книги / Моделирование систем

Решая это уравнение, получаем

* . - ( £ я £ 4 - i * £ * ) /[ » £ * ? - ( £ * )}

* .-(» £ эд»-£ *» £ *)/[» £ *?-(£ *)’}

где N — число реализаций при моделировании системы.

Соотношения для вычисления Ь0 и Ьх требуют минимального объема памяти ЭВМ для обработки результатов моделирования. Обычно мерой ошибки регрессионной модели служит среднее квадратичное отклонение

* - [ ( £ £ (*0 (iV-2)| 1/2.

Для нормально распределенных процессов приблизительно 67% точек находится в пределах одного отклонения <те от линии регрессии и 95% — в пределах 2ае (трубки А и В соответственно на рис. 7.2, б). Для проверки точности оценок Ь0 и Ьх регрессионной модели могут быть использованы, например, критерии Фишера (F- расцределение) и Стьюдента (/-распределение). Аналогично могут быть оценены коэффициенты уравнения регрессии и для случая нелинейной аппроксимации.

Дисперсионный анализ результатов моделирования. При обработ­ ке и анализе результатов моделирования часто возникает задача сравнения средних выборок. Если в результате такой проверки окажется, что математическое ожидание совокупностей случайных переменных {у(1)}, {у(2)}, {у(п)} отличается незначительно, то статистический материал, полученный в результате моделирования, можно считать однородным (в случае равенства двух первых моме­ нтов). Это дает возможность объединить все совокупности в одну и позволяет существенно увеличить информацию о свойствах ис­ следуемой модели Мм, а следовательно, и системы S. Попарное использование для этих целей критериев Смирнова и Стьюдента для проверки нулевой гипотезы затруднено в связи с наличием большого числа выборок при моделировании системы. Поэтому для этой цели используется дисперсионный анализ.

Пример 7.3. Рассмотрим решение задачи дисперсионного анализа при обработке результатов моделирования системы в следующей постановке. Пусть генеральные совокупности случайной величины {у(1)}, ..., {у(и)} имеют нормальное рас­ пределение и одинаковую дисперсию. Необходимо по выборочным средним значени­ ям при некотором уровне значимости у проверить нулевую гипотезу Н0 о равенстве математических ожиданий. Выявим влияние на результаты моделирования только одного фактора, т. е. рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ.

Допустим, изучаемый фактор х привел к выборке значений неслучайной

251

величины Y следующего вида: у и у2, ..., уь где к — количество уровней фактора

х. Влияние фактора будем оценивать неслучайной величиной Dx, называемой

факторной дисперсией:

£ (У1-У)!К

1-1

где у — среднее арифметическое значение величины Y.

Если генеральная дисперсия D [у] известна, то для оценки случайности разброса наблюдений необходимо сравнить D[y] с выборочной дисперсией 5?, используя критерий Фишера (^-распределение). Если эмпирическое значение F3 попадает в кри­ тическую область, то влияние фактора х считается значимым, а разброс значений х — неслучайным. Если генеральная дисперсия £[дг] до проведения машинного эксперимента с моделью Ми неизвестна, то необходимо при моделировании найти ее оценку.

Общая выборочная дисперсия всех наблюдений

1 5? kn—1

При этом разброс значений у определяется суммарным влиянием случайных причин и фактора х. Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы разложить общую дисперсию D]y] на составляющие, связанные со случайными и неслучайными причинами.

Оценка генеральной дисперсии, связанной со случайными факторами,

а оценка факторной дисперсии

Ас=£[у]-Я0[у].

Учитывая, что факторная дисперсия наиболее заметна при анализе средних значений на I-M уровне фактора, а остаточная дисперсия (дисперсия случайности) для средних значений в п раз меньше, чем для отдельных измерений, найдем более точную оценку выборочной дисперсии:

Умножив обе части этого выражения на п, получим в правой части выборочную

дисперсию SI, имеющую (fc—1)-ю степень свободы. Влияние фактора х будет значи-

Л» м

мым, если при заданном у выполняется неравенство SHDQ\y\> F \_ у. В противном случае влиянием фактора х на результаты моделирования можно пренебречь и счи­

252

тать нулевую гипотезу Н0 о равенстве средних значений на различных уровнях справедливой.

Таким образом, дисперсионный анализ позволяет вместо про­ верки нулевой гипотезы о равенстве средник значений выборок проводить при обработке результатов моделирования проверку нулевой гипотезы о тождественности выборочной и генеральной дисперсий.

Возможны и другие подходы к анализу и интерпретации резуль­ татов моделирования, но при этом необходимо помнить, что их эффективность существенно зависит от вида и свойств конкретной моделируемой системы S.

73. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МАШИННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ СИНТЕЗЕ СИСТЕМ

При синтезе системы S на базе машинной модели М ы задача поиска оптимального варианта системы при выбранном критерии оценки эффективности и заданных ограничениях решается путем анализа характеристик процесса функционирования различных ва­ риантов системы, их сравнительной оценки и выбора наилучшего варианта. Независимо от того, как организуется выбор наилучшего варианта системы — простым перебором всех проанализированных при машинных экспериментах результатов или с помощью специ­ альных процедур поиска оптимального варианта, например мето­ дов математического программирования,— элементарной операци­ ей является сравнение статистически усредненных критериев оценки эффективности вариантов систем [9, 29, 33, 53].

Особенности машинного синтеза. Учитывая то обстоятельство, что конкурирующие варианты системы S отличаются друг от друга структурой, алгоритмами поведения, параметрами, число таких вариантов достаточно велико. Поэтому при синтезе оптимального варианта системы Sopt особенно важно минимизировать затраты ресурсов на получение в результате моделирования характеристик каждого варианта системы. Исходя из этих особенностей, при син­ тезе системы S обработку и анализ результатов моделирования каждого варианта системы S следует рассматривать не автономно, а в их тесной взаимосвязи. Очевидно, что задача синтеза оптималь­ ного варианта моделируемой системы 5opt должна быть уже постав­ лена при планировании машинного эксперимента с моделью Мм.

В предыдущей главе было показано, что искусственная органи­ зация статистической зависимости между выходными характеристи­ ками сравниваемых вариантов и S 2 системы дает выигрыш в точности оценки средних значений, вероятностей и дисперсий при положительно коррелированных критериях q2 и q2. Корреляция между критериями qt и q2 возникает в силу того, что случайные векторы

253

ния, когда сравниваемые в ходе проведения имитационных экс­ периментов полные средние значения критериев q2 и q2 примут вид

где dv = dvl9 ..., dvjc',f(v)=fk(v, ..., vk) — совместная плотность веро­

— 00 — CO

Достаточным условием неотрицательности ковариации, да­ ющим выигрыш в оценке разности средних, является одинаковая

254

x l l ^ i ( z ) - f i i ( u ) ] l M 2( z ) - t i 2 ( u ) ] d z d u .

Когда в качестве результатов моделирования выступают вероят­ ности событий А 19 А 2 для вариантов и S 2 системы, то условные значения

f i ^ ^ P i A J v ) ; fi2(v)= P(A2lv)9

где P (A J v ) — условная вероятность, z= 1, 2.

Тогда достаточное условие неотрицательности ковариации запи­

что соответствует одинаковой упорядоченности условных вероят­

ностей P (A J v ) и P (A 2/V ) относительно векторного аргумента «. Одинаково упорядоченными являются монотонно возраста­

ющие или монотонно убывающие функции (v) и скалярного аргумента v, а также одинаковые функции fii( v ) = ii2 (v) независимо от их монотонности. Пример одинаково упорядоченных возраста­ ющих (а) и убывающих (б) функций fi(v ) показан на рис. 7.3.

Если положительные функции fij(v),j= 1, л, одинаково упорядо­

но сказать и об условных веро­ ятностях P(Aj/v)9j= 1, п.

255

Вероятность безотказной работы 2?,- при заданной температуре « = v можно определить как

Р ( Я , / у ) = е - ^ т , / = 1 7 4 ,

где A f ( v ) — интенсивности отказов, являющиеся возрастающими функциями температуры.

Таким образом, функции Р (2?,/v) являются одинаково упорядоченными убыва­ ющими функциями. Можно показать, что функции P (A J v )= :{ l-[ l-P (B J v )] [ l-

- P ( B 2/v)]} {1-[1 -Р (Л 3Л 0Н 1--Р(£»]}, P(A2(v )= l- [ \- P (B J v ) х Р ( В 3/у)] [1 -

—P(B2(v)P(BJv)] также одинаково упорядочены и убывают с ростом температуры v . Поэтому, используя при машинном эксперименте с вариантами S x и S 2 системы одни и те же реализации v случайной температуры v , получим в результате модели­ рования большую точность сравнения вероятностей Р (/ij) и Р (Л2), чем при раздель­ ном моделировании S1 и S2 системы с использованием независимых реализаций v .

Рассмотренный пример можно обобщить и на случай векторного аргумента, например для набора таких переменных, как температура, давление, ускорение и т. п.

Когда независимые компоненты в воздействиях внешней среды Е отсутствуют, т. е. v1= v2=v, условные средние px(v)-M [q xfv], p2(y)—M[q2!v] преобразуются в детерминированные зависимости критериев от случайных воздействий qx= /i (v),

При этом условия одинаковой упорядоченности становятся еще более жесткими. Так, например, условия (7.2) выполняются лиш ь тогда, когда для всех значений

исключено одно из состояний: А ХА2 или А 1А2. Другими словами, положительная корреляция В12 и связанные с ней преимущества гарантируются лишь тогда, когда вариант системы S x равномерно лучше (хуже) варианта S2. В принятых в § 6.3 обозначениях это соответствует рс=0 или pD—0.

Состояния С=АХА2 или D —A XA2 вариантов систем Sx и S2 возможны лишь при наличии двух неисправных блоков Вь i—1, 4, состояние А = А ХА2 возможно при отсутствии неисправностей или при одной неисправности, а состояние В = А^А2 —

при трех или четырех неисправностях. Обозначив через BjSj ситуацию с неисправ­ ностями блоков Bj и Bj, находим соответствие между состояниями

~ВХВ2—*В, ВХВ3-*А, В^И^—С,

В2ВЪ->С, В^В^-ьА, ВуВ^—*в

и убеждаемся в отсутствии состояния D.

Следует помнить, что условия одинаковой упорядоченности (7.1) и (7.2) являются достаточными, но не необходимыми и достаточ­ ными условиями неотрицательности корреляции. Поэтому, обнару­ жив в конкретной схеме проведения имитационного эксперимента нарушение этих условий при некоторых реализациях входных воз­

действий v, следует более детально рассмотреть процедуру сравне­ ния средних значений или вероятностей. Например, при сравнении вероятностей, задаваясь значениями Ар=р1—р 2, рл и РЬ> необходи­

мо рассчитать значенияРг—Р л ^ P D > P I — P Z ^ А?»Pc — P D + Ар и вычи­ слить коэффициенты корреляции и «выигрыша» соответственно:

^12“ ^PA’~P\Pl)lyJP\ 0 Pl)PzO- Р2У’

y= N JN ,=[р1(1 - р 1)+ р 2(1 -P iM P c + PD ~ (Pc~ P D)2]’

256

где N* и N 3— объемы выборки, необходимые для получения задан­ ной точности оценки Ар при использовании независимых и зависи­ мых реализаций.

Таким образом, использование зависимых испытаний дает воз­ можность значительно сократить затраты машинного времени на моделирование. Рассмотренная методика сравнения характеристик вариантов при синтезе системы с учетом их корреляции является формальной. Однако основа для получения с помощью этой мето­ дики практических преимуществ — неформальная операция выбора такой схемы имитации, при которой искусственно создавалась бы требуемая корреляция.

Оценка результатов моделирования системы. Рассмотрим воз­ можность оценки при обработке результатов моделирования аб­ солютных значений характеристик процесса функционирования си­ стемы S. Пусть исследование одного из вариантов системы, напри­ мер S 2, выполнено аналитическим методом и определено среднее

значение р2 критерия q2. Тогда оценка p i= p 2—3 среднего значения рх имеет дисперсию

D [Дi] = D [3\ = (D В Ц +D В Ц )/* = (1 + а)D [AJ/y,,

где уц — коэффициент выигрыша, получаемого при оценке разности

Однако затраты машинного времени для получения оценки Д1, которые обозначим как t12, превышают при заданном N затраты машинного времени tl9 необходимого для автономной оценки pv Поэтому при заданной точности оценки среднего рх оценка Д1 дает выигрыш по затратам машинного времени на имитацию только в том случае, если (1+а)/12/(у^1)< 1 .

Для нормально распределенных критериев qx и q2 оценка дис­

персии D i= D 2+AD. Выигрыш в затратах машинного времени на имитационное моделирование по сравнению с автономной оценкой б х будет лишь при условии (1+ а)//12/у2)/1) < 1, где yD— коэффици­ ент выигрыша, получаемого при оценке разности дисперсий AD за счет зависимых испытаний.

Рассмотренные методы сравнения вариантов и S2 моделиру­ емой системы можно использовать в алгоритмах оптимизации на этапе проектирования системы S, т. е. при ее синтезе, по резуль­ татам имитационного эксперимента с ее машинной моделью Ми.

При синтезе системы S на основе проведения машинных экс­ периментов с моделью М и возникает задача анализа чувст­ вительности модели к вариациям ее параметров. П од анализом чувстви тельн ости машинной модели Мм понимают проверку устойчивости результатов моделирования, т. е. характеристик про­ цесса функционирования системы S, полученных при проведении

имитационного эксперимента, по отношению к возможным от­

Анализ чувствительности позволяет сравнивать методические погрешности, полученные при построении машинной модели М и, с неточностями задания исходных данных, что особенно важно при практической реализации для целей синтеза системы S.

Малым отклонениям Ah будут соответствовать изменения ха­ рактеристик q (Я), которые в практических расчетах можно оценить

величиной A q= q'(h)A h+ r0, где q 1(h)=(dq(h)/dh11 ..., dq(h)jdhn);

г0 — остаточный член второго порядка малости относительно вариации, который используется для проверки точности решения.

ющих номинальным значениям параметров к жи. Если hJK}M= h*i где

h* ~ оптимальные параметры системы по показателю q (Л), то ?Ч^*ш)=0 и необходимо проводить оценку с использованием вто­

рой производной q" (Ашм). Таким образом, частные производные

q'(h)f qf,(h) количественно характеризуют чувствительность ма­ шинной модели М м к изменениям ее параметров.

_ Большие отклонения характеристик q(h) при малых вариациях

к этим вариациям. Для получения оценок q(h) показателя q(h) удобно рассматривать зависимые реализации внешних воздействий

при различных h и проводить соответствующую обработку резуль­ татов машинного эксперимента с моделью М и.

Чувствительность можно оценить и на более простой модели, чем модель для определения характеристик процесса функциониро­ вания системы S. Кроме того, универсальные оценки производных

q'(h) и q"(h), выполняемые при моделировании по зависимым испытаниям, в ряде частных случаев можно заменить более удоб­ ными непосредственными вычислениями.

Таким образом, результаты машинного эксперимента с моде­ лью М и обрабатываются с учетом целей моделирования системы 5, которые находятся в тесной связи с вопросами, решаемыми при планировании экспериментов. При синтезе системы S на базе ее машинной модели Мм необходимо принять меры по организации зависимых испытаний анализируемых вариантов системы и оценке чувствительности модели к вариации ее параметров, что позволит упростить работу с моделью на каждом шаге оптимизации.

258

Контрольны е вопросы

7.1.Каковы особенности имитационного эксперимента на ЭВМ с точки зрения обработки результатов?

7.2.В чем сущность методов фиксации и обработки результатов при статистичес­ ком моделировании систем на ЭВМ?

7.3.Какие методы математической статистики используются для анализа резуль­ татов имитационного моделирования систем?

7.4.Какое место занимают имитационные модели при машинном синтезе

систем?

7.5. Какова цель организации зависимых испытании модели системы иа ЭВМ?

17*

ГЛАВА 8

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТИПОВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СХЕМ

Объекты информационных систем характеризуются сложностью структу­ ры, алгоритмов поведения, многопараметричносгью, что, естественно, приво­ дит и к сложности их машинных моделей; это требует при их разработке построения иерархических модульных конструкций, а также использования формального описания внутрисистемных процессов. Типовые математические схемы являются связующим звеном в цепочке «концептуальная модель — ма­ шинная модель», позволяя эффективно решать при моделировании проблемы взаимодействия заказчика (постановщика задачи) и исполнителя (разработчика модели). Наиболее характерными для информационных систем являются объекты дискретного типа (дискретные производственные процессы, вычисли­ тельные комплексы, каналы передачи данных, информационные сети и т. д.), что предопределяет необходимость детального ознакомления с машинным модели­ рованием на базе дискретных, вероятностных, а также универсальных типовых математических схем.

8.1. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ

При машинной реализации любой из рассмотренных типовых математических схем (D, F, Р, Q, N, Л-схем) необходимо решить вопрос о взаимодействии блоков модели Мм при использовании аналитического, имитационного или комбинированного (аналити­ ко-имитационного) подходов.

Блочная конструкция модели. Рассмотрим машинную модель

Ми системы S как совокупность блоков {щ}, i= 1, п. Каждый блок модели можно охарактеризовать конечным набором возможных состояний {z0}, в которых он может находиться. Пусть в течение рассматриваемого интервала времени (0, 7), т. е. времени прогона

модели, блок изменяет состояния в моменты времени где j — номер момента времени. Вообще моменты времени смены со­ стояний блока щ можно условно разделить на три группы: 1) слу­ чайные моменты, связанные с внутренними свойствами части систе­ мы S, соответствующей данному блоку; 2) случайные моменты, связанные с изменением состояний других блоков (включая блоки, имитирующие воздействия внешней среды Е)\ 3) детерминирован­ ные моменты, связанные с заданным расписанием функционирова­ ния блоков модели [29, 36, 37, 53].

260