Глава II. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

§ 1. Соотношения между напряжениями и деформациями в линейно-упругом теле

образных, упругих, пластических, вязких, изотропных, анизо­ тропных и т. п. Однако наши рассуждения ограничивались стати­ ческими и геометрическими представлениями. Мы не учитывали характер взаимосвязи между частицами сплошной среды и фактор времени.

Одна из задач теории упругости и теории пластичности—опреде­ ление перемещений по заданным напряжениям. Возможна и обрат­ ная задача, когда по известным изменениям взаимного расположе­ ния частиц тела необходимо охарактеризовать его напряженное состояние. Решение подобных задач требует прежде всего установ­ ления физических закономерностей сопротивления тела всевозмож­ ным видам деформаций, т. е. выявления взаимосвязи между напря­ жениями и деформациями. От точности найденных закономерностей зависит достоверность инженерных расчетов на прочность, деформи­ руемость и, следовательно, «надежность» оценки несущей способ­ ности деталей машин и сооружений, а также расчета тех или иных технологических операций. К сожалению, однозначное описание законов деформирования ъсех или хотя бы большинства физических сред оказывает я практически невыполнимой задачей. Поэтому возникла необходимость в условном разделении этих сред на упру­ гие и неупругие.

Условность такой классификации в том, что она не учитывает многих свойств реальных тел. Так, упругие тела можно подразде­ лять еще на линейно-упругие и нелинейно-упругие; неупругие — на упруго-пластические, пластические и т. п. Заметим, что многие материалы при определенных уело иях обладают свойствами лю­ бого из названных тел. Достаточно проследить характер зависи­ мости о = / (е) для малоуглеродистой стали, чтобы убедиться, что на отдельных этапах деформирования материал мо.„ет быть ли­ нейно-упругим, нелинейно-упругим, упруго-пластическим и пласти­ ческим. В каждом отдельном случае связь между напряжениями и деформациями различная.

В основе классической теории упругости лежит представление об упругом линейно-деформируемом теле. Основной закон, опре­ деляющий общую зависимость между напряжениями и деформа­ циями для линейно-упругого тела, был сформулирован в 1678 г. Робертом Гуком в такой форме: каково перемещение, такова сила. В современной формулировке этот закон для сложнонапряженного состояния звучит так: в каждой точке деформируемого тела компо­ ненты тензора деформаций являются линейными функциями от компонентов тензора напряжений.

Таким образом, чтобы выразить соотношения между напряже­ ниями и деформациями для линейно-упругого тела, необходимо знать 21 упругую постоянную. Однако большинство реальных ма­ териалов можно считать практически изотропными. При этом усло­ вии указанные соотношения значительно упрощаются. Как по­ казал 'Кирхгоф, если связь между напряжениями и деформациями не зависит от ориентации координатных осей, то необходимое число упругих постоянных сократится до двух. Эти постоянные называются модулями упругости первого и второго рода и обозна­ чаются соответственно Е и G.

Коэффициент Пуассона, характеризующий собой относительное изменение поперечных размеров тела в упругой области при одно­ осном напряженном состоянии, не может быть меньше нуля, так как в противном случае при растяжении тела происходило бы его расширение в направлении, перпендикулярном к приложенной силе. Коэффициент Пуассона не может быть также больше 0,5, так как иначе при гидростатическом сжатии тела его объем увеличивался бы*.

Используя принцип независимости действия сил и предполагая, что главные оси напряжений и деформаций совпадают, обобщен­ ный закон Гука для объемного напряженного состояния запишем в виде

= jr [о* — р (°2 +■ Оз)1‘»

* Если материал имеет большое количество макропор, трещин и т. п. (напри­ мер, отдельные металлокерамические композиции), то из-за направленного изме­ нения размеров этих дефектов при деформировании тела можно получить отрица­ тельное значение коэффициента Пуассона.

После элементарных преобразований выражения (II.7) можно записать в виде

Вводя средние напряжения и средние деформации и учитывая выражение (IIЛ), получим

Если для краткости записи использовать понятия девиатора на­ пряжений и девиатора деформаций, то выражения (II.9) запишутся так:

Из выражения (11.10) следует важный закон: компоненты де­ виатора напряжений пропорциональны соответствующим компонен­ там девиатора деформаций, т. е.

Уравнения (П.7) справедливы при любом направлении коорди­ натных осей. Если координатные оси сориентировать так, чтобы они были равнонаклонены к главным, то напряжения на всех трех

площадках будут равны между собой и совпадут по величине и направлению с октаэдрическими напряжениями, действующими на соответствующих площадках,

Соотношения вида (11.14) широко используются при расчетах эле­ ментов конструкций, работающих в пластической области.

Если все компоненты девиатора напряжений разделим на вели­ чину октаэдрического касательного напряжения, то получим тен­ зор, составленный из частных от делений. Этот тензор называется направляющим тензором напряжений

При делении всех компонентов девиатора деформаций на вели­ чину, равную половине октаэдрической деформации сдвига, полу­ чим так называемый направляющий тензор деформаций

Подставляя выражения (11.15) и (11.16) в (11.10) и учитывая второе

Компоненты направляющего тензора напряжений и направляю­ щего тензора деформаций не имеют размерности и характеризуют

собой направление главных осей напряжений и деформаций По­ этому уравнение (11.17) является аналитической записью следую­ щего важного положения: направления главных удлинений совпа­ дают с направлениями главных напряжений.

Вывод о совпадении главных напряжений и главных осей де­ формаций можно сделать и на основании того, что в изотропном теле нет причин для асимметричного перемещения относительно главных осей напряжений, так как напряжения в направлении этих осей не имеют касательных составляющих.

Если напряженное тело подвержено тепловому воздействию, то к компонентам деформаций, определяемых тензором напряже­ ний, добавляются температурные деформации. Тогда зависимости

Температурная деформация, соответствующая изменению тем­

пературы от Т, до Т2,

г,

8Т

или, вводя среднее значение коэффициента аср линейного теплового расширения в интервале температур,

где К — объемный модуль упругости.

Температурные напряжения возрастают с увеличением коэффи­ циента линейного расширения. Если величина этих напряжений с учетом эффекта от наложения внешних связей не превышает пре­ дел пропорциональности материала, то приведенные выше варианты записи обобщенного закона Гука остаются справедливыми при условии учета влияния температуры на упругие постоянные.

Значительное упрощение задачи'достигается на основе ряда научно обоснованных гипотез. Основные гипотезы, на базе которых можно установить взаимосвязь между напряжениями и деформа­ циями для нелинейно-упругого тела (при нагружении и разгрузке) и доя неупругих тел (но при простом нагружении) — следующие:

{1.'Шаровой тензор деформаций прямо пропорционален шаровому тензору напряжений. Коэффициент пропорциональности для не­ линейно-упругих и неупругих тел тот же, что и для тел, подчи­ няющихся закону Гука. Первая гипотеза в скалярной форме, со­ гласно выражению (II.4), записывается в виде

° ° = 1 — 2ц е°*

I 2J В каждой точке тела девиатор напряжений прямо пропор­ ционален девиатору деформаций. Эта гипотеза в скалярной форме, согласно выражению (11. 10а), записывается так:

Коэффициент пропорциональности G' для нелинейно-упругих и неупругих тел (при простом нагружении) в свою очередь зависит от компонентов напряжений и деформаций и поэтому в общем случае напряженного состояния от точки к точке меняется.

(J) Интенсивность напряжений является вполне определенной, не зависящей от вида напряженного состояния функцией интен­ сивности деформаций, т. е.

Поскольку функция Ф(е,) зависит только от материала, то лю­ бой вид объемного напряженного состояния как в области нелиней­ но-упругих, так и в области неупругих деформаций можно свести к простейшим видам нагружения, построив кривую сг,- = f(s,) по результатам опытов на одноосное растяжение образца или на кру­ чение тонкостенной трубы. В последнем случае обобщенную кривую деформирования = /(е;) получают из диаграммы кручения т = = Ду), используя при этом соотношения (1.31а) и (1.36а). При чи­ стом сдвиге изменения объема не происходит. Как следует из фор­ мулы (II.5), равенство нулю объемной деформации соответствует предположению, что коэффициент поперечной деформации р = 0,5. Поэтому соотношения (1.31а) и (1.36а) для кручения примут про­ стой вид:

0/ = V 3 t; 8* = ^ |Y *

т. е. ординаты кривой необходимо увеличить в ]/з раз, а абсциссы уменьшить в такое же число раз.

обобщенного закона Гука, нелинейны, так как отношение — само

„ а‘

по себе зависит от компонентов напряжений и деформаций.

84 Таким образом, если отношение — на основании опытных дан­

ных при простейших видах испытаний известно и выражено либо через 8,-, либо через ait то можно считать, что уравнения (11.25) и (11.26) полностью устанавливают зависимость между напряже­ ниями и деформациями для нелинейно-упругих тел и для неупру­ гих — при простом нагружении.

Обычно функцию cti = Ф(е,) определяют на основании обра­ ботки экспериментального материала в виде аналитических зави­

Коэффициент а является общим для большой группы материалов, а показатель степени п может изменяться в широких пределах. При п > 1 выражение (11.27) удовлетворительно описывает кривые деформирования таких материалов, как чугун, камень, цемент (кри­ вая 7, рис. 17). Д ля таких материалов, как кожа, пенька, п < 1 (кривая 2); при п — 1 зависимость (II. 27) переходит в закон Гука (кривая" <?)'.

Для аппроксимации обобщенных кривых наибольшее распро­

безразмерная функция деформации, отличная от нуля только за пределом упругости; е = 2,72, а все остальные коэффициенты — константы материала.

Широко применяется при решении упруго-пластических задач выражение, содержащее функцию деформации ©. Если кривую в = /(е) с достаточной точностью заменить ломаной с точкой ..ере-

Функцию со обычно записывают в виде

где

Величины интенсивности напряжений и интенсивности деформа­ ций при изменении знаков напряжений и деформаций не изменя-

теория исключает также возможность учета влияния шарового тен­ зора и вида девиатора на процесс деформирования, хотя резуль­ таты испытаний ряда материалов (см. гл. VI) свидетельствуют о том, что влияние указанных параметров может быть существенным. Для таких материалов аналитическое выражение кривой деформирова­ ния значительно усложняется.

При решении многих прикладных задач для упрощения решений часто пренебрегают упрочнением, принимая (рис. 18)

Ei = tgP = 0.

В этом случае диаграмма а = /(е) за пределом текучести представ­ ляется в виде прямой с постоянной ординатой а — сгт, а закон де­ формирования для идеально пластического тела запишется в виде равенства приведенного напряжения пределу текучести

*^прнв = От-

Соотношения такого вида называются условиями пластичности и будут рассмотрены подробно в следующей главе.

Приведенные выше уравнения, связывающие напряжения и де­ формации, являются основой деформационной теории пластичности, получившей широкое развитие в работах А. А. Ильюшина и его учеников. Вопросы развития общей теории упруго-пластических де-

ство в большей или меньшей мере проявляется во влиянии на на­ пряженное и деформированное состояния тела времени и скорости нагружения или скорости деформирования. При решении многих технических задач этим свойством можно пренебречь. Однако в ряде случаев, например при работе детали в условиях высоких температур, в широком диапазоне скоростей нагружения или при расчете прочности большинства материалов с аморфной структурой

Идеально-пластическая среда может быть охарактеризована мо­ делью (рис. 19, д), включающей в себя пружину и элемент трения, который при а > сгт начинает перемещаться Упрочнение материала можно имитировать на модели включением некоторого числа таких элементов, связанных свободными от натяжения тяжелыми ни­ тями (рис. 19, е).

Простейшим представителем вязких тел является вязкая жи­ дкость, для которой, согласно расчетной модели Ньютона (рис. 19 ,б)ч скорость деформации в связана с напряжением а линейной зави. симостью а = Хе, где X — константа, аналогичная модулю Е для упругого тела.

Следовательно, для линейно-упругого тела, обладающего свой­ ством вязкости, т. е. сочетающего в себе свойств * упругого тела и вязкой жидкости (механическая модель Кельвина — Фойхта), связь между напряжениями и деформациями и их скоростями при ли­ нейном напряженном состоянии выразится линейным дифферен­

циальным уравнением

где первый член правой части представляет собой упругое сопро­ тивление, второй член — вязкое сопротивление, пропорциональное скорости. Решение уравнения (11.30) можно записать [44] в виде

1 Принимая, что е0 = 0 при /0 = 0 и вводя обозначение -g- = Т для

случая, когда напряжения сохраняют постоянное значение a(t)= o0, имеем

нагрузки (Т = 0, т. е. X — 0) в случае упругого тела соответствую­ щая деформация достигается сразу же после приложения нагрузки. Для упруго-вязкого тела даже при мгновенном приложении на­

Рассматриваемое явление «запаздывания» упругих свойств называется упругим последействием. Константа Т = -К характери­

зует тот промежуток времени, в течение которого деформация умень­ шается в е раз и может быть названа периодом последействия.

Рассмотрим модель упруго-вязкого тела, представленную на рис. 21. Эта модель включает в себя, как частные случаи, первые четыре модели (см. рис. 19) и является обобщенной линейной мо­ делью упруго-вязкого тела, характеризующей его основные свой­

С другой стороны, удлинение пружины равно удлинению в эле­ менте Максвелла епр= еэ . В пружине и демпфере элемента Мак­ свелла возникают одинаковые напряжения а2. Если их деформа­ ции обозначить соответственно еАи е2, то

Полная деформация

Выражение (11.32) дает математическое описание свойств рас­ смотренной модели упруго-вязкого тела. При малых скоростях

деформирования, когда влиянием скоростей о и е можно пренебречь» величина деформации будет пропорциональна приложенному напряжению и уравнение (11.32) примет вид а =Ее. Константу Е будем называть здесь длительным модулем упругости.

При внезапном приложении нагрузки тотчас возникает мгно­ венная деформация. В этом случае скорости роста напряжений и деформаций велики по сравнению с самими напряжениями а и де­ формациями е, поэтому последними можно пренебречь. Тогда урав­ нение (11.32) примет вид па — Впе или а = Be. В дальнейшем константу В будем называть мгновенным модулем упругости.

Обычные механические испытания материалов производятся либо при постоянной скорости нагружения, либо при постоянной ско­ рости деформирования. В первом случае, когда напряжение растет

пропорционально времени (а = vat), уравнение (11.32) запишется как

после подстановки t = ~ и простейших преобразований оно мо­

жет быть записано в виде, удобном для исследования,

Из анализа этого уравнения следует, что с течением времени де­

t — оо.

На рис. 24 приведена кривая, построенная по уравнению (II. 36а). Явление необратимого роста деформаций во времени при постоян­ ном уровне напряжений называется ползучестью (или крипом).

Если в некоторый момент времени t — tx нагрузка снимается, то элемент мгновенно укорачивается i.a величину мгновенной де­

В отличие от многих пластических масс и высокомолекулярных полимеров, в металлах не происходит полного восстановления перво­ начальной формы и размеров тела; процесс обратной ползучести происходит до некоторого предельного значения.

Таким образом, комбинированная модель, представленная на рис. 21, является обобщенной линейной моделью среды и отражает основные свойства упруго-вязкого тела. Эта модель может быть усовершенствована путем введения переменных во времени коэф­ фициентов вязкости для учета внутреннего трения [131] и некото­ рых кинематических факторов [28]. В результате свойства ползу­ чести и неполного восстановления первоначальных размеров после разгрузки (реологические свойства линейно упруго-вязкого тела) описываются лучше.

Соотношения между напряжениями и деформациями для ли- нейно-деформируемых упруго-вязких тел при объемном напряжен­ ном состоянии можно написать по аналогии с полученными выше зависимостями для одноосного напряженного состояния.

Как было показано в § 1 настоящей главы, для упругого тела компоненты девиатора напряжений пропорциональны компонен­ там девиатора деформаций, а шаровой тензор напряжений пропор­ ционален шаровому тензору деформаций. По аналогии с выраже­ ниями (II.4) и (II.9) для вязкой жидкости, у которой роль модуля