книги / Теория автоматического управления. Дискретные системы

после цифровой части. Система, в которой цифровой части предшествует непрерывное динамическое звено, называется аналого-

цифровой системой.

На рис. 3.4 приведена структурная схема цифроаналоговой одномерной системы управления с линеаризованными преобразователями, структуры которых соответствуют рис. 1.8.

Рис. 3.4. Структурная схема одноконтурной цифровой системы

Упрощенная структура разомкнутой цифровой системы будет иметь вид, приведенный на рис. 3.5. Цифровое управляющее устройство (ЦУУ), реализующее операции с цифровыми кодами, описывается передаточной функцией D(z). Линеаризованный коэффициент передачи ЦУУ совместно с АЦП и ЦАП определяется как

kЦ= kЭВМ kА kЦ = kЭВМ δЦ / δA.

Рис. 3.5. Структурная схема разомкнутой цифровой системы

Операторное уравнение разомкнутой системы в соответствии с рис. 3.5 будет иметь вид

Y (p)=WO (p)WЭ (p)kЦ X * (p)=WO (p) 1−еp−Tp kЦ X * (p), (3.11)

применяя к которому Z-преобразование Лапласа, получим

41

=Z 1−e−Tp WO (p) kЦkАD(z)E(z).

p

Используя соотношение (3.12), можно получить передаточную функцию разомкнутой цифровой системы

Если передаточная функция непрерывной части дискретной системы имеет вид отношения дробно-рациональных функций, для определения передаточных функций разомкнутой системы в форме D- или Z-преобразования Лапласа необходимо, определив полюсы непрерывной передаточной функции, разложить ее на простые дроби и воспользоваться табличными изображениями.

Пример 3.1. Пусть непрерывная часть астатической системы первого порядка при известных полюсах имеет передаточную функцию

Разлагая исходную передаточную функцию на простые дроби:

по табличным изображениям определяем импульсную передаточную функцию системы

42

По известной передаточной функции разомкнутой системы определяется передаточная функция в замкнутом состоянии по заданию как

Наряду с непрерывными сигналами задания и обратной связи (см. рис. 3.4) широко используется базовая структурная схема цифровых систем управления, приведенная на рис. 3.6, описываемая системой уравнений:

Рис. 3.6. Базовая структурная схема цифровой САУ

В уравнениях (3.15)–(3.20) передаточная функция ЦУУ обозначена WМ* (р).

Из системы уравнений получим изображения выходного сигнала Y*(p) и рассогласования E*(p) относительно изображения задания V*(p):

Отсюда дискретное изображение выходной переменной

Параметры входного воздействия входят в (3.20) неявно, поэтому

вявном виде найти дискретную передаточную функцию по каналу возмущения невозможно, аналогично приведенной на рис. 3.3, в структурной схеме. Возмущение прикладывается к непрерывной части системы, не будучи проквантованным, поэтому (уже было показа-

но в подразд. 3.1), выход W1(p) должен быть функцией времени во все моменты времени, а не только вмоменты квантования.

Вслучае воздействий, приложенных не на входе цифроаналоговых систем (как показано на рис. 3.7), дискретная передаточная функция может быть определена только для эквивалентных воздействий, полученных пересчетом реального воздействия на вход

АЦП. На рис. 3.7 это воздействие показано как f1(t)=W2(p)f(t) вместо действующего f(t).

Большинство реальных микропроцессорных систем управления являются аналого-цифровыми, поскольку приложенные к ним воздействия и ошибка управления соответствуют непрерывным функциям времени вследствие применения непрерывных фильтров

взадающих устройствах и датчиках выходного сигнала. Базовая структурная схема таких систем приведена на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Структурная схема аналого-цифровой системы

45

Данная система, содержащая непрерывное динамическое звено с передаточной функцией WД(p) на входе, в разомкнутом состоянии соответствует схеме на рис. 3.3 и не имеет передаточной функции. Для определения передаточной функции такой системы структурную схему преобразуют к виду, приведенному на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Преобразованная структурная схема аналого-цифровой системы

Передаточная функция системы вход–выход в данном случае определяется как для разомкнутой системы:

Суммарная ошибка e(t), зависящая от приложенных к системе воздействий, показанных на рис. 3.8, рассчитывается по формуле

используемой в статистических методах исследований систем.

Вдействительности системы, не имеющие дискретной передаточной функции, являются скорее правилом, а не исключением, так как внешние возмущения прикладываются непосредственно к непрерывному объекту. Эта особенность требует применения точных (аналитических) методов исследования.

Винженерной практике часто используют приближенный метод, основанный на введении фиктивных импульсных элементов на всех входах системы.

Сравнение структурных схем импульсной (см. рис. 3.2) и цифровой (см. рис. 3.5) систем управления в разомкнутом состоянии показывает разницу дискретных передаточных функций, состоя-

46

щую в том, что в уравнение (3.23) импульсной системы для цифровой системы добавлена передаточная функция микроЭВМ D(z), которая не вносит изменений в порядок построения частотных характеристик. Кроме того, в уравнение непрерывной части введено суммарное запаздывание, присущее импульсным элементам второго рода относительно элементов первого рода цифровых систем, время для обработки информации в ЦВМ, наличие звеньев чистого запаздывания в объекте и т.п.:

Это позволяет проводить исследование дискретных систем управления по единым методам анализа и синтеза.

3.3. Передаточная функция цифрового управляющего устройства

Передаточная функция ЦУУ в соответствии с рис. 3.4 определяется как:

Для физически реализуемых законов управления степень числителя W(z) должна быть не выше степени знаменателя, иначе для вычисления x[k] требуется знать будущие значения последовательности e[k]. Например, пусть x[k]=b1e[k+1]+b0e[k]. Такой закон управления нереализуем на практике, поскольку значение e[k+1] неизвестно в момент времени t0=kT.

Разделив числитель и знаменатель выражения (3.23) на zk, получим для предельного случая s=k:

47

Из уравнения (3.31) получим зависимость изображений выходной U(z) и входной E(z) переменных в форме Z-преобразования Лапласа: U(z) – z–1U(z) = kИTE(z), и передаточную функцию вида

D-регулятор. При численном дифференцировании функции входного сигнала e(t) при нулевых начальных условиях методом

простой разности выходная функция будет при u(t)=kД dedt :

49

4. ЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

4.1. Частотные характеристики идеального импульсного элемента

Идеальный импульсный элемент на структурных схемах дискретных систем, как было уже отмечено, обозначается в виде ключа с периодом замыкания Т:

На входе элемента – непрерывный сигнал x(t), на выходе – дискретная последовательность, описываемая импульсной функцией x*(t), равной сумме модулированных и смещенных единичных импульсов.

Импульсная функция, представляющая собой периодическую функцию с интервалом T на всей оси времени –∞< t <∞, может быть представлена рядом Фурье в комплексной форме:

где коэффициенты разложения Cr =1/T для любого r, поэтому импульсная функция с учетом (2.4) может быть записана в виде

поскольку x(t) = 0 при t < 0 и δ(t – nT) = 0 при t ≠ nT. После подстановки (4.1) получим

50