книги / Структурно-аналитическая теория прочности
..pdfрами. Чтобы учесть влияние шероховатостей поверхности, вы зывающих тепловые вспышки в зоне кратковременного кон такта, будем считать, что две скользящие относительно друг друга поверхности находятся на изменяющемся расстоянии hit) и что характер вариации во времени hit ) отвечает характеру флуктуаций зон контакта.
Итак, пусть рассматриваемое тело А имеет идеальную пло скую поверхность бесконечных размеров. Расположим на рас стоянии h от этой поверхности другое тело В, движущееся с заданной, но не обязательно постоянной скоростью VQ(/) отно сительно тела А. Между поверхностями поместим несжимаемую вязкую жидкость с плотностью рж и с динамической темпера турно-зависимой вязкостью рж(Тж), которая испытывает задан ное извне произвольно изменяющееся во времени давление Pit), где Тж — температура жидкости. Ортогональную систему огсчета х , у, z выберем так, чтобы направление х совпадало с вектором скорости vx = VQ, а направление z —с нормалью к поверхности тела А. Пусть изнашиваемая поверхность первоначально была расположена на расстоянии Но от начала координат. Тогда, если скорость износа обозначить через w, текущее положение
этой поверхности Hi станет |
равным |
Н \ = |
HQ —w t . |
Толщину тела А обозначим через L, считая в необходимых случаях L-* а». Согласуем далее движение сопряженных тел А и В так, чтобы расстояние между ними h не зависело от
износа |
wt. |
|
|
Рассмотрим вначале характер поведения жидкости, перете- |
|||
каемой |
в направлении х |
со |
скоростью v iz ) в области между |
телом А |
и телом В, т. |
е. в |
промежутке между координатами |
z =#о - wt и zh * Но + hit) - wt.
Поскольку скорость движения жидкости v не должна зависеть от х и у, сразу приходим к выводу, что все определяющие
уравнения должны не |
зависеть от х и у. Граничные условия |
|||
для |
скорости |
течения, |
очевидно, будут следующими: v - 0 при |
|
z - |
Но - w t и |
v = vo (/) |
при z = Но + h (t) - |
wt . Учтем также ус |
ловие независимости давления р = p(t) от |
координаты z. Доба |
|||
вим, что в практических задачах трения давление р нередко является функцией температуры жидкости Тж, поскольку оно определяется вязкостью жидкости и производительностью насо сов, подающих жидкость в узлы трения. По этой логике, можно считать, что р = р (Тж, t) .
Между слоями жидкости будут действовать касательные на пряжения а*} , обусловленные «внутренним трением» и равные
°?1- «fa- /* * £ • |
«.42, |
Кроме того, существуют и нормальные напряжения а*| =
= <7*2 = °зз = Р (остальные = 0). Распределение температуры в слое жидкости будет определяться тремя факторами: переносом тепла в жидкости, теплообменом с прилегающими телами А и В, тепловыделением вследствие работы сил вязкого трения внут
ри жидкости. Скорость выделения тепла |
дТж/д 1 определяется, |
|
следовательно, уравнением |
|
|
дТж_ |
тЖ |
(2.43) |
dt - |
Г31 |
|
Граничные условия для температуры выберем следующим об
разом: будем считать, |
что на поверхности тела |
В , т. е. при |
z = Я о + + h ( t ) - w t , |
теплообмен с жидкостью |
отсутствует, а |
на поверхности изнашиваемого тела имеет место теплообмен, оп
ределяемый тепловым потоком Q в сторону |
тела А, равный |
||||
|
Q = Кщ( Тж —Тп) , |
|
|
(2.44) |
|
где К ,п ~ коэффициент теплообмена |
между |
жидкостью |
и |
телом |
|
А; |
Тп - температура поверхности А, |
т. е. температура |
в |
точке |
|
с |
координатой z = Яо + wt. |
|
|
|
|
Решение уравнений движения жидкости и теплопередачи в ней позволяет далее поставить краевую задачу для температуры Тп и напряжений aztна поверхности изнашиваемого тела А.
Учитывая, однако, неточность формулировки уравнений, опи сывающих поведение жидкости, и малую толщину слоя жид кости в реальных узлах трения, имеет смысл в дальнейшем ограничиться следующими простыми аппроксимациями: поло
жим, что dv/dz*=vo/h и |
V= VQ в (2.43). Тогда |
имеем |
|
° 3\ ” ~1%v° ’ |
(2.45) |
Для вязкости рж можно |
принять соотношение |
|
Иж~ 6 —Чж/ k T ж 5 |
(2.46) |
|
где /1° , иж ~ постоянные.
Далее запишем энергобаланс для средней по толщине Л тем пературы жидкости, учитывая (2.43) и (2.45), в форме
^ f = fâ L iÏL -v -2 — , |
(2.47) |
ot h сжрж h сжрж |
|
где Сж - удельная теплоемкость жидкости. Здесь первое сла гаемое связано с изменением температуры жидкости из-за внут
реннего |
трения в ней, а второе |
— с уходом |
тепла в |
сторону |
|
тела А. |
|
|
|
|
|
Из |
(2.42)—(2.47) получаем соотношение для расчета |
темпе |
|||
ратуры |
жидкости |
|
|
|
|
|
дТж _ р ж(Тж) Ур _ |
кж -(Тж- |
Тп) . |
(2.48) |
|
|
dt |
fi* с Рж |
h сжРж |
|
|
|
|
|
|
||
Это уравнение определяет закон изменения температуры на поверхности изнашиваемого тела, если его решать совместно с уравнением теплопроводимости для тела А. Последнее выберем в соответствии с (1.122) в форме
дт_ ко д2 т |
(2.49) |
|
dt ср д z2 * |
||
|
где Г — температура элементов среды тела А. Граничные ус
ловия |
для Г |
определим так: |
на |
поверхности тела А, т. |
е. |
в |
точке |
с координатой z * Но - |
wt, имеем Г = Гп и поток |
||||
тепла, |
равный |
Q в (2.44), |
а в |
точке с координатой z |
- |
L |
имеем Г * Го, где Го - заданная постоянная температура. Будем также считать, что в начальный момент времени име
ют место условия Гж = Гп и Г = Го.
Теперь видно, что (2.48) и (2.49) полностью определяют и температуру жидкости Гж, и температуру тела А, т. е. Г.
Сформулируем далее задачу о напряженном состоянии тела А. Учитывая независимость всех переменных от х и у, пере
пишем уравнение равновесия (1.120) в статическом варианте задачи в виде
|
= 0 |
ÊEil = л |
^ |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
dz |
и ’ |
dz |
' dz |
|
|
|
|
|
Принимая во |
внимание, что |
на |
границе |
тела |
А |
при |
|||
z = HQ — wt действуют |
напряжения |
azz = о%3 = р , azx - |
о*| = |
||||||
= рж/(К) VQ , Оуу = |
0, а |
в |
точке с |
координатой |
z = L |
|
также |
||
действуют напряжения |
azz = а*3 = р , ozx - |
—р / (A) v0 , |
сразу |
||||||
из условий равновесия находим, что взаимодействие с полем усилий, передаваемых со стороны жидкости на тело А , приводит к неизбежному возникновению в нем напряжений о2{, равных
°°zx= v0(0o°Zy =, 0 , a\z —р(t) .
Остальные |
= 0. |
Эти напряжения будут добавляться к температурным напря жениям, определяемым полем Г.
Условия сплошности для деформаций с учетом (1.121) вы глядят так:
|
d2 EyY Y _ |
d2Err |
à2 Eyvv _ д2 E l |
д2 £yrv _ |
д2 £yV |
||
|
dz2 |
dz1 * |
dz2 |
dz2 |
’ |
dz2 |
dz2 |
где |
= е}ь + Efc + £//t + |
и |
вычисляются |
эти |
деформации по |
||
соответствующим уравнениям, выведенным в главах 1 и 2. Далее остается определить скорость износа w с помощью
уравнения
w —dzup/dt ,
ще 2Кр (0 есть решение уравнения макроповреждаемости
П М[2КР( 0 ] = 1 .
Выписанные соотношения вместе с уравнениями для дефор маций, напряжений и повреждаемостей в главах 1 и 2 позво ляют рассчитать скорость износа.
Разумеется, задачу об износе можно формулировать и в бо лее строгой (сложной) постановке.
2.10. Проблема выбора характеристических тензоров
Все физические законы деформации и разрушения не зави сят, конечно, от выбора системы отсчета, поэтому они должны записываться в форме, инвариантной по отношению к преоб разованиям координат. Считается поэтому, что, какова бы ни была конкретная зависимость между деформацией £/* и напря
жением Оц. или повреждаемостью Пм и сг,* (либо зд), опре деляющие соотношения должны содержать инварианты тензоров ецс и Oik. В случае процессов, обусловленных неупругими сдви гами, в качестве инвариантов од и Oik обычно выбирают их вторые инварианты, при необходимости - первые и в редких случаях - третьи. В проблемах микропластичности и микро разрушения в рассмотрение был введен еще ряд тензоров:
#*(1.63), Г,-*(1.9), 4(1 .6 |
5 ), 4 (1 |
.8 8 ), 4 (1 .9 5 ), г,*(2.2), |
4 (2 .1 ), |
4 * ( 2 . 1 1 ) , т '(* ( 2 . 1 2 ) и х |
^ (2.13). |
Перечисленные здесь |
тензоры |
напряжений порождаются, как видно из вышеизложенного, либо полем о*к, либо полем о*£. С другой стороны, они вызывают
неупругие микродеформации и микроповреждаемости
л ° , л с и я*. Понятно, что эволюционные уравнения связывают
между собой / 4 и названные микроповреждаемости с о*к или о*к , поэтому можно было бы думать о присутствии в таких уравнениях первого, второго и третьего инвариантов о*к или
о*к . С уверенностью можно сказать, что такие инварианты не посредственно не фигурируют в законах деформации или раз рушения. В соответствии с логикой построения тензоров в (1.67), (1.93) и в (1.96) можно утверждать, что требуемые инварианты возможно строить только из следующих частей
°*к или <4*:
*4 = (ai3akl ■*" ail акз) арЗaql °pq »
°1к - I(.ai3 akl + ail акз) ap3aql +
+ (ai3 ak2 + ai2ak3) ap3aq2 1 °pq >
®ik = ai3 &k3&p3 aq3 ^pq»
II |
= йг<5 afy üprÜqS Т]да T]yp T}rm r]snTJ3Q r\jÿj 73m73п Gpq > |
®ik ~ aiô fcy &praqsVôaVyfi Vrm Vsn X
(2.50)
(2.51)
(2.52)
(2.53)
„Q 1
II
. x (via v\p + Via Vlp) VlmVin a'pq» |
(2.54) |
aiô akyapraqsVôaVyfi Vrm Vsn 1(^3a Vlfi |
Via 73/î) X |
X vlm Vin + (Via V% + V2a vlp) vlm v\n 1 °*pq • |
(2.55) |
Разностные тензоры oik - о^., aik - о?к , aik - о\к , oik —aik,
°ik ~ ®ik » aik ~ ^ [к в формировании физических свойств дефор мации и разрушения в локальном объеме не участвуют и по этому являются как бы «пустыми». В кристаллах направляющие
косинусы ijik, rfik, r/cik образуют дискретное множество, в то вре мя как направляющие косинусы од образуют дискретный набор только для монокристаллов. В случае поликристаллической сре ды сод создают непрерывное множество по всем углам ориен
тационного пространства {Я}. Поэтому при расчете / 4 как фун
кции Я приходится образовывать |
непрерывное |
множество |
о"к , ofk , о\к , aik, ô ik, â[k. Далее, при |
построении |
од и пара |
метра повреждаемости Пм вся совокупность перечисленных спе циальных тензоров будет представлена в макроскопических свой
ствах среды через а*к и а*к. |
Таким образом, |
названные свойства |
в общем случае невозможно |
выразить через |
первый, второй и |
третий инварианты о*к и о*к. Реальные свойства формируются после «процеживания» о*к и о*£ через ориентационное простран
ство. |
|
|
Конечно, |
такая сложная |
ситуация не всегда имеет место. |
Если тело |
макроскопически |
изотропно, т. е. /(Q ) = const, а |
путь нагружения в пространстве макроскопических переменных oik или Eik пропорционален, то между е/* и а /k существуют простые инвариантные зависимости в рамках классических пред ставлений механики сплошной среды.
Обратим еще внимание на |
тот факт, что если |
Sp о*к = |
|
= Spa?* = Spcf^ = S p a ^ = 0 |
при |
любых о*к и о*к , то |
S pa^ и |
Sp oik в общем случае не |
равны |
нулю: |
|
Sp о\к = «рЗ Ctqi Opq ,
Sp Oik = CtprCiqs71rmT]sn Vim Vin °PQ •
Более того, Sp о\к и Spa^ могут оказаться отличными от нуля
даже при условиях Sp<7** = 0 и Spo*k = 0. Например, если тензор имеет лишь две неравные нулю компоненты а31 = (7*3, то
Spcri* - 2а1заз3аз1.
Видно, что при произвольных поворотах осей след тензора здесь не равен нулю. Может возникнуть естественный вопрос: на ка
ком основании тензоры о*к или о*к каждый расчленяются со
ответственно на о?к , о\к , ofk и оik, â ik, о [к , а также на упо минавшиеся выше разности тензоров, т. е. «пустые» для теории тензоры? Естественными предпосылками для таких манипуляций являются физические соображения. Здесь имеет место полная аналогия с разбиением Oik и Eik на шаровую и девиаторную компоненты, что получило широкое распространение в моделях сплошной среды. В теории пластичности, например, шаровая часть тензора обычно определяет только упругость, а девиаторная определяет и упругие, и, что особенно важно, неупругие деформации. Наше разбиение сохраняет физическое содержание только за той частью тензоров напряжений, которые влияют на физические процессы. Дополнительное разбиение этих тен
зоров |
на шаровое и |
девиаторное |
слагаемые также, разумеется, |
|||
имеет |
смысл. |
|
|
|
|
|
Последний вопрос, который здесь следовало бы осветить, за |
||||||
ключается |
в том, |
являются |
ли |
математические объекты |
||
о\'к , о?к , о[к , oik, U |
ô fk |
тензорными, поскольку процедура их |
||||
получения |
из о*к и |
о*к |
довольно |
необычна. Утвердительный |
||
ответ на поставленный вопрос заключается в том, что тензорные
свойства названных математических объектов постулируются не через процедуру создания их из тензоров а*к и о**, а исклю чительно через законы преобразований при переходе к новым системам отсчета. Например, в ортогональной системе координат а , 0 у у , получающейся из системы координат х, у, z через направляющие косинусы £/*, будем считать справедливым пре образование в форме
ip*kqupq »
ще oj* — один из тензоров в уравнениях (2.50)—(2.55) в системе
координат х, у, z; of* — тот же тензор в системе координат
а, у.
Вполне естественно, что существуют следующие равенства:
Отсюда следует свойство инвариантности для |
, 7V, Z3 3, |
г33 » Г31 » Тх.
Выпишем для удобства пользования в качестве примера пол ную систему уравнений деформации и повреждаемости для слу чая, когда неупругая деформация осуществляется только сколь жением по одной системе с изотропным упрочнением, отсутст вуют неориентированные микронапряжения, закон ползучести сводится к степенной аппроксимации, разрыхление происходит без участия усталостной кинетики, упругие и тепловые свойства изотропны:
$ к = t-0ik*И + 2
ч
Ак - г 'з1 (Ра ôk3 + ôi3 ) + г 'з2 О5/2ôk3 + ôk2^/з) *
r, |
_ |
( I I V 1 |
|
Xik ~ a pi aQk °PQ |
|
j-j0j |
J |
Tpik = apiCCqkppq , |
|
||
x s = gti} + P T ( t f if T p - K T - A s e |
- u |
s/ k T |
( r s _ TQy n s H ( r s _ T Q ) ^ |
5 |
g tp , |
|
|
i o = x s - |
|
||
î> -Ц -ф л'Р*)и2 = ' /Фъ\ )г + Фзг) 2 .
|
jiHik = ffik + ftik » |
|
|
|
||
Pik = V & - {/-0 e - K*,kTh |
U2 (P ê 1 - n |
e - *'/kTh l h (4) ]( X |
||||
|
X Я | r„e •"'•/ *7'/o [/2 (P/*) ] - |
r,e - wi/kTf, U2 ( 4 |
]} P lt, |
|||
|
|
Pll = |
0 , |
|
|
|
я “ = |
[ Я ( г з з - Л й ( й - >) й |
+ я(Г/, _ Л |
а [ % _ |
, ] % ] x |
||
|
L |
VP |
/ |
P |
|
|
* |
( 1 + “° 5 ) Я (1 " ^ |
+ “° H (Г/5 " P°) H (f 33 - |
r°) ^ ’ |
|||
|
Г |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
* c - [ ï № - ^ - i j Ü |
+ |
|
|||
|
+ |
|
(1 + в « й ) Я ( 1 - ^ ) + |
|||
+ ac H (Tp —pc) H ( TT — xc) - & ,
P
Ï m
(1 + ^Гд)Я(1 - я*)+ <**#(*-*p)î> .
Г *7
JP
J r0~ 1 e ' ( “P " УР f33 H(f33) ) / ^ d t = !
0
= |
+ |
+ |
P = S t p (s)ds, |
|
Тх |
2 |
( Г ïkx !k),/2 = V 7r31)z + (f32)z , |
||||||||
|
|
|
xik = |
7^1Цппrjsndpr CCqs Opq , |
|
||||||
|
|
|
т‘к = >?ш! |
|
^rm7]sn dpr aqs 0*Pq , |
|
|||||
x ik = |
*31(0/3 <5*1 |
+ |
<5*3 <5/l) + |
T32(di3 <5*2 + <5*3 <5/2) , |
|||||||
|
|
|
**_ |
n |
|
( n W |
i |
|
|
||
|
|
|
° |
“ ° ik[ l ~ |
[Щ |
] |
+ a PPik, |
|
|||
|
|
|
|
П = / |
/( Q ) ^ ( S ) J 3Q, |
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
m |
= |
Й |
3Я |
(*33) <5/3 + |
*31 <5/1 + *32 <5/2] (Я 0 + |
л 1) , |
|||||
|
Щ = |
[Г33 Я (Г 33) (5/3 + Т31 <5п + |
Т32<5/2] (Я° ) , |
||||||||
П° = / / (Q) [Я (я / я / - |
Якр) (я0 + я ')" г + |
Я (я / я / - |
Якр) Лс] ê Q , |
||||||||
Р 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пм = Я(П - |
Пкр)Я(П° + 0П - Пкр) , |
||||||||
|
|
|
Я/* = ?7?Р |
<5рЗ Xq + T]jprfcq<5рЗ Ля , |
|
||||||
|
|
|
|
|
/3& = |
с(я /* |
+ |
Я*/) , |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ П \ ^ - 1 |
|
|
|
* Ь -(* '» л » га + * ,,*л>[1 " |
По |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
é J* = Уо 0цТ * |
|
|
|||
è f k = / |
/(^ )« /p « *9Ü ( r '^)(1 ~ ^ |
)Я(1 |
^ f ) d 3Q, |
||||||||
И |
|
|
|
éf* = / |
|
|
. |
, |
|
||
|
|
|
|
^ipakq^pqd Q \ |
|
||||||
P I
Vj a/* = O, V/ V/T - KQ T ,
V* V, £^„ = ekrs eqmt Vs V/ ( 4 + £rm + emù •
&ksr €qrnt v s
2.11. Реплика
Только открытие общего фор мального принципа может привести к надежным результатам. Образцом пред ставлялась мне термодинамика.
А. Эйнштейн
Подведем теперь некоторые итоги. Как следует воспринимать материалы первой и второй глав? В качестве законченной ана литической теории или как иллюстрацию некоторого общего принципа построения определяющих соотношений для деформа ций и разрушения? Авторы склоняются к последней формули ровке. Хотя в выписанных выше соотношениях учитываются фундаментальные законы структурно-механического поведения материалов, в приложении к конкретным объектам они могут сильно видоизменяться в сторону как существенного упрощения, так и усложнения. К тому же физические процессы в кри сталлах на каком-либо единственном структурном уровне не всегда укладываются в одну схему. По этой причине рабочие формулы иногда должны отражать многоаспектный характер ре ализации элементарных актов пластичности и разрушения. Та ким образом, предложенную теорию нужно воспринимать как методический инструмент или в более широком смысле как идеологическую основу в задачах прочности. Конечно, во многих практических случаях выписанные соотношения, как мы увидим ниже, оказываются справедливыми, притом даже в значительно менее сложном математическом оформлении. Это связано преж де всего с тем, что авторы пытались вложить в аналитические конструкции наиболее важные достижения из области физики и механики прочности. Соответствующие мотивации содержатся в цитированной выше литературе, а также в многочисленной другой литературе применительно и к общей проблеме пластич
ности |
[130, |
169, |
171, |
410, |
413, |
|
447, |
|
452, |
453, |
456, |
4571 |
или |
||||
разрушения |
[44, |
|
47, |
49, |
134, |
173, |
191, |
276, |
416, |
428, |
433—435, |
||||||
461], |
и к |
более |
частным задачам ползучести |
[157, |
291, |
412, |
|||||||||||
420, |
437, 438, |
465], |
|
диффузии |
[172] |
и радиационной физики |
|||||||||||
[120, |
121, |
168, |
|
170, |
|
179, |
190, |
196, |
422—424, |
435, |
464]. |
|
|||||
Отношение авторов монографии к рассматриваемой проблеме претерпевало существенное изменение по мере осмысливания и проработки ее, а также по мере приобретения опыта решения конкретных задач и в связи с многочисленными обсуждениями
на конференциях и симпозиумах различного уровня |
[131, |
256— |
|||||||||
259, |
264, |
265, |
267, |
269, |
287, |
294, |
295, |
305, |
313, |
315, |
330, |
336, |
342, |
401, |
403, |
441]. |
Если первоначально |
мы |
надеялись |
||||
ка возможность получения значимых результатов в рамках толь ко модели скольжения [260, 268, 270, 271, 274, 282, 283, 285,