книги / Техника высоких напряжений

коротких участков линии сосредоточенными индуктивностями или емкостями в зависи­ мости от сопротивлений, включенных на концах этого участка. При этом важно' от­ метить, что все сказанное выше относится и к случаю, когда по концам линии с вол­ новым сопротивлением г0 включены два

больше одного из волновых сопротивлений Z\ и z2 (или одного из активных сопротив­ лений Ri и R2)t но меньше другого, то один

из коэффициентов отражения оказывается отрицательным, поэтому ряды U A и U B яв­

ляются знакопеременными и напряжения стремятся к своим установившимся значе­ ниям путем колебаний.

На рис, 30-14 показаны графики напря­ жений в начале и конце участка для двух

весьма быстро затухают. Затухание сильно уменьшается? когда отношение волновых сопротивлении возрастает.

При рассмотренных соотношениях вол­ новых сопротивлений также возможна за­ мена участка линии схемой с сосредоточен­ ными постоянными, причем из характера изменения во время напряжений иА и ив

следует, что это должен быть колебатель­ ный контур. Это представляется совершен­ но естественным. Действительно, например, при Zi>z0> z2, по отношению к линии z2

основное влияние должна иметь индуктив­ ность участка, а по отношению к линии ги

лостая линия включается к источнику бес­ конечно большой мощности с напряжением 2 U X. Напряжение на конце холостой линии

при этом изменяется так, как показано на рис. 30-15, т. е. колеблется вокруг устано­ вившегося напряжения U=2Ui с периодом

Al

Г = 2 т = — . В этом случае, очевидно, спра­

ведлива схема замещения рис. 30-12,г, в ко­ торой z2=oo и Z\ =0, т. е. колебательный

контур включен непосредственно на зажи­ мы источника с э. д. с., равной 2 U\. На-

UB

I

02 ? п

Рис. 30-14. Изменение напряжения в узлах Л и Б схемы рис. 30-8.

7“ Т = го= 4г*>2~ 4г1= *o = -j~ г»

пряжение на емкости колебательного кон­ тура в этом случае равно:

а ток в цепи

sin at.

Для того чтобы колебательный контур правильно отражал процессы в участке линии длиной /, должно быть соблюдено

Р ис. 30-15. Напряжения на конце холостой линии, включенной к источнику постоянно­ го напряжения,

равенство собственных периодов колебаний

линии (Т = 41/о = 4 У Т С ) и колебательного контура

( Г =^Г = 2*

I амплитуда тока в линии равна —-----

2UX\ „

~ ÿ W Ï Это дает:

/или L a - T r ^ - ^ r'’С3 Сэ 2Z.C.

L_

С "

Из этих двух уравнений нетрудно по­ лучить, что

рис. 30-12,а и б в схемах рис. 30-12,0 и г ин-

дуктивность La и емкость -g- не должны

быть равны индуктивности L и емкости С замещаемого отрезка линии, а определяют­

ся с помощью коэффициента Ÿ 2/я.

30-4. ВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН НА КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР

Развитие колебаний в колебательном контуре сильно зависит от закона измене­ ния во времени приложенного напряжения.

в расчетных целях удобно представить в ви­ де двух косоугольных волн, сдвинутых во времени на длину фронта (рис. 30-16). В этом случае, воспользовавшись методом

Рис. 30-16. Волна с косоугольным фронтом и ее составляющие.

наложить на него точно такое же решение, сдвинутое во времени на Тф и имеющее противоположный знак.

Зная напряжение на емкости колеба­ тельного контура при прямоугольной волне и единичной амплитуде приложенного на­ пряжения

ис — (1 — cos «/) = у (0»

напряжение ис при воздействии косоуголь­

ной волны u(t) = at нетрудно получить с помощью теоремы Дюамеля:

t

ис = и (0)?(0 + f =

о

t

(1 — cos (ÙZ)âdz — at — — sin со/.

(30-30)

Это решение будет справедливо в те* чение времени от 0 до Zф для волны с ко­ соугольным фронтом. На основании сказан­ ного выше при / > Тф напряжение ис будет

равно:

а_

ис = at — со sin со/ — а (/ — Тф) +

Н“ S in СО(/ — Тф) =

а после фронта — также и от соотношений

причем это максимальное значение во всех

2а случаях равно — , т. е. вдвое превышает

амплитуду колебаний в течение фронта.

При -уг = 1, 2, 3 и т. д. после окончания

фронта волны колебания отсутствуют пол­ ностью. Последнее обстоятельство связано с тем, что в момент / = тф ток в контуре

duc

i = С “jjr равен нулю, поэтому магнитнай

Рис. 30-17. Напряжение на емкости колеба­ тельного контура при воздействии волны с косоугольным фронтом и различном отно­ шении тф/Т.

а — — = 0,3; 6 — jr- = 1,0; в — ^ = 1,5.

энергия в индуктивности отсутствует. Так как в этот момент времени напряжение на емкости как раз достигло своего устано­ вившегося состояния, то оно остается не­ изменным и в дальнейшем.

На рис. 30-18 показано изменение наи­ большего напряжения на емкости Ucмак о при изменении отношения Тф/Г. Своеобраз­

ный характер этой зависимости связан с резким изменением крутизны приложенного напряжения в момент /=Тф для волны с косоугольным фронтом. Так как эта вол­ на представляет собой определенную идеа­ лизацию реальных волн, на практике пред­ почитают пользоваться пунктирной кривой рис. 30-18, являющейся огибаюШей макси­ мальных значений напряжения ис.

б) Напряжение на емкости колебатель­

ного контура при воздействии экспонен­ циальной волны и = и<>е~~^Го также может

Рис. 30-18. Зависимость максимального на­ пряжения на емкости колебательного кон­ тура при воздействии волны с косоуголь­

ным фронтом от отношения

Рис. 30-19. Изменение во времени напряже­ ния на емкости колебательного контура при воздействии экспоненциальной волны

Т

при разных отношениях -j?-.

Рис. 30-20. Зависимость максимального на­ пряжения на емкости колебательного кон­ тура при воздействии экспоненциальной

Т

волны от отношения

быть получено на основании теоремы Дюамеля, применение которой дает:

ис —

)•

Напряжение на конденсаторе в данном случае состоит из колебаний с частотой со, наложейных на экспоненту, как это хорошо видно из рис. 30-19. Максимум напряжения на емкости наступает в пределах первого полупериода собственных колебаний кон­ тура и увеличивается при увеличении от-

мума может быть определена с помощью кривой рис. 30-20, из которой следует, что при TQ/T = 3, Максимальное напряжение

достигает 1,9 £/0, т. е. всего на 5% отли­ чается от максимального напряжения при воздействии прямоугольной волны, а в даль­ нейшем возрастает весьма медленно.

30-5. ВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ НА ПРОСТЕЙШИЕ СХЕМЫ. МЕТОД ПОДКАСАТЕЛЬНОЙ

В схемах грозозащиты (см. гл. 35) час­ то приходится встречаться с волнами сложной формы, которые чаще всего зада­ ются графиками. В ряде случаев расчет отражения и преломления таких волн мо­ жет быть достаточно просто осуществлен с помощью графического «метода подка­ сательной», разработанного М. В. Костен-

л

Рис. 30-21. Включение источника напряже­ ния на линию с емкостью на конце.

ко. Этот метод применим для решения дифференциальных уравнений типа

которые весьма часто встречаются в прак­ тических задачах.

В качестве примера рассмотрим схему рис. 30-21, часто встречающуюся при рас­ четах грозозащиты подстанций. Для общности будем считать, что емкость С

была предварительно заряжена до напря­ жения U0. Дифференциальнре уравнение

для конца линии будет следующим:

dun

источника, на рис. 30-22 построим функ­ цию 2u(t) и дополнительную систему коор­

динат, сдвинутую на время Г, в которой будет осуществляться построение искомого напряжения на емкости uc(t). Для этого

прежде всего отметим начальное значение искомого напряжения (при t —0 U c~U о),

после чего разобьем ось абсцисс на ряд малых интервалов времени А/, как показа­ но на рис. 30-22. Из Точки U0 проводится прямая до значения функции 2u(t) в на­

чале первого интервала времени и прини­ мается, что в течение интервала A/i иско­ мая функция совпадает с этой прямой. Из

Рис. 30-22. Построение напряжения uc(t)

на емкости схемы рис. 30-21 методом под­ касательной.

точки / проводится прямая до значения функции 2u(t) в начале следующего интер­

вала и принимается, что искомое напряже­ ние совпадает с этой прямой в течение сле­ дующего интервала времени At2. Далее по­

смотрим треугольник АВС, Ордината точ­

означает не что иное, как наклон касатель­ ной к кривой ис (/) в момент времени

daç\

Следовательно, при выпол­

dt )

нении построения на каждом интервале At

мы заменяли искомую кривую отрезками касательных, что, как известно, дает тем меньшую ошибку, чем меньший интервал времени выбран для построения.

Естественно, что в схеме рис. 30-21 рассмотренное построение справедливо

не пришла волна, отраженная от начала линии. Эту волну в данном случае нетрудно найти. Действительно, отраженная от конца волна UoTp{t) =Uc (t)—u(t) может быть оп­

ределена графически, как показано на рис. 30-23. Дойдя до начала линии, эта волна от­ разится с обратным знаком, но не изменится по форме (источник напряжения считаем бесконечно мощным). Дойдя до конца линии, она наложится на первоначальную волну u(t). Поэтому, начиная с момента времени f=т, в графическом построении на рис. 30-22 в качестве воздействующей функции следует

принимать 2u(t)—2аОТр(0«

Таким образом, метод подкасательной может с успехом применяться и при мно­ гократных отражениях волн.

Обычно интервалы времени At прини­

маются одинаковыми. Однако для получе­ ния необходимой точности желательно, что­ бы границы интервалов совпадали с харак­ терными точками в кривой воздействую­ щего напряжения. Например, на рис. 30-22 необходимо интервал AtA разбить на два

интервала, принимая при этом, что напря­ жение в конце первого из них равно сред­ нему значению напряжения скачка.

30-6. ВЛИЯНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ КОРОНЫ НА ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

Как уже указывалось выше, при боль­ ших напряжениях распространяющейся вдоль линии волны на проводах линии воз­ никает коронный разряд, развитие которо­ го связано с затратой определенной энер­ гии. Эта энергия расходуется за счет энер­ гии двигающейся волны, благодаря чему и происходит ее деформация. Проводившиеся многочисленные эксперименты позволили установить, что деформация волны под действием импульсной короны имеет свое­ образный характер, отчетливо видный на рис. 30-24.

Начальный участок волны с напряже­ нием меньше критического остается прак­ тически неискаженным (небольшое замед­ ление нарастания напряжения на этом уча­ стке связано с влиянием активного сопро­ тивления нулевой последовательности), а остальная часть волны как бы сдвигает­ ся в область больших времен, причем этот сдвиг увеличивается.. с увеличением прой­ денного волной расстояния вдоль линии. Этот процесс сопровождается растягива­ нием фронта волны и некоторым сниже­ нием амплитуды, которое увеличивается при уменьшении длины волны. Как видно из сравнения рис. 30-24,а и б, деформация фронта волны при положительной поляр-

ности происходит гораздо более интенсив­ но, чем при отрицательной полярности.

Для того чтобы провести теоретический анализ влияния импульсной короны на вол­ новые процессы в линии, необходимо уяс­ нить некоторые особенности, которые от­ личают импульсную корону от стационар­ ной короны переменного или постоянного тока.

Прежде всего импульсная корона имеет ярко выраженную стримерную структуру и состоит из отдельных светящихся нитей, число которых на единицу поверхности про­ вода при отрицательной полярности значи­ тельно больше, чем при положительной по­ лярности, а длина, наоборот, меньше. Ка­ налы отдельных стримеров являются прово­ дящими, следовательно, часть зарядов про­ вода стекает вдоль канала, сосредоточи­ ваясь у его головки. При постепенном увеличении напряжения в течение фронта волны длина стримеров увеличивается, рас­ тет и сосредоточенный на их концах за­ ряд, поэтому в процессе развития короны вдоль отдельных нитей короны проходит довольно значительный ток, величина ко­ торого тем больше, чем больше скорость роста напряжения. Прохождение этого тока по каналам стримеров приводит к их нагреванию до температуры, которая мо­ жет превышать 2 000° С.

Совершенно естественно, что каналы стримеров в процессе развития короны должны сохранить свою проводимость, по­ этому в пределах этих каналов непрерывно должен происходить процесс ионизации. Если температура канала недостаточно вы­ сока (меньше 4 000—5000° С), то заметная термическая ионизация еще не возникает и основную роль продолжают играть элек­ тронные удары, которые являются ионизи­ рующими при наличии определенной про­ дольной напряженности поля в канале £ кр. Однако, так как температура в канале зна­ чительно выше нормальной (Го=293°С), эта напряженность может быть существен­

образом, в отличие от стационарной короны импульсная корона должна отличаться низ­ ким радиальным градиентом в области ионизации и высокой радиальной проводи­ мостью.

Стримерная структура коронного чехла исключает возможность прохождения тока по чехлу в осевом направлении 1, так как

отдельные каналы короны не соприкасаются друг с другом. Поэтому продольный ток в линии по-прежнему проходит только по проводам, в результате чего на индуктив­ ность линии корона никакого влияния не оказывает. Напротив, заряды перемещают­ ся с провода на периферию коронного чех-

1 Этр справедливо и для стационарной короны переменного тока.

Рис. 30-25. Вид вольт-кулоновой характери­ стики импульсной короны при положитель­ ной и отрицательной полярности провода.

ла, благодаря чему емкость линии сущест­ венно изменяется.

Основной энергетической характеристи­ кой импульсной короны, так же как и ко­ роны переменного тока (см. гл. 8), являет­ ся вольт-кулоновая характеристика, вид которой при обеих полярностях показан на рис. 30-25. На этом же рисунке показана наклонная прямая, соответствующая изме­ нению заряда при отсутствии короны. На­ клон этой прямой пропорционален величине геометрической емкости линии. При нали­ чии короны понятие емкости линии теряет свой определенный смысл, так как зависи­ мость заряда от напряжения перестает быть линейной. Однако удобно ввести по­ нятие статической емкости C0T=*qlut ко­

торая равна отношению заряда к напряже-

л dq

нию, и динамической емкости Сд==

которая определяется наклоном касатель­ ной к вольт-кулоновой характеристике (рис. 30-25).

Если пренебречь всеми потерями в ли­ нии, за исключением потерь на корону, то первое уравнение (30-4) останется неизмен­ ным, а второе уравнение необходимо пере­ писать следующим образом:

где q есть мгновенное значение заряда,

являющееся функцией мгновенного значения напряжения, вид которой определяется вольт-кулоновой характеристикой.

dq

Так как ^ - = СД, вместо уравне­

ния (30-36) получим:

же, как и второе уравнение (30-4) для ли­ нии без потерь, с той, однако, существен­ ной разницей, что величина динамической емкости Сд не является постоянной, а за­ висит от мгновенного значения напряжения.

у ъ Г у р : *****

является функцией мгновенного значения напряжения.

Для того чтобы использовать получен­ ное решение, полезно условно разбить дви­ гающуюся волну ца элементарные волны, как это показано на рис. 30-26,а. Тогда каждая элементарная волна распростра­ няется вдоль линии со своей скоростью, за­ висящей от ординаты этой волны. По мере движения волны вдоль линии верхние уча­ стки волны будут постепенно отставать от нижних, что и приводит к деформации фронта волны; Если волна пробежала вдоль линии путь /, то время, на которое «запаздывает» участок волны с ордина­ той U,

/с I 1—Р

= — - ^ 7 = — ~ Г ’ (30-39)

с

где обозначено

<31Н0)

Таким образом, если для данной линии экспериментально определена вольт-кулоно- вая характеристика, с ее помощью может быть найдена зависимость от напряже­ ния Сд, а следовательно, скорость распро­

странения V и отношение р = Имея

эти зависимости, нетрудно путем построе­ ния найти деформацию волны в течение

в многопроводнюй системе, в частности на коэффициент овязи. Для того чтобы разо­ брать это влияние, напомним, что потенци­ альный коэффициент

есть величина, обратная емкости С* k-ro

провода относительно земли на единицу длины. Поэтому коэффициент связи между Проводами / и 2 в статическом режиме

(т. е. при неподвижных зарядах на про-во-

а)

-L-

0

Рис. 30-26. Расчет деформации фронта вол­ ны в коронирующей линии.

а — волна в начале линии; б — волна после про­

бега некоторого пути / (пунктиром показана фор? ма недеформированной волны).

дах) может быть записан следующим об? разом:

Если к первому проводу приложено высокое напряжение, превышающее крити­ ческое напряжение короны, то емкость это­ го провода увеличивается, благодаря чему должно возрасти влияние на соседний вто­ рой провод. При этом в статическом режи­ ме коэффициент связи делается равным:

т. е. он возрастает пропорционально отно? сительному увеличению статической ем­ кости.

Величины коэффициентов связи в ста­ тическом режиме неоднократно измерялись экспериментально на коротких участках

проводов, причем было установлено, что

kcT

отношение — может иметь порядок

2—3 и даже более. Однако полученную та­ ким образом величину коэффициента связи ни в коем случае нельзя применять к вол­ новому режиму, так как в отличие от ли­ нии без потерь в волновом режиме величи­ на коэффициента связи должна быть зна­ чительно меньше kQT. Рассмотрим распро?

странецие волны вдоль коронирующего провода 1 при наличии параллельного изо? лированного провода 2 (рис. 30-27). Источ?

ник напряжении включен в точке Ль что, например, может соответствовать прямому удару молнии в эту точку. По проводу J в обе стороны от источника распространя­ ются волны напряжения, которые приводят

Рис. 30-27. К определению коэффициента связц между коронирующим (/) и некоронирующим (2) проводами.

к появлению короны на этом проводе и вследствие этого при своем движении испы­ тывают деформацию. Рассмотрим переме­ щение по проводу одной из элементарных волн, показанных на рис. 30-26,а, которая будет двигаться вдоль линии со скоростью v<c. В силу симметрии в точке А2 прово­ да 2 ток должен отсутствовать, т. е. этот

провод может считаться разомкнутым. Если бы провод 2 не обладал прово­

димостью в продольном направлении, то распространение волны по первому прово­ ду приводило бы только к поперечному смешению зарядов, причем при принятой на рис. 30-27 полярности отрицательные заряды оказались бы связанными с заря­ дами волны, двигающейся по первому про­ воду, а положительные заряды создавали бы на этом проводе напряжение точно та­ кое же, как и в статических условиях, т. е. d(kcrU). В действительности про­ вод 2 является проводящим и положитель­

ные заряды, будучи свободными, двигают­ ся по проводу со скоростью света, так как корона на втором проводе отсутствует *. При этом линейная плотность этих зарядов падает и уменьшается создаваемое ими напряжение. Так как за время t волна по

первому проводу проходит путь о/, а по­ ложительные заряды второго провода за это же время проходят путь et, то умень­

шение плотности зарядов происходит в о/с=р раз, во столько же раз умень­ шается и наводимое на проводе напря­ жение

Таким образом мы нашли приращение напряжения, наведенное на проводе 2 эле­

ментарной волной, распространяющейся по

1 Так как по проводу / заряды двига­ ются со скоростью меньше скорости света, создаваемое ими поле не является плос­ ким. Как показал А. И. Долгинов, движе­ ние зарядов в проводе 2 происходит под

действием образующейся при этом про­ дольной составляющей напряженности электрического поля, которая в линиях без потерь отсутствует.

первому проводу. Для того чтобы опреде­ лить полное напряжение U2i необходимо

сложить приращения напряжения, созда­ ваемые всеми элементарными волнами, т. е. произвести интегрирование

и

О

Для того чтобы произвести это интегриро­ вание, необходимо выполнить следующие преобразования:

мость динамической емкости от напряже­ ния, то интеграл (30-45) может быть най­ ден численными методами и таким обра­ зом вычислена поправка на корону у.

Расчет р и у на основании экспери­

ментально определенных вольт-кулоновых характеристик дает весьма точиые резуль­ таты, однако он является крайне громозд­ ким, поэтому желательно иметь возмож­ ность оценивать влияние короны на вол­ новые процессы в линии, не прибегая к по­ мощи эксперимента хотя бы ценой больших приближений. Такая оценка может быть проще всего сделана, если предполо­ жить, что во время горения короны ра­ диальная напряженность поля в ее чехле равна нулю, а на границе коронного чех­ ла напряженность поля равна Е ср, вели­

чина которой определяется на основании сравнения расчета и эксперимента. Не вда­

ваясь в детали такого упрощенного расче-

V

та, укажем, что коэффициенты 6=* — и у

С

могут быть приближенно оценены по фор­ мулам

где h — средняя высота подвески провода над землей, щ

гпр — радиус провода, м\ и — мгновенное значение напряжения

движущейся волны, кв\

£ Ср = 9 /cejcM при положительной поляр­ ности и 21 кв/см при отрицатель­

ной полярности.

мксек

Рис. 30-28. Зависимость смещения фронта деформированной под действием короны волны от напряжения.

На рис. 30-28 показана построенная с помощью (30-46) и (30-39) зависимость сме­ щения At фронта волны от напряжения для

различных высот и радиусов провода. Из кривых видно, что деформация фронта уве­ личивается при уменьшении высоты h и

уменьшении радиуса провода гпр. Это вполне естественно, так как в обоих слу­ чаях при заданном напряжении и увеличи­

вается напряженность поля на поверхности

2h

провода Е г = гПр In -— , а следовательно,

Гпр

улучшаются условия для образования ко­ роны.

Следует ожидать, что величина коэф­ фициента связи также будет расти при увеличении h и уменьшении гПр. Это под­

тверждается с помощью рис. 30-29, из ко­ торого следует, что в среднем для линий электропередачи можно ожидать увеличе­ ния коэффициента связи на 10—30% по сравнению с геометрическим.

30-7. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УЧАСТКА ЛИНИИ

В § 30-3 участок линии, заключенный между двумя волновыми (или активными) сопротивлениями, заменялся колебатель­ ным контуром. На практике часто встре­ чаются схемы, в которых по концам участ­ ка линии включены индуктивности или емкости, и пользоваться рекомендациями § 30-3 для определения параметров схемы замещения не представляется возможным.

Рассмотрим включение к источнику по­ стоянного напряжения бесконечной мощ­ ности участка линии длиной /, на конце которого включена емкость С (рис. 30-30).

Для линии без потерь длиной / спра­ ведливы следующие уравнения в оператор­ ной форме:

ление.

Так как в рассматриваемой схеме в конце линии включена емкость, то

7а = рСТТг. (30-49)

Таким образом, мы получили напряже­ ние на емкости в операторной форме. Для определения напряжения в функции вре­ мени необходимо применить теорему раз­ ложения:

+00

—00

Так как холостая линия без потерь является колебательной системой, а вклю­ чение емкости не может ликвидировать ее колебательные свойства, корни р* должны быть чисто мнимыми. Полагая

p±k =• ±

н переходя в уравнении (30-52) от гипербо­ лических функций к тригонометрическим, получаем:

где Tc = Cz — постоянная времени зарядки

емкости через волновое со­ противление z .

Так как (30-53) является трансцен­ дентным уравнением, его решение проще всего получить с помощью графического построения, показанного на рис. 30-31, где

часть уравнения. Искомые значения ф*т лежат на пересечении прямых с контангенсоидой. С помощью такого построения не­ трудно найти собственную частоту как первой гармоники, так и всех высших гар­ моник собственных колебаний схемы.

В табл. 30-1 приведены вычисленные таким образом частоты собственных коле:

Т\

=arctg — у

Таблица 30-1

Корни уравнения

T

ctg ü>hX= (ùhX— = (ùhx tg 0

Наибольшее значение, естественно, имеют колебания основной частоты, поэтому в ряде случаев можно ограничиться заменой схемы простым колебательным контуром, частота собственных колебаний которого равна <о,. На рис. 30-32 приведена зависи­

те мость а>! от отношения —X

Если предположить, что в эквивалент­ ном колебательном контуре индуктивность

равна индуктивности линии Ln = — = *х,

а емкость — включенному на конце линии конденсатору С, то собственная частота этого контура была бы равна:

Рис. 30-31. Графическое решение уравнения:

На рис. 30-32 приведена также кривая, подсчитанная из этого уравнения. Как

Т

видно, уже при —X = 2 ошибка в определе-

нии частоты первой гармоники собственных колебаний схемы не превосходит 9%, а при

Т

— = 6 уменьшается до 2%. Поэтому при

х