книги / Справочник по судовой акустике

Частоты, свободных изгибных колебаний стержня ограниченной длины зависят от условий заделки его концов (граничных условий). Так, при шарнирноопертых концах

а при свободных или защемленных концах

Плотность собственных частот стержня длиной I при указанных выше гра­ ничных условиях равна

вождаются перемещением ее поперечных сечений с амплитудой в плоскости пла­ стины в направлении движения волны. Скорость распространения продольной

ность энергии продольных колебаний в пластине (количество энергии, содержа­ щейся в участке пластины с единичной поверхностью, масса которого т пл) равна

Поток энергии продольных колебаний в пластине (количество энергии, про ходящей через отрезок сечения пластины единичной длины за единицу времени)

Сдвиговые волны в пластине. При сдвиговых колебаниях поперечные сече­ ния пластины перемещаются с амплитудой у0 в плоскости пластины в направле­ нии, перпендикулярном движению волны. Скорость распространения сдвиговой волны равна

и соответствует скорости поперечной волны' в безграничной-упругой среде. Плот­ ность- и поток энергии сдвиговых колебаний йластины можно вычислить по вы­

ражениям (1.4.25) и (1.4.26) соответственно, заменив в них сп. пл на Сс. пл» а % на у0.

Изгибыые волны в пластине. При изгибных колебаниях пластины ее сечения совершают поперечные смещения с амплитудой у0и поворот с амплитудой угла ср0. Так же как в случае изгибных волн в стержне, эти величины связаны соотноше­

гпл— радиус инерции поперечного сечения пластины

называется изгибной жесткостью пластины. Для металлических пластин тол­

В пластинах ограниченных размеров изгибные колебания возможны на определенных частотах, называемых собственными. Так, для прямоугольной пластины с размерами 1г X /2 с шарнирно-опертыми краями эти частоты равны

Первые три формы свободных изгибных колебаний прямоугольной пластины с шарнирно-опертыми краями показаны на рис. 1.8. Форма этих колебаний пла­ стины описывается функцией

где Anm— амплитуда колебаний; kn, km — проекции волнового числа изгибных

На рис. 1.9 показана зависимость АПтот номера при разных коэффициентах потерь. Видно, что наибольшие амплитуды имеют моды, собственные частоты которых совпадают с частотой возбуждающей силы со или близки к ней.

Векторная диаграмма моды я, т представлена на рис. 1.10, на котором оси координат совмещены с направлением краев прямоугольной пластины.

Если упрощенные векторные диаграммы нескольких мод (правый верхний квадрант рис. 1.10) наложить одну на другую, получится картина, подобная изо­ браженной на рис. 1.11. На этом рисунке показаны векторы тех мод, частоты которых &пщ попадают в полосу частот А©, ограниченную значениями, соответ­ ствующими волновым числам

Для существования диффузного поля изгибных волн, как показывает опыт, достаточно одновременное возбуждение не менее пяти мод. Соответствующее частотное условие имеет вид

Для полосы третьоктавных частот Р0 = 0,232, полуоктавных р0 == 0,345, 1 октавы Ро = 0,707.

В диффузном вибрационном поле направления векторов отдельных мод приблизительно равномерно распределены по углу q>. Угол между соседними

Отражение и прохождение упругих волн в пластинах. При падении плоской изгибной волны на угловое соединение двух пластин под углом <pHi относительно нормали к линии соединения помимо отраженных и прошедших изгибных волн в пластинах возникают отраженные и прошедшие продольные и сдвиговые волны. Углы отражения и прохождения этих волн связаны с углом фщ следующими соотношениями [35]:

хождения продольной волны; фС1, фс2 — угол отражения и прохождения сдвиго­ вой волны.

Упругие волны в цилиндрических оболочках. Обычно на практике исполь­ зуется теория тонких цилиндрических оболочек, у которых rcp > d, где гср — радиус серединной поверхности Цилиндрической оболочки; d — толщина стенки оболочки (рис. 1.12). Погрешность, получаемая при таком рассмотрении, пропор­ циональна отношению d/rcр.

ной d возбуждена осциллирующим с частотой © распределением давлений, неза­

вое число упругих колебаний оболочки в направлении ее оси (ось г); сг— коэф­ фициент Пуассона материала оболочки; р — ее плотность..

Различие в анализах колебаний оболочки, выполненных разными авторами, заключается в выражении для коэффициента а. Если учитываются только мемб­ ранные напряжения в оболочке (изгибная жесткость оболочки полагается рав­ ной нулю), то

с малыми значениями п. В этом случае более правильно использовать выражение, которое было дано в работе [46J:

а = 1 _ v2 + |(л 2 + * 2'сР)2 — 4 " [л2 (4 — а> — 2 - °] (‘ - °)_1| у | г •

(1.4.48)

Резонансные частоты опертой по краям конечной цилиндрической оболочки длиной I определяются из выражения

0 - . * ) [ ( - = 7 “ - ) * + “! ”1 ’ -

----(1.4.49)

) l^cp

где т— половина числа узлов формы колебаний оболочки в осевом направлении.

Более удобно пользоваться приближенным выражением

проиллюстрировать приведенной на рис. 1.13 линией постоянных значений частот V, построенных в плоскости чисел т и п . Кривая равных значений vn, т для прямоугольной пластины имеет форму четверти окружности, как следует из формулы (1.4.34). На рис. 1.13 заштрихована, область, ограниченная кривой

в которой проявляются особенности поведения цилиндрической оболочки. В осталь­ ной области значений т—п поведение цилиндрической оболочки подобно пове­