, например, разбить на конечные элементы. Такой подход имеет очевидные преимущества: сложные конструкции аппроксимируются с хорошей точностью, а затем подвергаются оптимизации, причем в этом случае мы имеем много эффективных методов решения. Слабость такого подхода в том, что оптимизация проводится уже после того, как была сделана дискретизация, так что невозможно узнать, насколько найденный дискретный оптимум близок к истинному.

Более современный подход применяется к непрерывным конструкциям. В этом случае параметры управления являются функциями и математическую модель задачи оптимального проектирования можно записать как вариационную или как задачу оптимального управления. К этому классу задач относятся, например, задачи проектирования в расчете на нестационарные динамические условия эксплуатации или задачи нахождения геометрических параметров системы в предположении их непрерывного изменения по координате.

Напомним, что классические задачи вариационного исчисления заключаются в отыскании экстремума функционала одной или нескольких

20