книги / Системы экстремального управления

тирной стрелкой.

На рис. 4.1.3 показана блок-схема устройства реали­ зующего процесс экстремального управления объектом по описанному методу. Здесь пунктиром обозначен эксттремальный регулятор. Логический блок, координирую­ щий работу регулятора, реализует алгоритм поиска, по­ казанный на рис. 4.1.2. Блок памяти П необходим для запоминания предыдущего значения показателя качества, а исполнительный механизм ИМ изменяет значение уп­ равляемого параметра х объекта. Логический блок обра­ зует пробные шаги + g и, наблюдая по каналу обратной связи за двумя значениями показателя качества Qt и Qi-х, организует в соответствии с алгоритмом поиска уп­ равление исполнительным механизмом, который в свою

очередь изменяет управляемый параметр х в сторону оп­ тимального значения х*.

Как видно, в алгоритме поиска четко определены сле­ дующие этапы поиска: 1) пробные шаги, 2) принятие реше­ ния, 3) рабочий шаг, 4) выдержка.

Каждый из этих этапов играет определенную роль в процессе экстремального управления. При этом затраты времени на один цикл поиска складываются соответственно

информацию, необходимую для определения положения экстремума. Изменение положения управляемого пара­ метра х на величину пробного шага g в оба направления осуществляется с помощью подпрограммы пробных шагов. На рис. 4.1.4 для примера показаны две схемы введения пробных шагов для случаев, когда управляемым парамет­ ром являются сопротивление и емкость. Здесь среднее положение переключателя определяет собственное зна­ чение управляемого параметра, которое состоит из двух частей:

ДR и ДС — const — величины пробных изменений пара­ метра. Как видно, при переключении из одного крайнего положения в другое значение параметра изменится на 2ДR и 2ДС', что и требуется.

На этом этапе временные затраты будут складывать­ ся следующим образом:

где in — время, затрачиваемое на выполнение этапа проб­ ных шагов; inl — время, необходимое для изменения зна­ чения параметра на величину Лж (для случаев, рассмот­ ренных на рис. 4.1.4, ini равно времени переключения); tm — время определения показателя качества в новом состоянии. Так, для динамических объектов это время со­ ответствует времени затухания переходных процессов и т. Д-i *пз — время запоминания показателя качества в блоке памяти П.

2)Этап принятия решения сводится к определению àQ и

предыдущего на величину рабочего шага а. Временные затраты ipa6 при этом целиком определяются динамиче­ скими свойствами исполнительного механизма. Если же рабочий шаг не выполняется, то ipa6 = 0.

Рассмотрим простейший случай, когда исполнитель­ ный механизм является интегратором. Тогда при наличии естественных ограничений на ускорение управляемого параметра

можно построить такую программу изменения парамет­ ра ху при которой время изменения этого параметра на величину рабочего шага было бы минимальным. Как лег­ ко заметить, в этом случае оптимальное управление обес­ печивается следующей программой: первые полпути — разгон с максимальным ускорением (х = -}- г), а осталь­ ные — торможение с максимальным замедлением (а: = —г).

В результате получаем следующее выражение для ми­ нимального времени, необходимого для выполнения ра­ бочего шага величиной а:

меньше скорость этого уплывания. Однако в процессе движения к экстремуму^этап вы­

держки вводить нецелесообразно и при этом следует по­ ложить Т = 0.

Рассмотрим работу алгоритма поиска на квадратичном

Для простоты положим х* = const и Q* = const. Тогда для приращения AÇ в процессе пробных шагов получаем после преобразований

дится при |A Ç |< ô , т. 0. в зоне экстремума радиусом

В противном случае делается рабочий шаг. Очевидно, что рабочий шаг не должен превышать эту зону, так как по­ является опасность при подходе к экстремуму проскочить ее, в результате чего процесс поиска не останавливается. (Под остановкой поиска здесь подразумевается режим

t

Рис. 4.1.6. Пример процесса поиска с алгоритмом парных проб.

нулевых рабочих шагов. Пробные шаги при этом продол­ жают выполняться.) Это накладывает ограничение на вы­ бор величины рабочего шага:

(4.1.15)

для чего необходимо знать величину параметра к объекта. Если это неравенство не выполняется, то возможно, что процесс поиска никогда не остановится, т. е. всегда

Ах Ф 0.

На рис. 4.1.6 показан пример процесса поиска. Здесь зона нечувствительности заштрихована. Хорошо видно, что, попав в эту зону, система остается в ней наверняка на время выдержки Т (хотя и может выходить за ее пре­ делы в процессе пробных шагов).

Теперь рассмотрим' работу этого алгоритма поиска при линейном дрейфе экстремальной характеристики (4.1.12), т. е. при Q = Q (х, t). Пусть спачала дрейфует

только Положение экстремума, т. е.

Для простоты положим Ô = 0, т. е. зона нечувствитель­ ности выродилась в точку. Тогда приближенное условие остановки алгоритма (Ах = 0) записывается в виде

Q (* -I- g, t) = Q (х — g, t + £п), (4.4.17)

где предполагается, что в течение пробного шага дрейф невелик. Это условие для квадратичной параболы (4.1.12) принимает после преобразований вид

Это означает, что вместо х* (t -f- tn) поиск стремится при­ вести систему в точку

т. е. имеет место систематическое отставание от действи­ тельного положения экстремума. Для минимизации этого отставания необходимо уменьшать время производства пробных шагов £п. Дрейф положения экстремума х* (t) может вызвать неустойчивость работы системы поиска. Прежде всего, определим понятие неустойчивости поис­ ка, под которой будем подразумевать ситуацию, когда рабочий шаг делается в направлении, обратном требуе­ мому. В этом случае нарушается условие устойчивости

На рис. 4.1.7 зона неустойчивости заштрихована, а стрелками показаны направления рабочих шагов. Как видно, зона неустойчивости естественно образуется -в ре­ зультате того, что система стремится не к положению эк­ стремума, а к (4.1.19).

i 4 .2 1

смещенное относительно истинного положения экстрему­ ма в этот момент. Любопытно, что в этом случае возможна

________________, '////////////////Л------

Рис. 4.1.8. Зона неустойчивости при вертикальном дрейфе харак­ теристики.

компенсация, т. е. такое соотношение между вертикаль­ ным и горизонтальным дрейфом, когда зона неустойчи­ вости уменьшается или даже стягивается в точку. Для последнего необходимо выполнение условия

§ 4.2. Поиск с непарными пробами

Рассмотренный выше алгоритм поиска можно упрос­ тить за счет совмещения одной пробы с исходным состоя­ нием х на каждом цикле поиска. Действительно, для ор­ ганизации движения экстремума к цели достаточно заме­

В аппаратурном исполнении этот алгоритм удобно реа­ лизовать без специальной подпрограммы пробных шагов, т. е. без возврата в исходное состояние после пробного ша­ га. Одпако при этом величина рабочего шага будет зави­ сеть от его направления. Алгоритм поиска в этом случае

записывается в следующем виде:

Здесь рабочий шаг Д xt производится не из исходного сос­ тояния х{, а из пробного х* + g. На рис. 4.2.1 показано движение системы при отрицательном (а) и положитель­

влево — на а — g, в ре­ зультате чего оба направления были бы неравноправны.)

На рис. 4.2.2 показана блок-схема программы этого алгоритма. Примененные здесь новые операторы имеют следующий смысл: Оператор «7, Q (•)» является операто­ ром выдержки в течение промежутка времени Т с одно­ временным определением показателя качества в одном из состояний, указанных предыдущими на схеме оператора­ ми: «x -f- а — g», «х — g» и «х — а — g». Результат оп­ ределения показателя качества Q (х) закладывается в «память», которая обозначена здесь кружком. Направле­ ние циркуляции запоминаемой и запрашиваемой инфор­ мации показано пунктирными стрелками.

Временные затраты для этого алгоритма поиска скла­ дываются следующим образом: